Homoteti

Figur 1. Fyra olika homotetiska avbilningar av ${\displaystyle \triangle P_{1}P_{2}P_{3}}$ på ${\displaystyle \triangle Q_{1}Q_{2}Q_{3}}$ med samma centrum (${\displaystyle S}$), men med olika värden på faktorn ${\displaystyle k}$. Är ${\displaystyle k=1}$ avbildas ${\displaystyle \triangle P_{1}P_{2}P_{3}}$ på sig själv.	Figur 2. Homotetins centrum ligger på det objekt som avbildas (observera att ${\displaystyle S}$ inte ligger på linjen mellan de blå och gula fälten, om än nära).
I figurerna 1 och 2 ovan gäller:
${\displaystyle \triangle SP_{1}P_{2}\sim \triangle SQ_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle \triangle SP_{1}P_{3}\sim \triangle SQ_{1}Q_{3}}$	${\displaystyle \triangle SP_{2}P_{3}\sim \triangle SQ_{2}Q_{3}}$ ${\displaystyle \triangle P_{1}P_{2}P_{3}\sim \triangle Q_{1}Q_{2}Q_{3}}$
${\displaystyle {\vec {SQ_{1}}}=k\cdot {\vec {SP_{1}}}}$  ${\displaystyle \Rightarrow }$  ${\displaystyle {\frac {|SQ_{1}|}{|SP_{1}|}}=|k|}$ ${\displaystyle {\vec {SQ_{2}}}=k\cdot {\vec {SP_{2}}}}$  ${\displaystyle \Rightarrow }$  ${\displaystyle {\frac {|SQ_{2}|}{|SP_{2}|}}=|k|}$ ${\displaystyle {\vec {SQ_{3}}}=k\cdot {\vec {SP_{3}}}}$  ${\displaystyle \Rightarrow }$  ${\displaystyle {\frac {|SQ_{3}|}{|SP_{3}|}}=|k|}$	${\displaystyle {\frac {|Q_{1}Q_{2}|}{|P_{1}P_{2}|}}=|k|}$ ${\displaystyle {\frac {|Q_{1}Q_{3}|}{|P_{1}P_{3}|}}=|k|}$ ${\displaystyle {\frac {|Q_{2}Q_{3}|}{|P_{2}P_{3}|}}=|k|}$
${\displaystyle {\vec {Q_{1}Q_{2}}}=k\cdot {\vec {P_{1}P_{2}}}\Rightarrow {\overline {Q_{1}Q_{2}}}\parallel {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle {\vec {Q_{1}Q_{3}}}=k\cdot {\vec {P_{1}P_{3}}}\Rightarrow {\overline {Q_{1}Q_{3}}}\parallel {\overline {P_{1}P_{3}}}}$ ${\displaystyle {\vec {Q_{2}Q_{3}}}=k\cdot {\vec {P_{2}P_{3}}}\Rightarrow {\overline {Q_{2}Q_{3}}}\parallel {\overline {P_{2}P_{3}}}}$	${\displaystyle \angle Q_{3}Q_{1}Q_{2}=\angle P_{3}P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle \angle Q_{1}Q_{2}Q_{3}=\angle P_{1}P_{2}P_{3}}$ ${\displaystyle \angle Q_{2}Q_{3}Q_{1}=\angle P_{2}P_{3}P_{1}}$

Figur 3. Homotetins centrum sammanfaller med ${\displaystyle P_{1}}$ och därmed med ${\displaystyle Q_{1}}$		Figur 4.

En homoteti (från grekiska ομοθετικός homo-, "lika", och thetikós, "ställning") är en affin avbildning av ett geometriskt objekt sådan att ortsvektorn från en given punkt, homotetins centrum (${\displaystyle S}$ i figur 1), till varje punkt på avbildningen är lika med ortsvektorn från centrum till motsvarande punkt på objektet multiplicerad med en given (proportionalitets)faktor (${\displaystyle k\neq 0}$). ${\displaystyle P}$ avbildas således på ${\displaystyle Q}$ enligt:

${\displaystyle {\vec {SQ}}=k\cdot {\vec {SP}}\Leftrightarrow {\frac {\vec {SQ}}{\vec {SP}}}=k}$

Varje homoteti ${\displaystyle H_{S,k}}$ har en invers ${\displaystyle {H^{-1}}_{S,k}=H_{S,1/k}}$, det vill säga att den inversa homotetin har samma centrum, men en invers faktor ${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$:

${\displaystyle {\vec {SQ}}=k\cdot {\vec {SP}}\Leftrightarrow {\vec {SP}}={\frac {1}{k}}\cdot {\vec {SQ}}}$

Sålunda är:

${\displaystyle H_{S,k}(P)=Q}$ detsamma som ${\displaystyle Q=S+k\cdot {\vec {SP}}}$

och

${\displaystyle {H^{-1}}_{S,k}(Q)=H_{S,1/k}(Q)=P}$ detsamma som ${\displaystyle P=S+{\frac {1}{k}}\cdot {\vec {SQ}}}$

Homoteti benämns ibland dilatation, vilket, ur språklig mening ("dilatation" betyder utvidgning – motsats "kontraktion"), endast borde användas i de fall då ${\displaystyle |k|>1}$.

Homotetier kan konstrueras mekaniskt med hjälp av en pantograf.

Egenskaper

För homotetier gäller:

• En punkt, dess avbildning och homoteticentrum är kollinjära (om inte punkten sammanfaller med homoteticentrum, se nedan).
  • Således går alla räta linjer som förbinder två motsvarande punkter (exempelvis hörnen i en polygon) i objektet och dess avbildning genom homoteticentrum
• Homoteticentrum avbildas på sig själv.
  • Om homteticentrum ingår i det objekt som avbildas, ingår det som bilden av sig själv i avbildningen. (Exempel: Om centrum ligger i ett hörn i en polygon som avbilldas, sammanfaller hörnet i polygonen med motsvarande hörn i avbildningen av densamma.)
• Avbildningen av en rät linje är parallell med den avbildade linjen.
• Alla homotetier är likformighetsavbildningar.
  • Således är avbildningen av en polygon likformig med den avbildade polygonen
  • Avbildningen av ett kägelsnintt är ett motsvarande kägelsnitt: en cirkel avbildas på en cirkel, en ellips på en ellips (likformig, alltså med samma excentricitet), etcetera.
  • Vinklar i objektet är identiska med motsvarande vinklar i avbildningen, vilket även innebär att
    • Parallella linjer avbildas på parallella linjer.
• Om ${\displaystyle k=1}$ är homotetin en identitetsavbildning och således är den självinvers.
• Om ${\displaystyle k=-1}$ innebär homotetin en rotation ${\displaystyle 180^{\circ }}$ kring centrum, vilket även kan betraktas som en spegling i centrum. Avbildningen är kongruent med det avbildade objektet. Denna homoteti är självinvers.
• Om ${\displaystyle |k|>1}$ innebär avbildningen en utvidgning (dilatation) med faktorn ${\displaystyle k}$
• Om ${\displaystyle |k|<1}$ innebär avbildningen en nerskalning (kontraktion) med faktorn ${\displaystyle k}$
• En homoteti med ${\displaystyle k<0}$ motsvarar två succesiva steg: en homoteti med faktorn ${\displaystyle |k|}$ och en spegling i centrum (rotation ${\displaystyle 180^{\circ }}$ kring centrum) vilka kan utföras i valfri ordning.
• Två succesiva homotetier med faktorerna ${\displaystyle k_{1}}$ respektive ${\displaystyle k_{2}}$ motsvarar en homoteti med faktorn ${\displaystyle k_{1}\cdot k_{2}}$
  • Om ${\displaystyle k_{1}\cdot k_{2}=1}$ (${\displaystyle k_{1}\neq k_{2}}$) i två succesiva homotetier med skilda centra motsvarar den sammansatta homotetin en translation parallell med linjen ${\displaystyle {\overline {S_{1}S_{2}}}}$.
  • Om ${\displaystyle k_{1}\cdot k_{2}\neq 1}$ (${\displaystyle k_{1}\neq 1,k_{2}\neq 1}$) i två succesiva homotetier med skilda centra är homotetierna inte kommutativa (de ger olika resultat beroende på i vilken ordning de utförs).

Lite resonemang och några bevis

Nedan betecknar ${\displaystyle S}$ homoteticentrum, ${\displaystyle P_{x}}$ en punkt i det avbildade objektet och ${\displaystyle Q_{x}}$ motsvarande punkt i den homotetiska avbildningen. Homotetins faktor betecknas med ${\displaystyle k}$ så att ${\displaystyle {\vec {SQ_{x}}}=k\cdot {\vec {SP_{x}}}}$. Denna homoteti betecknas i denna artikel med ${\displaystyle H_{S,k}(Z)}$, där ${\displaystyle Z}$ är det objekt som avbildas, exempelvis: att ${\displaystyle P_{x}}$ avbildas på ${\displaystyle Q_{x}}$ genom en homoteti med centrum i ${\displaystyle S}$ och proportionalitetsfaktorn ${\displaystyle k}$ skrivs ${\displaystyle H_{S,k}(P_{x})=Q_{x}}$.

Att homotetins centrum avbildas på sig själv är trivialt: ${\displaystyle H_{S,k}(S)=S+k\cdot {\vec {SS}}=S+k\cdot {\vec {0}}=S+{\vec {0}}=S}$.

Att en rät linje (${\displaystyle P_{1}P_{2}}$) avbildas på en med denna parallell rät linje (${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$), kan visas genom:

${\displaystyle {\vec {Q_{1}Q_{2}}}={\vec {SQ_{2}}}-{\vec {SQ_{1}}}=k\cdot {\vec {SP_{2}}}-k\cdot {\vec {SP_{1}}}=k\cdot ({\vec {SP_{2}}}-{\vec {SP_{1}}})=k\cdot {\vec {P_{1}P_{2}}}\Rightarrow {\vec {Q_{1}Q_{2}}}\parallel {\vec {P_{1}P_{2}}}}$

Då ${\displaystyle {\vec {SP_{1}}}\parallel {\vec {SP_{2}}}}$, ${\displaystyle {\vec {SQ_{1}}}\parallel {\vec {SQ_{2}}}}$ och ${\displaystyle {\vec {Q_{1}Q_{2}}}\parallel {\vec {P_{1}P_{2}}}}$ så är ${\displaystyle \triangle SP_{1}P_{2}\sim \triangle SQ_{1}Q_{2}}$ och då ${\displaystyle |SQ_{1}|=k\cdot |SP_{1}|}$ och ${\displaystyle |SQ_{2}|=k\cdot |SP_{2}|}$ så är även ${\displaystyle |Q_{1}Q_{2}|=k\cdot |P_{1}P_{2}|}$. Det vill säga att homotetin förstorar eller förminskar det avbildade objektet med faktorn ${\displaystyle k}$.

Om ${\displaystyle P_{1}P_{2}\parallel P_{3}P_{4}}$, så är, enligt ovan, ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}\parallel P_{1}P_{2}\parallel P_{3}P_{4}\parallel Q_{3}Q_{4}}$. Det vill säga att inbördes parallella linjer avbildas på inbördes parallella linjer.

Av det ovanstående framgår också att en triangel ${\displaystyle \triangle P_{1}P_{2}P_{3}}$ avbildas på en likformig triangel ${\displaystyle \triangle Q_{1}Q_{2}Q_{3}}$, då ${\displaystyle P_{1}P_{2}\parallel Q_{1}Q_{2}}$, ${\displaystyle P_{1}P_{3}\parallel Q_{1}Q_{3}}$ och ${\displaystyle P_{2}P_{3}\parallel Q_{2}Q_{3}}$. Således är också trianglarnas motsvarande vinklar lika (${\displaystyle \angle Q_{1}Q_{2}Q_{3}=\angle P_{1}P_{2}P3}$, etcetera). Vilket direkt leder till slutsatsen att vinklar bevaras vid en homotetisk avbildning. Eftersom räta linjer avbildas på räta linjer parallella med den linje de avbildar och har en längd som är proportionell mot den avbildade linjens längd med samma faktor, samt att vinklar därtill bevaras är det klart att en polygon avbildas på en likformig polygon. Detta kan såklart även visas via en uppdelning av polygonen i trianglar, vilka ju, som nyss konstaterades, avbildas på likformiga trianglar. Härur följer även att varje geometrisk figur avbildas på en likformig figur. Detta kan även visas för en godtycklig kurva, ${\displaystyle P_{t}=f(t)}$, med hjälp av ortsvektorn från ${\displaystyle S}$ till en godtycklig punkt på denna kurva. Avbildningen av den godtyckliga punkten ${\displaystyle P_{t}}$ blir sålunda ${\displaystyle H_{S,k}(P_{t})=S+k\cdot P_{t}=S+k\cdot f(t)}$, det vill säga att avbilningen av kurvan är likformig med kurvan själv.

Att proportioner bevaras är således självklart, men kan, för fullständighets skull, även visas genom: Givet avstånden ${\displaystyle |P_{1}P_{2}|}$ och ${\displaystyle |P_{3}P_{4}|}$. De fyra punkterna avbildas på ${\displaystyle Q_{1}=k\cdot P_{1}}$ etcetera. Således är ${\displaystyle {\vec {Q_{1}Q_{2}}}=k\cdot {\vec {P_{1}P_{2}}}}$ och ${\displaystyle {\vec {Q_{3}Q_{4}}}=k\cdot {\vec {P_{3}P_{4}}}}$ vilket medför att ${\displaystyle |Q_{1}Q_{2}|=|{\vec {Q_{1}Q_{2}}}|=|k|\cdot |{\vec {P_{1}P_{2}}}|}$ och ${\displaystyle |Q_{3}Q_{4}|=|{\vec {Q_{3}Q_{4}}}|=|k|\cdot |{\vec {P_{3}P_{4}}}|}$ och således är:

${\displaystyle {\frac {|Q_{1}Q_{2}|}{|Q_{3}Q_{4}|}}={\frac {|{\vec {Q_{1}Q_{2}}}|}{|{\vec {Q_{3}Q_{4}}}|}}={\frac {|k|\cdot |{\vec {P_{1}P_{2}}}|}{|k|\cdot |{\vec {P_{3}P_{4}}}|}}={\frac {|{\vec {P_{1}P_{2}}}|}{|{\vec {P_{3}P_{4}}}|}}={\frac {|P_{1}P_{2}|}{|P_{3}P_{4}|}}}$.

Referenser

• Homothety - an Affine Transform på Cut the Knot.
• Homothety på Art of Problem Solving.