Pantograf

Figur 1. En pantograf i arbete. Pantografen förs efter den röda formen som förstoras upp till den gröna.		Figur 2 "Pantograf" på japanskt tunnelbanetåg.

Pantograf (av grekiska παντογράφος, pantografos, från παν, pan, genitiv παντος, pantos, "allt", och γράφειν, grafein, "skriva") är ett geometriskt instrument, med vilket man kan återge ritningar, kartor, porträtt, mönster och dylikt i förstorad eller förminskad skala.

Konstruktionen med en ledad parallellogram används även i andra sammanhang, speciellt inom eldriven spår- och järnvägsteknik där beteckningen pantograf överförts till den flexibla konstruktion som ligger an mot en luftledning och förbinder spårvagnens/ellokets elsystem med denna (spårvagnen/loket jordas sedan via hjul och skenor). Denna strömavtagare kallas även saxbygel.

Historia

Den första pantografen byggdes av Christoph Scheiner år 1603. Scheiner använde den för att kopiera diagram i olika skalor, men han skrev om uppfinningen först 27 år senare, i "Pantographice" (Rom 1631). En arm på pantografen hade en liten pekare medan den andra höll en ritspets. Genom att man flyttade pekaren över en figur skapades en kopia av diagrammet på ett annat papper. Genom att man ändrade armarnas inbördes positioner kunde diagrammets skala förändras. En mer komplicerad version kallad eidograf uppfanns av William Wallace (1768–1843) i Edinburgh, 1831.

Pantografens uppbyggnad, funktion och matematik

Figur 3.		Figur 4.

Figur 5. Notera att ${\displaystyle \triangle A_{1}DB_{1}\sim \triangle A_{1}EC}$ och ${\displaystyle \triangle A_{2}DB_{2}\sim \triangle A_{2}EC}$ eftersom ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2}}$, ${\displaystyle D}$ och ${\displaystyle E}$ är kollinjära och ${\displaystyle {\overline {DB_{2}B_{1}}}\parallel {\overline {EC}}}$.		Figur 6. Pantograf för kartproduktion enligt William Ford Stanleys konstruktion i andra hälften av 1800-talet.

Betrakta figur 3. En pantograf är uppbyggd av fyra stavar ${\displaystyle AE}$, ${\displaystyle BF}$, ${\displaystyle EC}$ och ${\displaystyle DB}$, vilka är fästa i varandra i punkterna ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$, ${\displaystyle B}$ och ${\displaystyle F}$, men är vridbara kring fästpunkterna. Sträckorna ${\displaystyle |DE|}$ och ${\displaystyle |BF|}$ är liklånga och detsamma gäller ${\displaystyle |DB|}$ och ${\displaystyle |EF|}$. Således är ${\displaystyle BDEF}$ en parallellogram och alltså är ${\displaystyle DB}$ parallell med ${\displaystyle EF}$ och ${\displaystyle DE}$ parallell med ${\displaystyle BF}$. Detta medför också att ${\displaystyle \angle BDE=\angle BFD}$ och ${\displaystyle \angle DEF=\angle FBD}$. Då ${\displaystyle DB\parallel EF}$ har vi även att ${\displaystyle \angle ADB=\angle DEF}$ och att ${\displaystyle BF\parallel DE}$ ger att även ${\displaystyle \angle BFC=\angle DEF}$.

Utgå nu från en parallellogram sammanstatt av fyra sidor: ${\displaystyle DE}$, ${\displaystyle BF}$, ${\displaystyle EF}$ och ${\displaystyle DB}$. Förläng sedan sidan ${\displaystyle DE}$ rätlinjigt, men i övrigt godtyckligt långt, till punkten ${\displaystyle A}$ och förläng sidan ${\displaystyle EF}$ till punkten ${\displaystyle C}$ så att ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ och ${\displaystyle C}$ ligger på en rät linje (det vill säga att ${\displaystyle C}$ är skärningspunkten ${\displaystyle {\overline {AB}}\cap {\overline {EF}}}$). Eftersom ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$ och ${\displaystyle C}$ är kollinjära och ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle D}$ och ${\displaystyle E}$ också är kollinjära är ${\displaystyle \angle BAD=\angle CAE}$ och då (enligt ovan) ${\displaystyle \angle ADB=\angle DEF=\angle DEC}$, ger detta att ${\displaystyle \angle DBA=\angle ECA}$ och således är ${\displaystyle \triangle ABD\sim \triangle ACE}$ . Att de båda trianglarna är likformiga ger då att:

${\displaystyle {\frac {|AE|}{|AD|}}={\frac {|AC|}{|AB|}}={\frac {|EC|}{|DB|}}=k}$

och figuren är således en homoteti med centrum i ${\displaystyle A}$ och skalfaktorn ${\displaystyle k}$. Men, då även ${\displaystyle \triangle BCF\sim \triangle ACE}$, är figuren också en homoteti med centrum i ${\displaystyle C}$ och skalfaktorn ${\displaystyle k/(k-1)}$.

I figur 4 hålls pantografstaven ${\displaystyle ADE}$ i figur 3 stilla, medan de båda armarna ${\displaystyle DB}$ och ${\displaystyle EFC}$ vrids kring ${\displaystyle D}$ respektive ${\displaystyle E}$, så att ${\displaystyle B}$ rör sig längs cirkeln ${\displaystyle b}$ med medelpunkt i ${\displaystyle D}$ och radien ${\displaystyle |DB|}$, medan ${\displaystyle C}$ rör sig längs cirkeln ${\displaystyle c}$ med medelpunkt i ${\displaystyle E}$ och radien ${\displaystyle |EC|}$ (i figur 3 markeras tre olika lägen med färgerna grönt, violett respektive orange, utöver det bruna "utgångsläget" från figur 3). Då dessa båda stavar är förbundna av länkarmen ${\displaystyle BF}$ kommer av de skäl som anförts ovan ${\displaystyle DB}$ att vara parallell med ${\displaystyle EFC}$ (${\displaystyle BDEF}$ kommer att fortsätta vara en parallellogram eftersom sidlängderna inte förändras). Homotetin med centrum i ${\displaystyle A}$ och skalfaktorn ${\displaystyle k}$ kommer därför inte att förändras – det vill säga att ${\displaystyle AC/AB=k}$ gäller oavsett hur man vrider på de länkade ${\displaystyle DB}$ och ${\displaystyle EC}$. Ej heller förändras homotetin om man vrider hela konstruktionen kring homoteticentrum ${\displaystyle A}$. Detta innebär att om man håller ${\displaystyle A}$ stilla och flyttar ${\displaystyle B}$ till en punkt på det objekt man vill avbilda, så kommer ${\displaystyle C}$ att hamna i motsvarande punkt på den homotetiska avbildningen, som kommer att vara förstorad med faktorn ${\displaystyle k}$. Låter man i stället ${\displaystyle C}$ följa det objekt som skall avbildas, kommer avbildningen, som då genereras av ${\displaystyle B}$, att skalas med faktorn ${\displaystyle 1/k}$, det vill säga förminskas.

I figur 6 visas en pantograf från 1800-talets andra hälft vilken användes för kartproduktion. Fältmätarna framställde kartor i stor skala, vilka sedan förminskades och sattes samman till mer hanterbara kartor i mindre skala (se exempelvis artikeln Generalstabskartan för mer information). Den avbildade pantografen användes för denna procedur. På en triangulär, tung och stabil fot sitter en vertikal pinne, vilken går genom ett flyttbart hål på sträckan ${\displaystyle AD}$ (jämför figur 5), kring vilken hela pantografen kan vridas (pinnen motsvarar alltså det fast belägna homotetiska centrumet). På sträckan ${\displaystyle DB}$ sitter en flyttbar pennhållare och i punkten ${\displaystyle C}$ sitter en spets med vilken man följde originalkartans markeringar. Hela anordningen hålls uppe från underlaget med hjälp av fem vridbara hjul (exempelvis i punkterna ${\displaystyle A}$ och ${\displaystyle B}$). Med hjälp av en tråd, som går från en mässings-spak nära ${\displaystyle C}$, via ${\displaystyle E}$ och ${\displaystyle D}$ till pennhållaren, kan pennan lyftas/sänkas av kartritaren (som ju manövrerar spetsen i ${\displaystyle C}$) utan att denne behöver flytta händerna. Genom att ställa in läget på homoteticentrum och pennhållaren enligt markeringarna på ${\displaystyle AD}$ respektive ${\displaystyle BD}$ kan olika nerskalningar erhållas. Exempelvis kan man som i figur 5 sätta homoteticentrum (det flyttbara hålet som sitter på pinnen kring vilken hela apparaten kan vridas) i ${\displaystyle A_{1}}$ och pennan i ${\displaystyle B_{1}}$ och få nerskalningen 1:2, eftersom ${\displaystyle |A_{1}E|=2\cdot |A_{1}D|}$. Sätter man homoteticentrum i ${\displaystyle A_{2}}$ och pennan i ${\displaystyle B_{2}}$ får man en förminskning till en tredjedel av originalets skala eftersom ${\displaystyle |A_{2}E|=3\cdot |A_{2}D|}$. Pennan och "centrumpinnen" på foten passade i varandras hål, så dessa var utbytbara (bilden blev då roterad 180° och skalningen annorlunda).

Källor

• Pantograf i Nordisk familjebok (andra upplagan, 1914)