Involution (matematik)

Inom matematiken är en involution eller självinvers funktion, en bijektiv funktion som är sin egen invers:

f(f(x))=x

,

eller alternativt

f^{-1}=f

.

Exempel

Reella tal

Involutioner är, utöver den identiska avbildningen f(x) = x, avbildningarna

\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\quad x\mapsto -x

och

\mathbb {R} \to \mathbb {R} \quad x\mapsto {\frac {1}{x}}

eftersom

-(-x)=x

för alla

x\in \mathbb {R}

och

{\frac {1}{1/x}}=x

för alla

x\neq 0

.

Komplexa tal

Komplexkonjugering av ett tal är en involution:

z=a+b\mathrm {i}

där

a,b\in \mathbb {R}

avbildas vid komplexkojugering på talet:

{\bar {z}}=z^{*}=a-b\mathrm {i} .

Vid ytterligare en komplexkonjugering fås

{\overline {\overline {z}}}=z^{**}=a+b\mathrm {i} =z

Involutioner i gruppteori

Ett element a i en grupp G kallas en involution om a² = e, där e är gruppens neutrala element. Om alla a, som tillhör G är involutioner, så är gruppen abelsk. En grupp vars alla element är involutioner är Kleins fyrgrupp.

Om G är en abelsk grupp, så är avbildningen

g\mapsto g^{-1}

en involution och en gruppautomorfi. Om G inte är abelsk, så är denna avbildning en involution, men inte en gruppautomorfi.

Generellt är varje inre automorfi på en grupp G en involution.

Linjär algebra

En matris A kallas involutiv om A² = I, där I är enhetsmatrisen. En involutiv matris kan i det två- och tredimensionella rummet konkret tolkas som en spegling av rummets punkter i en linje respektive i ett plan. Det finns ett enkelt samband mellan involutiva och idempotenta avbildningsmatriser. Om B är idempotent, så är A = 2B - I involutiv. B kan tolkas som en projektion. Exempel:

I det tvådimensionella rummet är

\ B={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}

en projektion på x-axeln och

\ A=2\cdot {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

en spegling av rummets punkter i samma axel.

Andra involutiva matriser är Paulis spinnmatriser.

Källor

I. N. Herstein, Topics in Algebra, Blaisdell Publishing Company, Waltham 1964.
B. L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Heidelberg 1950.
Karl-Johan Bäckström, Diskret matematik, Studentlitteratur, Lund 1986.
David C. Lay, Linear Algebra and its Applications, Addison-Wesley, New York 1996.