Liealgebra

En liealgebra (namngiven efter Sophus Lie) är ett vektorrum tillsammans med en icke-associativ multiplikation kallad lieparentes (på engelska Lie bracket) som skrivs ${\displaystyle [x,y]}$. När en algebraisk produkt är definierad på vektorrummet, är lieparentesen kommutatorn ${\displaystyle [x,\,y]=xy-yx}$.

Liealgebrans största användningsområde är studiet av geometriska objekt såsom liegrupper och differentierbara mångfalder. Begreppet "liealgebra" infördes av Hermann Weyl under 1930-talet. I äldre texter används begreppet infinitesimal grupp.

Definition

En liealgebra är en algebra över en kropp; den är ett vektorrum g över någon kropp K tillsammans med en binär operation [·, ·] : g × g → ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, som kallas lieparentes, vilken uppfyller villkoren

(1)  Bilinjäritet:

${\displaystyle [ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],\quad [z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]}$

för alla a, b ${\displaystyle \in }$ K och alla x, y, z ${\displaystyle \in {\mathfrak {g}}}$.

(2)  För alla x ${\displaystyle \in {\mathfrak {g}}}$ gäller:

${\displaystyle [x,\,x]=0}$

(3)  Jacobi-identiteten:

${\displaystyle [x,\,[y,\,z]]+[y,\,[z,\,x]]+[z,\,[x,\,y]]=0}$

för alla x, y, z ${\displaystyle \in }$ g.

(4)  Antikommutativitet:

Om bilinjäriteten används för att expandera lieparentesen ${\displaystyle [x+y,\ x+y]}$ och med användande av villkor (2) går det att visa att ${\displaystyle [x,\ y]+[y,\ x]=0}$ för alla element x, y i ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, vilket implicerar

${\displaystyle [x,y]=-[y,x]}$

En liealgebra med villkor (2) utbytt mot antisymmetri kallas för en kvasiliealgebra.

Observera också att multiplikationen som ges av lieparentesen inte i allmänhet är associativ, det vill säga, ${\displaystyle [[x,\,y],\,z]}$ behöver inte vara lika med ${\displaystyle [x,\,[y,\,z]]}$. Därför är liealgebror inte ringar eller associativa ringar i den vanliga meningen.

Exempel

Ett konkret exempel på en liealgebra är ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ med vektorprodukt som parentesoperation. Även algebran av n×n-matriser är en liealgebra med kommutatoroperationen ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$ som parentesoperation. Mer allmänt gäller att varje associativ algebra blir en liealgebra under kommutatoroperationen.

Se även

• Kvasiliealgebra
• Liealgebrakohomologi
• Liebialgebra
• Liekoalgebra
• Liesuperalgebra
• Ortogonal symmetrisk Liealgebra
• Poissonalgebra

Referenser