Pappos' sats

$Figur 2.Punkterna kan även ligga på olika sidor om skärningspunkten mellan m {\displaystyle m} och n {\displaystyle n} , som hos denna ganska invecklade "sexhörning".$		$Figur 3.Ännu en "sexhörning" med hörn på båda sidor om skärningspunkten mellan m {\displaystyle m} och n {\displaystyle n} .$
Figur 2. Punkterna kan även ligga på olika sidor om skärningspunkten mellan $m$ och $n$ , som hos denna ganska invecklade "sexhörning".		Figur 3. Ännu en "sexhörning" med hörn på båda sidor om skärningspunkten mellan $m$ och $n$ .

$Figur 5."Sexhörning" med två par av inbördes parallella sidor: A B ¯ ∥ C D ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}}} och B C ¯ ∥ F A ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}\parallel {\overline {FA}}} .$		$Figur 6.Dualen till Pappos' sats: linjerna mellan de motstående hörnen, A D ¯ = x {\displaystyle {\overline {AD}}=x} , B E ¯ = y {\displaystyle {\overline {BE}}=y} och C F ¯ = z {\displaystyle {\overline {CF}}=z} , skär varandra i Pappospunkten O {\displaystyle O} .$
Figur 5. "Sexhörning" med två par av inbördes parallella sidor: ${\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}}$ och ${\overline {BC}}\parallel {\overline {FA}}$ .		Figur 6. Dualen till Pappos' sats: linjerna mellan de motstående hörnen, ${\overline {AD}}=x$ , ${\overline {BE}}=y$ och ${\overline {CF}}=z$ , skär varandra i Pappospunkten $O$ .

Pappos' sats eller, mera precist, Pappos' hexagonsats är en plangeometrisk sats. Den är uppkallad efter den grekiske matematikern Pappos, som bevisade satsen första gången på 300-talet e.Kr.. Satsen säger följande (se figur 1 som visar de sex möjliga "sexhörningarna" med något fetare linjer):

Låt $A$ , $C$ och $E$ vara punkter på en linje ( $m$ , blå) och $B$ , $D$ och $F$ vara punkter på en annan linje ( $n$ , också denna blå). Då ligger skärningspunkterna (röda i figuren) $X={\overline {AB}}\cap {\overline {DE}}$ (gröna linjer), , $Y={\overline {CD}}\cap {\overline {FA}}$ (orange linjer) och $Z={\overline {BC}}\cap {\overline {EF}}$ (lila linjer) på en tredje linje, kallad Papposlinjen (röd i figur 1).

Pappos' sats gäller inte inom affin geometri i det fall att ${\overline {AB}}\parallel {\overline {DE}}$ , ${\overline {BC}}\parallel {\overline {EF}}$ eller ${\overline {CD}}\parallel {\overline {FA}}$ . Inom projektiv geometri gäller inte detta förbehåll, eftersom parallella linjer skär varandra i en punkt i oändligheten (och parallella linjer kan genom en lämplig centralprojektion avbildas på räta linjer som skär varandra).

Dualen till denna incidenssats säger att om man har två skilda mängder, vardera bestående av tre inbördes konkurrenta linjer (konkurrens innebär att de löper samman i en punkt), $a$ , $c$ och $e$ (som skär varandra i punkten $M$ ) respektive $b$ , $d$ och $f$ (som skär varandra i $N$ ), så är linjerna $x$ , $y$ och $z$ , definierade av par av punkter via skärningspunkterna mellan linjerna $c\cap d$ och $f\cap a$ , $a\cap b$ och $d\cap e$ , respektive $b\cap c$ och $e\cap f$ konkurrenta. (Se figur 6.)

Pascals sats är en generalisering av Pappos' sats, eller snarare så är Pappos' sats specialfallet av Pascals sats när kägelsnittet går genom dubbelkonens spets och därvid "degenererar" till två räta linjer (vilka skär varandra i spetsen).

Pappos' konfiguration är den konfiguration av nio punkter och nio linjer som uppträder i Pappos' sats, där varje punkt är incident med tre linjer och varje linje är incident med tre punkter. I allmänhet passerar inte Papposlinjen genom de båda andra linjernas skärningspunkt. Denna konfiguration är självdual. Eftersom, speciellt, linjerna BF, CE och XY har samma egenskaper som linjerna X, Y och Z i dualsatsen och kollinearitet mellan X, Y och Z är liktydigt med konkurrens hos BF, CE och XY, är den duala satsen detsamma som satsen själv. Levigrafen för Papposkonfigurationen är Papposgrafen, en bipartit, avståndsreguljär graf med 18 hörn och 27 kanter.

För tre givna punkter på en linje $m$ och tre givna punkter på en annan linje $n$ finns det sex olika konfigurationer av linjer genom en punkt på vardera $m$ och $n$ så att det genom varje av punkterna går två linjer. Dessa sex konfigurationer har vardera en egen Papposlinje (se figur 1). Dessa Papposlinjer skär varandra tre och tre i två "Steinerpunkter" (se figur 7).

Bevis av Pappos' sats

I resonemanget bör först kort behandlas parallella linjer och här görs en jämförelse med en sexhörning, det vill säga att punkterna jämförs med hörnen i en sådan och linjerna med sidor i en sådan. De "motstående sidorona" utgörs av tre par: ${\overline {AB}}$ och ${\overline {DE}}$ , ${\overline {BC}}$ och ${\overline {EF}}$ respektive ${\overline {CD}}$ och ${\overline {FA}}$ i sexhörningen $ABCDEF$ (de tre paren av motsående sidor är de som enligt Pappos' sats skär varandra i tre kollinjära punkter). Som "alternerande sidor" definieras dels ${\overline {AB}}$ , ${\overline {CD}}$ och ${\overline {EF}}$ och dels ${\overline {BC}}$ , ${\overline {DE}}$ och ${\overline {FA}}$ .

Om två motstående sidor är parallella gäller inte Pappos' sats i affin geometri (och därför ej heller i Euklidisk geometri), eftersom parallella linjer inte har någon skärningspunkt. Inom projektiv geometri gäller satsen dock, då parallella sidor skär varandra i en punkt i oändligheten.

Pappos' sats kan bevisas på många olika sätt, men det mest grundläggande sättet torde vara att genomföra beviset inom Euklidisk geometri och utnyttja Menelaos sats i det fall att högst ett par i endera trippeln alternerande sidor är inbördes parallella. Om två par, ett par i varje trippel, skulle vara inbördes parallella kan man inte bilda någon triangel av alternerande sidor, och således inte utnyttja Menelaos sats, men då kan satsen i stället bevisas Euklidiskt med likformiga trianglar (eller genom att gå via en lämplig centralprojektion så att inga linjer längre är parallella, men beviset blir då inte strikt Euklidiskt).

Konstruera triangeln $\triangle PQR$ med de alternerande ${\overline {AB}}$ , ${\overline {CD}}$ och ${\overline {EF}}$ som sidor (ljusgrön i figurerna 1, 2 och 3). De tre övriga sidorna i "sexhörningen" skär dessa tre linjer, och så gör även $m$ och $n$ . Då säger Menelaos sats att för dessa fem linjer gäller:

${\overline {BC}}:\quad$	${\frac {\vec {PB}}{\vec {BQ}}}\cdot {\frac {\vec {QC}}{\vec {CR}}}\cdot {\frac {\vec {RZ}}{\vec {ZP}}}=-1$
${\overline {DE}}:$	${\frac {\vec {PX}}{\vec {XQ}}}\cdot {\frac {\vec {QD}}{\vec {DR}}}\cdot {\frac {\vec {RE}}{\vec {EP}}}=-1$
${\overline {FA}}:$	${\frac {\vec {PA}}{\vec {AQ}}}\cdot {\frac {\vec {QY}}{\vec {YR}}}\cdot {\frac {\vec {RF}}{\vec {FP}}}=-1$

$m:\quad$	${\frac {\vec {PA}}{\vec {AQ}}}\cdot {\frac {\vec {QC}}{\vec {CR}}}\cdot {\frac {\vec {RE}}{\vec {EP}}}=-1$
$n:$	${\frac {\vec {PB}}{\vec {BQ}}}\cdot {\frac {\vec {QD}}{\vec {DR}}}\cdot {\frac {\vec {RF}}{\vec {FP}}}=-1$

Notera nu att allt som står över bråkstrecken i uttrycken för $m$ och $n$ i spalten till höger också står över bråkstrecken i uttrycken för ${\overline {BC}}$ , ${\overline {DE}}$ och ${\overline {FA}}$ i spalten till vänster och att detsamma gäller det som står under bråkstrecken i de båda spalterna. Således kan man om man multiplicerar uttrycken i vänsterspalten och dividerar denna produkt med produkten av uttrycken i högerspalten, förkorta bort alla dessa tolv par av lika faktorer. Återstår gör då:

{\frac {\vec {PX}}{\vec {XQ}}}\cdot {\frac {\vec {QY}}{\vec {YR}}}\cdot {\frac {\vec {RZ}}{\vec {ZP}}}=-1

och således är, genom omvändningen av Menelaos sats, $X$ , $Y$ och $Z$ kollinjära.

Två par av alternerande sidor är inbördes parallella

Betrakta figur 5. I denna är ${\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}}$ och ${\overline {BC}}\parallel {\overline {FA}}$ . Således ligger deras respektive skärningspunkter i oändligheten och vare sig triangeln $\triangle PQR$ eller $\triangle STU$ kan bildas affint/Euklidiskt av sexhörningssidorna, vilket innebär att ett alternativt bevis måste till. Detta bygger på likformiga trianglar, av vilka det på grund av de parallella linjeparen finns en hel del. Ur några av dessa likfomiga triangelpar (alla med en sida på ${\overline {FPERY}}$ och hörn i $R$ respektive $P$ ) fås:

$\triangle FRZ\sim \triangle FPA\Rightarrow {\frac {\|{\overline {RZ}}\|}{\|{\overline {RF}}\|}}={\frac {\|{\overline {PA}}\|}{\|{\overline {PF}}\|}}\quad$	$\triangle ERC\sim \triangle EPA\Rightarrow {\frac {\|{\overline {RC}}\|}{\|{\overline {RE}}\|}}={\frac {\|{\overline {PA}}\|}{\|{\overline {PE}}\|}}$
$\triangle YRC\sim \triangle YPB\Rightarrow {\frac {\|{\overline {RC}}\|}{\|{\overline {RY}}\|}}={\frac {\|{\overline {PB}}\|}{\|{\overline {PY}}\|}}$	$\triangle FRD\sim \triangle FPB\Rightarrow {\frac {\|{\overline {RD}}\|}{\|{\overline {RF}}\|}}={\frac {\|{\overline {PB}}\|}{\|{\overline {PF}}\|}}$
$\triangle ERD\sim \triangle EPX\Rightarrow {\frac {\|{\overline {RD}}\|}{\|{\overline {RE}}\|}}={\frac {\|{\overline {PX}}\|}{\|{\overline {PE}}\|}}$

Notera att alla sträckor som står över bråkstrecket i de två uttrycken i högerspalten också står över bråkstrecket i något av uttrycken i vänsterspalten (och på samma sida om likhetstecknet!) och detsamma gäller för sträckorna som står under bråkstrecken. Så, om man om man multiplicerar ihop de tre uttrycken till vänster och dividerar denna produkt med produkten av de två uttrycken till höger, får man, efter de nyss antydda förkortningarna, att:

{\frac {|{\overline {RZ}}|}{|{\overline {RY}}|}}={\frac {|{\overline {PX}}|}{|{\overline {PY}}|}}

Eftersom $\angle YRZ=\angle YPX$ får vi sålunda att $\triangle YRZ$ och $\triangle YPX$ är likformiga, vilket innebär att $Z$ ligger på ${\overline {XY}}$ (då $\angle RYZ=\angle PYX$ och $P$ , $R$ och $Y$ är kollinjära så sammanfaller ${\overline {YZ}}$ med ${\overline {YX}}$ ).

Dualen till Pappos' sats

Betrakta "sexhörningen" $ABCDEF$ i figur 6 med sidorna $a={\overline {AB}}$ , $b={\overline {BC}}$ (...) och $f={\overline {FA}}$ . De tre alternerande sidorna $a$ , $c$ och $e$ skär varandra i punkten $M$ , medan $b$ , $d$ och $f$ skär varandra i $N$ . Dualen till Pappos' sats säger då att (de röda) linjerna $x={\overline {AD}}$ , $y={\overline {BE}}$ och $z={\overline {CF}}$ skär varandra i samma punkt (Pappospunkten – $O$ i figuren).

Bevis

Beviset för dualen följer enkelt ur Pappos' sats. Notera att $MCFNEB$ i figur 6 bildar ännu en "sexhörning" med vartannat hörn på $e={\overline {MFE}}$ och vartannat på $b={\overline {NBC}}$ . Då säger Pappos' sats att skärningspunkterna

{\overline {MB}}\cap {\overline {NF}}=a\cap f=A

,

{\overline {EN}}\cap {\overline {CM}}=d\cap e=D

och

{\overline {BE}}\cap {\overline {FC}}=y\cap z=O

är kollinjära, det vill säga att skärningspunkterna ligger på linjen ${\overline {ADO}}=x$ och således är $x\cap y=x\cap z=y\cap z=O$ .

Sex olika konfigurationer

För varje given uppsättning av tre plus tre inbördes kollinjära punkter finns det sex olika konfigurationer av linjer genom punkterna som uppfyller villkoret att linjerna skall gå genom en punkt på vardera $m$ respektive $n$ på ett sådant sätt att två linjer skär varandra i varje punkt. Att antalet möjliga konfigurationer är sex visas nedan:

Beteckna punkterna på $m$ med $A$ , $C$ och $E$ i valfri ordnijng. Punkten som valts som $A$ skall vara förbunden med två punkter på $n$ , men inte med den tredje – det "motsående hörnet" till $A$ . Kalla denna motsående punkt för $D$ . $D$ kan väljas på tre sätt (det finns ju tre punkter på $n$ att välja mellan). $D$ skall i sin tur vara förbunden med punkterna $C$ och $E$ på $m$ . Förbind sedan $A$ med de två kvarvarande punkterna på $n$ och kalla den ena för $B$ och den andra för $F$ – detta val kan göras på två sätt. Förbind slutligen $B$ med $C$ och $F$ med $E$ och "sexhörningen" $ABCDEF$ är klar. Eftersom $D$ kunde väljas på tre sätt och valet mellan beteckningarna $B$ och $F$ kunde göras på två sätt, blir antalet möjliga konfigurationer (med en i förväg fastställd ordning mellan punkterna på $m$ ) lika med antalet permutationer av beteckningarna $B$ , $D$ och $F$ på punkterna på $n$ , det vill säga $3!=6$ . (Jämför figur 1 och 7.)

Ett alternativt sätt är att konstatera att det finns nio möjliga linjer som dels går genom en av det tre punkterna på $m$ och dessutom genom en av de tre punkterna på $n$ . Dessa skall nu reduceras till sex genom att ta bort en linje genom varje punkt på $m$ på ett sådant sätt att det även tas bort en (och endast en) linje genom varje punkt på $n$ . Från den "första" punkten på $m$ kan man välja vilken som helst av de tre linjerna att ta bort. Från den andra punkten på $m$ finns det nu bara två linjer att välja mellan, eftersom man inte kan välja linjen som går till samma punkt som den första linjen som plockades bort (denna punkt har ju nu bara två linjer som går genom den). Och för den sista punkten på $m$ finns det bara ett val – linjen till den punkt på $n$ genom vilken det fortfarande går tre linjer. Således tre gånger två gånger en valmöjlighet, det vill säga sex möjliga konfigurationer.

Cykliska permutationer och inversioner

Det finns två typer av cykliska permutationer vilka är relevanta med avseende på Pappos' sats. En som inte påverkar konfigurationen (och därmed inte den till konfigurationen hörande Papposlinjen) och en som gör det. Analogt gäller detta också för dualen till Pappos' sats (om linjer byts mot punkter, och vice versa)-

Utöver att de cykliska permutuationerne av hela "sexhörningen" ger samma konfiguration ger också omvändningen av hela "sexhörningen" samma konfiguration, det vill säga att $FEDCBA=ABCDEF$ , eftersom ${\overline {AB}}={\overline {BA}}$ etcetera.

Cyklisk permutation av hörnen i hela "sexhörningen"

Om beteckningarna för hörnen permuteras cykliskt i $ABCDEF$ , det vill säga $A\rightarrow B,B\rightarrow C\ (...)\ F\rightarrow A$ påverkas inte konfigurationen eftersom den samtidigt innebär att ${\overline {AB}}=a\rightarrow {\overline {BC}}=b,\ {\overline {BC}}=b\rightarrow {\overline {CD}}=c\ (...),\ {\overline {FA}}=f\rightarrow {\overline {AB}}=a$ , vilket inte påverkar skärningspunkterna mellan motstående sidor på annat sätt att även beteckningarna för dessa permuteras cykliskt (det vill säga $X\rightarrow Y$ etcetera, ty ${\overline {AB}}\rightarrow {\overline {BC}}$ och ${\overline {DE}}\rightarrow {\overline {EF}}$ innebär ju att ${\overline {AB}}\cap {\overline {DE}}=X\rightarrow {\overline {BC}}\cap {\overline {EF}}=Y$ ) men inte själva punkternas lägen och därmed inte Papposlinjen som sådan. Motsvarande resonemang gäller såklart för de motstående linjerna (vilket antytts ovan) i den duala Pappossatsen och därmed deras gemensamma Pappospunkt.

Inversioner och cykliska permutationer av hörnen på $m$ och $n$

I figur 1 avbildas de sex möjliga konfigurationer som bildas av tre givna punkter på $m$ och tre på $n$ . En inversion av hörnens ordning på $n$ ger upphov till en av tre nya permutationer – exempelvis för konfigurationen i den övre vänstra delfiguren: $F\leftrightarrow D\Rightarrow FBD\rightarrow DBF$ , $B\leftrightarrow D\Rightarrow FBD\rightarrow FDB$ eller $B\leftrightarrow F\Rightarrow FBD\rightarrow BFD$ , det vill säga var och en av konfigurationerna i den nedre raden i figur 1. På motsvarande sätt ombildas de båda andra konfigurationerna i övre raden till en av konfigurationerna i den nedre – vilken av dem beror på den valda inversionen. Härav följer direkt att om man upprepar samma inversion får man tillbaka ursprungsläget och de tre konfigurationerna i den nedre raden kan således omstruktureras till valfri konfiguration i den övre raden genom en av de tre möjliga inversionerna i hörnens ordning. Ur detta följer också att två på varandra följande inversioner av hörnens ordning på $n$ antingen leder tillbaka till ursprungsläget (samma inversion två gånger) eller till endera av de två andra konfigurationerna i samma rad. Detta senare innebär en cyklisk permutation av hörnens ordning på $n$ .

Vad som ovan sagts om hörnen på $n$ gäller såklart även om hörnen på $m$ och därför följer också att en inversion i ordningen på $m$ följd eller föregången av en inversion i ordningen på $n$ leder till en av konfigurationena i samma rad. De sex konfigurationerna kan således delas in i två grupper om tre sådana att genom en inversion i ordningen av hörnen på valfri linje ( $m$ eller $n$ ) får man en konfiguration tillhörande den andra gruppen.

Steinerpunkter

Beteckningen "Steinerpunkter" används vanligtvis om de 20 punkter i vilka de 60 Pascallinjerna skär varandra tre och tre vad avser Pascals sats, men, då Pappos' sats kan ses som en "degenererad" version av Pascals sats, används beteckningen även här. De är uppkallade efter Jakob Steiner som 1828 visade att Pascallinjerna skär varandra tre och tre.

Se figur 7. I denna figur avbildas de tre Papposlinjerna för konfigurationerna på översta raden i figur 1 till vänster och de tre Papposlinjerna för konfigurationerna i den undre raden till höger. De tre Papposlinjerna i varje delfigur skär varandra i en gemensam Steinerpunkt (gula i figur 7). Formulerat som en sats:

De sex Papposlinjerna bildar två linjetripplar sådana att de tre linjerna i en trippel skär varandra i en gemensam punkt och de tre linjerna i den andra trippeln skär varandra i en andra gemensam punkt.

Vilka linjer som skär varandra i vilken Steinerpunkt beror av pariteten hos permutationerna av punkterna på $m$ och $n$ (jämför avsnittet om cykliska permutationer och inversioner ovan). De konfigurationer som har jämn paritet skär varandra i den ena punkten, medan de som är udda skär varandra i den andra. Om punkterna på $m$ och/eller $n$ permuteras cykliskt inbördes förändras inte pariteten, och därför inte heller Steinerpunkten, för den då uppkomna konfigurationen.

Bevis

Att de tre Papposlinjerna skär varandra i Steinerpunkten visas med hjälp av omvändningen av Desargues sats och figur 8. I denna figur har tre trianglar markerats (grå: $\triangle X_{2}Y_{1}Z_{3}$ , turkos: $\triangle X_{1}Y_{3}Z_{2}$ och brun: $\triangle X_{3}Y_{2}Z_{1}$ ) vilka vardera har ett hörn på vardera av de tre Papposlinjerna (röd: ${\overline {X_{1}Y_{1}Z_{1}}}$ , lila: ${\overline {X_{2}Y_{2}Z_{2}}}$ och grön: ${\overline {X_{3}Y_{3}Z_{3}}}$ ). Varje triangels sidor skär $m$ i punkterna $A={\overline {X_{2}Y_{1}}}\cap {\overline {X_{1}Y_{3}}}\cap {\overline {X_{3}Y_{2}}}$ , $E={\overline {X_{2}Z_{3}}}\cap {\overline {X_{1}Z_{2}}}\cap {\overline {X_{3}Z_{1}}}$ och $C={\overline {Y_{1}Z_{3}}}\cap {\overline {Y_{3}Z_{2}}}\cap {\overline {Y_{2}Z_{1}}}$ .

Således ligger, enligt omvändningen av Desargues sats, trianglarnas hörn på tre gemensamma linjer (=Papposlinjerna) vilka skär varandra i en gemensam punkt, Steinerpunkten $S$ .

Dualsats

Dualsatsen till den ovanstående satsen säger att för de sex Pappospunkterna enligt dualen till Pappos' sats gäller:

De sex Pappospunkterna bildar två punkttripplar sådana att de tre punkterna i en trippel ligger på en gemensam rät linje och de tre punkterna i den andra trippeln ligger på en andra rät linje.

Beviset görs på samma sätt som ovan, fast utan att vända om Deasargues sats (det vill säga: eftersom linjerna genom triangelhörnen skär varandra i en gemensam punkt, så ligger triangelsidornas skärningspunkter på en rät linje).

De konfigurationer som har jämn respektive udda paritet ger upphov till varsin linje.

Referenser

H.S.M. Coxeter och S.L. Greitzer, 1967, Geometry Revisited, sid 67–69. ISBN 0883856190.
Pappus' Theorem på Cut the knot.
Eric W. Weisstein, Pappus's hexagon theorem på Wolfram Math World.
Peter Baum, 2023, Über den Satz von Pappos. Från Projektive Geometrie (PG5 Pappos- und Pascal-Netze 14.02.2023 P. Baum) på Pädagogischen Forschungsstelle, Bund der Freien Waldorfschulen.
Serge Tabachnikov, 2016, Projective configuration theorems: old wine into new wineskins

Noter

↑ ${\overline {AB}}\cap {\overline {DE}}$ betecknar skärningspunkten mellan linjerna ${\overline {AB}}$ och ${\overline {DE}}$ . På samma sätt betecknar $a\cap b$ skärningspunkten mellan linjerna $a$ och $b$ .
↑ Eric W. Weisstein, Pappus Configuration på Wolfram Mathworld.
↑ Detta inträffar dock när ABC och DEF är perspektiva, det vill säga att AD, BE och CF är konkurrenta.
↑ Eric W. Weisstein, Pappus Graph på Wolfram Mathworld.
↑ Man kan också använda triangeln som har ${\overline {BC}}$ , ${\overline {DE}}$ och ${\overline {FA}}$ som sidor – speciellt i det fall att två av ${\overline {AB}}$ , ${\overline {CD}}$ och ${\overline {EF}}$ är inbördes parallella.
↑ I detta bevis används de likformiga triangelpar som har hörn i $P$ respektive $R$ . Man kan lika väl utnyttja de triangelpar som har en sida på ${\overline {DSETX}}$ och hörn i $S$ respektive $T$ (vilket leder till att $\triangle XTZ\sim \triangle XSY$ ).
↑ Se exempelvis Leroy J. Dickey, A Family of Conics Associated with the Configuration of Pappus eller S. Tabachnikov (2016), figur 11, sid. 12.
↑ J. Steiner, "Théorèmes sur l’hexagramum mysticum" i Annales de Mathématiques Pures et Appliquées, vol. 18 (1827-1828), sid. 339–340
↑ Notera att beteckningen "Steinerpunkt" även används i andra sammanhang. Se Eric W. Weisstein, Steiner Points på Wolfram MathWorld.
↑ Vad som är "jämn" respektive "udda" paritet beror av den ordning som definierats som "ursprunglig jämn" paritet. Om man definierar $ACE$ som jämn är även $EAC$ och $CEA$ jämna (har ett jämnt antal [två] inversioner i förhållande till $ACE$ ), medan de övriga $AEC$ , $CAE$ och $ECA$ är udda (en inversion i förhållande till $ACE$ ). På samma sätt kan man definiera permutationerna för punkterna på $n$ så att $BDF$ , $FBD$ och $DFB$ har samma paritet, låt säga jämn, varvid $BFD$ , $DBF$ och $FDB$ är udda. Har permutationerna på både $m$ och $n$ samma paritet är hela konfigurationens paritet jämn, men har de motsatt paritet är den udda.
↑ S. Tabachnikov (2016), Theorem 3.1, sid. 12.
↑ Cyklisk permutation av ett udda antal element bibehåller pariteten eftersom den innebär ett jämnt antal inversioner. Exempelvis $123\rightarrow 231=1\leftrightarrow 3\land 2\leftrightarrow 3$ .
↑ Sidorna skär även $n$ i $B$ $D$ och $F$ !
↑ S. Tabachnikov (2016), Theorem 3.2, sid. 13.

Externa länkar

Güner Cherif Ahmet, Pappossats på GeoGebra. (Interaktiv applikation – dra de blå punkterna längs linjerna och få nya Papposlinjer.)

[1] ${\overline {AB}}\cap {\overline {DE}}$ betecknar skärningspunkten mellan linjerna ${\overline {AB}}$ och ${\overline {DE}}$ . På samma sätt betecknar $a\cap b$ skärningspunkten mellan linjerna $a$ och $b$ .

[2] Eric W. Weisstein, Pappus Configuration på Wolfram Mathworld.

[3] Detta inträffar dock när ABC och DEF är perspektiva, det vill säga att AD, BE och CF är konkurrenta.

[4] Eric W. Weisstein, Pappus Graph på Wolfram Mathworld.

[5] Man kan också använda triangeln som har ${\overline {BC}}$ , ${\overline {DE}}$ och ${\overline {FA}}$ som sidor – speciellt i det fall att två av ${\overline {AB}}$ , ${\overline {CD}}$ och ${\overline {EF}}$ är inbördes parallella.

[6] I detta bevis används de likformiga triangelpar som har hörn i $P$ respektive $R$ . Man kan lika väl utnyttja de triangelpar som har en sida på ${\overline {DSETX}}$ och hörn i $S$ respektive $T$ (vilket leder till att $\triangle XTZ\sim \triangle XSY$ ).

[7] Se exempelvis Leroy J. Dickey, A Family of Conics Associated with the Configuration of Pappus eller S. Tabachnikov (2016), figur 11, sid. 12.

[8] J. Steiner, "Théorèmes sur l’hexagramum mysticum" i Annales de Mathématiques Pures et Appliquées, vol. 18 (1827-1828), sid. 339–340

[9] Notera att beteckningen "Steinerpunkt" även används i andra sammanhang. Se Eric W. Weisstein, Steiner Points på Wolfram MathWorld.

[10] Vad som är "jämn" respektive "udda" paritet beror av den ordning som definierats som "ursprunglig jämn" paritet. Om man definierar $ACE$ som jämn är även $EAC$ och $CEA$ jämna (har ett jämnt antal [två] inversioner i förhållande till $ACE$ ), medan de övriga $AEC$ , $CAE$ och $ECA$ är udda (en inversion i förhållande till $ACE$ ). På samma sätt kan man definiera permutationerna för punkterna på $n$ så att $BDF$ , $FBD$ och $DFB$ har samma paritet, låt säga jämn, varvid $BFD$ , $DBF$ och $FDB$ är udda. Har permutationerna på både $m$ och $n$ samma paritet är hela konfigurationens paritet jämn, men har de motsatt paritet är den udda.

[11] S. Tabachnikov (2016), Theorem 3.1, sid. 12.

[12] Cyklisk permutation av ett udda antal element bibehåller pariteten eftersom den innebär ett jämnt antal inversioner. Exempelvis $123\rightarrow 231=1\leftrightarrow 3\land 2\leftrightarrow 3$ .

[13] Sidorna skär även $n$ i $B$ $D$ och $F$ !

[14] S. Tabachnikov (2016), Theorem 3.2, sid. 13.

$\triangle FRZ\sim \triangle FPA\Rightarrow {\frac {\|{\overline {RZ}}\|}{\|{\overline {RF}}\|}}={\frac {\|{\overline {PA}}\|}{\|{\overline {PF}}\|}}\quad$	$\triangle ERC\sim \triangle EPA\Rightarrow {\frac {\|{\overline {RC}}\|}{\|{\overline {RE}}\|}}={\frac {\|{\overline {PA}}\|}{\|{\overline {PE}}\|}}$
$\triangle YRC\sim \triangle YPB\Rightarrow {\frac {\|{\overline {RC}}\|}{\|{\overline {RY}}\|}}={\frac {\|{\overline {PB}}\|}{\|{\overline {PY}}\|}}$	$\triangle FRD\sim \triangle FPB\Rightarrow {\frac {\|{\overline {RD}}\|}{\|{\overline {RF}}\|}}={\frac {\|{\overline {PB}}\|}{\|{\overline {PF}}\|}}$
$\triangle ERD\sim \triangle EPX\Rightarrow {\frac {\|{\overline {RD}}\|}{\|{\overline {RE}}\|}}={\frac {\|{\overline {PX}}\|}{\|{\overline {PE}}\|}}$

Pappos' sats

Bevis av Pappos' sats

Två par av alternerande sidor är inbördes parallella

Dualen till Pappos' sats

Bevis

Sex olika konfigurationer

Cykliska permutationer och inversioner

Cyklisk permutation av hörnen i hela "sexhörningen"

Inversioner och cykliska permutationer av hörnen på m {\displaystyle m} och n {\displaystyle n}

Steinerpunkter

Bevis

Dualsats

Referenser

Noter

Externa länkar

Inversioner och cykliska permutationer av hörnen på $m$ och $n$