Inom ändlig (finit) geometri är Fanoplanet (uppkallat efter Gino Fano) det ändliga projektiva planet av ordning två och har det minsta möjliga antalet av punkter och linjer, sju av varje, med tre punkter på varje linje och tre linjer genom varje punkt.
Fanoplanet kan konstrueras med hjälp av linjär algebra som det projektiva planet över den ändliga kroppen med två element. Man kan konstruera projektiva plan över varje annan ändlig kropp, men Fanoplanet är det minsta.
Om man använder standardmetoden för konstruktion av projektiva rum med hjälp av homogena koordinater kan Fanoplanets sju punkter betecknas med de sju binära tresiffriga talen som är större än noll: 001, 010, 011, 100, 101, 110 och 111. Detta kan göras på ett sådant sätt att man för varje par av punkter, p och q, får den tredje punkten på linjen pq genom den bitvisa operationen p XOR q. Med andra ord korresponderar punkterna i Fanoplanet med punkterna skilda från noll i det ändliga vektorrummet av dimension 3 över den ändliga kroppen av ordningen 2.
På grund av denna konstruktion betraktas Fanoplanet som ett Desargueskt plan, trots att planet är för litet för att innehålla en icke-degenererad Desargueskonfiguration (vilket kräver tio punkter och tio linjer).
Linjerna i Fanoplanet kan också ges homogena koordinater av samma typ som punkterna (de binära talen 001 till 111). Med detta koordinatsystem är en punkt incident med en linje om koordinaterna för punkten och linjen har ett jämnt antal positioner där båda har en etta. Exempelvis är punkten 101 incident med linjerna 010, 101 och 111, eftersom linjerna har ettor gemensamma med punkten på 0, 2, respektive 2 positioner (övriga fyra linjer 001, 011, 100 och 110 har en etta gemensam med punkten på en position), och linjen 111 är incident med punkterna 011, 101 och 110, vilka alla har två ettor gemensamma med linjen. I Hassediagrammet till höger är punkter och linjer med samma beteckning "ihopparade". Uttryckt med den underliggande linjära algebran tillhör en punkt linjen om skalärprodukten av vektorerna som representerar punkten och linjen är noll.
Linjerna kan klassificeras som tre typer (ihopgrupperade i Hassediagrammet till höger):
En permutation av de sju punkterna i Fanoplanet som avbildar kollinjära punkter (punkter på samma linje) på kollinjära punkter (det vill säga bevarar kollineariteten) kallas för en "kollineation" "automorfi(sm)" eller "symmetri" av planet. Hela kollineationsgruppen (eller automorfigruppen eller symmetrigruppen) är den projektiva linjära gruppen PGL(3,2) vilket i det här fallet är isomorft med PSL(2,7) = PSL(3,2) och den allmänna linjära gruppen GL(3,2) (som är lika med PGL(3,2)eftersom kroppen saknar nollelement). Den består av 168 olika permutationer.
Automorfigruppen består av sex konjugatklasser.
Alla cykelstrukturer förutom 7-cykeln definierar entydigt en konjugatklass:
Identitetspermutationen
21 permutationer med två 2-cykler
42 permutationer med en 4-cykel och en 2-cykel
56 permutationer med två 3-cyklerDe 48 permutationerna med en komplett 7-cykel bildar två separata konjugatklasser, vardera med 24 element:
A avbildas på B, B på C, C på D så att D är kollinjär med A och B.
A avbildas på B, B på C, C på D så att D kollinjär med A och C.Sålunda är, genom Pólyas enumerationssats, antalet olika färgningar av Fanoplanet med n färger:
