Åttahörning

Area

En regelbunden åttahörning har arean: ${\displaystyle A=2(1+{\sqrt {2}})\cdot a^{2}\approx 4,\!828\cdot a^{2}.}$

Härledning

En regelbunden åttahörning är en kvadrat med fyra avskurna hörn (som i figur 3). Dessa hörn är rätvinkliga trianglar med hypotenusan ${\displaystyle a}$ och de liklånga kateterna är sålunda ${\displaystyle a/{\sqrt {2}}}$ vilket ger att den hela kvadraten har sidlängden ${\displaystyle S=d_{2}=a+2a/{\sqrt {2}}}$ och därmed arean ${\displaystyle (a+2a/{\sqrt {2}})^{2}=a^{2}+a^{2}2{\sqrt {2}}+2a^{2}=a^{2}+2(1+{\sqrt {2}})\cdot a^{2}}$. De fyra bortskurna trianglana har sammanlagt arean ${\displaystyle 4(a/{\sqrt {2}})^{2}/2=a^{2}}$ vilket subtraheras från kvadraten och ger resten ${\displaystyle 2(1+{\sqrt {2}})\cdot a^{2}}$.

Diagonaler

Diagonalerna (figur 2) har längderna:

${\displaystyle d_{1}=a{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle d_{2}=(1+{\sqrt {2}})a}$

${\displaystyle d_{3}=a{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

Härledning

Längden för ${\displaystyle d_{2}}$ visades ovan under Area vara ${\displaystyle d_{2}=a+2a/{\sqrt {2}}=(1+{\sqrt {2}})\cdot a}$

Betrakta den rätvinkliga triangeln ${\displaystyle \triangle ADE}$ i figur 2 vars hypotenusa har längden ${\displaystyle d_{1}}$ och vars kateter har längderna ${\displaystyle d_{2}}$ och ${\displaystyle a}$. Pythagoras sats ger

${\displaystyle {d_{1}}^{2}={d_{2}}^{2}+a^{2}=(1+{\sqrt {2}})^{2}a^{2}+a^{2}=(1+2{\sqrt {2}}+2)a^{2}+a^{2}=a^{2}(4+2{\sqrt {2}})\Leftrightarrow }$

${\displaystyle d_{1}={\sqrt {a^{2}(4+2{\sqrt {2}})}}=a{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}}$

Betrakta en rätvinklig triangel ${\displaystyle \triangle AKC}$ där ${\displaystyle K}$ (ej utmärkt i figur 2 men ligger i skärningspunkten mellan r₁ och d₂) är fotpunkt till ${\displaystyle C}$ på ${\displaystyle {\overline {AD}}}$. Dess hypotenusa har längden ${\displaystyle d_{3}}$ och, eftersom ${\displaystyle \triangle CKD}$ är en likbent rätvinklig triangel med hypotenusan ${\displaystyle a}$ och följdakligen båda kateterna ${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$ , har kateterna i ${\displaystyle \triangle AKC}$ längderna ${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$ respektive ${\displaystyle d_{2}-{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a-{\frac {a}{\sqrt {2}}}=a(1+{\sqrt {2}}-{\frac {1}{\sqrt {2}}})}$.

Pythagoras sats ger:

${\displaystyle {\begin{aligned}{d_{3}}^{2}&=a^{2}(1+{\sqrt {2}}-{\frac {1}{\sqrt {2}}})^{2}+({\frac {a}{\sqrt {2}}})^{2}=\\&=a^{2}(1+2+{\frac {1}{2}}+2{\sqrt {2}}-{\frac {2}{\sqrt {2}}}-{\frac {2{\sqrt {2}}}{\sqrt {2}}})+{\frac {a^{2}}{2}}=\\&=a^{2}(1+2+{\frac {1}{2}}+2{\sqrt {2}}-{\sqrt {2}}-2+{\frac {1}{2}})=\\&=a^{2}(2+{\sqrt {2}})\Leftrightarrow \end{aligned}}}$

${\displaystyle d_{3}=a{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

De inskrivna och omskrivna cirklarna

Radierna fås direkt genom halvering av de två av diagonalerna som är liklånga med cirklarnas respektive diametrar:

Den inskrivna cirkelns radie är ${\displaystyle r_{1}={\frac {d_{2}}{2}}=a\cdot {\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}}\approx 1,\!2071\cdot a}$

Den omskrivna cirkelns radie är ${\displaystyle r_{2}={\frac {d_{1}}{2}}=a\cdot {\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{2}}=a\cdot {\sqrt {1+{\frac {1}{\sqrt {2}}}}}\approx 1,\!3066\cdot a}$

Cirklarnas omkretser och areor fås därefter givetvis av ${\displaystyle 2\pi r}$ respektive ${\displaystyle \pi r^{2}}$.

"Silversnittet" och "cordobasnittet"

De om- och inskrivna cirklarnas radier och diametrar eller, om man så vill, diagonalerna ${\displaystyle \scriptstyle d_{1}}$ och ${\displaystyle \scriptstyle d_{2}}$, anses ha spelat roll inom arkitektur och konst, där kvoten mellan dessa och åttahörningens sidlängd stundom använts. "Cordobasnittet" (engelska Cordovan ratio, uppkallad efter proportioner hos byggnader, särskilt stora moskén, i Cordoba, Spanien) är kvoten mellan den omskrivna cirkelns radie och åttahörningens sidlängd, vilka tillsammans bildar sidorna i "cordobatrianglen" (Cordovan triangle), medan cirkelns diameter och sida bildar sidorna i "cordobarektangeln" (Cordovan rectangle med proportionerna ${\displaystyle \scriptstyle 1\$ :\ {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}} ). Kvoten mellan den inskrivna cirkelns diameter och åttahörningens sidlängd, ${\displaystyle \scriptstyle 1\$ :\ 1+{\sqrt {2}}} , har sedan ungefär senaste millennieskifte ibland kallats "silversnittet" (på engelska silver ratio), eller det "silverne snittet", i analogi med det "gyllene snittet" (som är förhållandet mellan sidlängd och diagonal i en regelbunden femhörning). Likaledes kallas ibland en rektangel med denna proportion mellan sidorna en "silverrekttangeln" (silver rectangle). "Silversnittet" betecknas ${\displaystyle \textstyle \delta _{Ag}}$ eller ${\displaystyle \textstyle \delta _{S}}$. Ett papper av A-format (exempelvis ett vanligt A4-papper) kan delas i en kvadrat och en "silverrektangel" eftersom ett sådant papper har proportionerna ${\displaystyle \scriptstyle 1\$ :\ {\sqrt {2}}} och tar man bort en kvadrat med sidlängden 1 från detta har den återstående remsan proportionerna ${\displaystyle \scriptstyle 1\$ :\ {\sqrt {2}}-1\ =\ 1+{\sqrt {2}}\ :\ 1} .

Konstruktion från en kvadrat

Hur man viker en regelbunden åttahörning utgående från ett kvadratiskt papper framgår av figuren till höger, men är materialet "styvare" får man ta till andra sätt, som passare och linjal (samma princip som pappersvikningen: dra diagonalerna med linjal, mät ut kvadratens sida med passaren på diagonalen och konstruera mittpunktsnormalen till den återstående biten av diagonalen) eller direkt mätning:

Se figur 3. Eftersom kateterna på de gröna rätvinkliga trianglar som skall "skäras bort" från kvadraten har längden ${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$ och hela kvadraten har sidlängden ${\displaystyle S=d_{2}=(1+{\sqrt {2}})a}$ (se ovan under Diagonaler) i förhållande till den önskade åttahörningens sidlängd ${\displaystyle a}$, har vi att kateterna på de trianglar som skall skäras bort har längden:

${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}={\frac {\frac {a}{\sqrt {2}}}{(1+{\sqrt {2}})a}}\cdot S={\frac {1}{{\sqrt {2}}\cdot (1+{\sqrt {2}})}}\cdot S={\frac {S}{2+{\sqrt {2}}}}\approx {\frac {S}{3,\!4142}}\approx 0,\!2929\cdot S}$.

I praktiken

Multiplicera din spånskivekvadrats sidlängd med 0,293 och märk ut punkter på kvadratens sidor med detta avstånd från hörnen. Dra räta linjer mellan punkterna och följ linjerna när du sågar. Om du vill ha en regelbunden åttahörning med en bestämd sidlängd utgår du från en kvadrat med sidor som är ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}\approx 2,\!414}$ gånger så långa som denna önskade längd.

Konstruktion från en given sida med passare och linjal

Givet sidan ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ (svart) i figuren till höger.

Dra mittpunktsnormalen (brun konstruktion) till ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ och kalla sidans mittpunkt ${\displaystyle C}$. Placera passaren i ${\displaystyle C}$ och avsätt ${\displaystyle |{\overline {CB}}|}$ på mittpunktsnormalen (symboliserat av röd cirkelbåge) och kalla denna punkt ${\displaystyle D}$. Dra den räta linjen genom ${\displaystyle D}$ och ${\displaystyle B}$ (orange). Sätt passaren i ${\displaystyle B}$ och avsätt ${\displaystyle |{\overline {AB}}|}$ på den nyss dragna (orange) linjen genom ${\displaystyle D}$ och ${\displaystyle B}$ (symboliserat av grön cirkelbåge) och kalla denna punkt ${\displaystyle E}$. Vi har nu fått sidan ${\displaystyle {\overline {BE}}}$! Konstruera mittpunktsnormalen (blå konstruktion) till ${\displaystyle {\overline {BE}}}$. De två mittpunktsnormalerna (till ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ respektive ${\displaystyle {\overline {BE}}}$) skär varandra i ${\displaystyle F}$, oktoederns mittpunkt och den omskrivna cirkelns mittpunkt. Placera passaren i ${\displaystyle F}$ och rita den omskrivna cirkeln (violett) med radien ${\displaystyle |{\overline {FA}}|}$. Avsätt sedan ${\displaystyle |{\overline {AB}}|}$ runt denna cirkel hörn för hörn ${\displaystyle G,H,...}$ (symboliserat av streckade linjer).