Femhörning

Sätt ${\displaystyle r=AO}$ och ${\displaystyle a=AC}$.

Enligt Pythagoras sats är då

${\displaystyle a^{2}=r^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}}$ vilket medför att ${\displaystyle a={\frac {{\sqrt {5}}r}{2}}}$

Sätt ${\displaystyle \alpha =\wedge ACO}$ och ${\displaystyle \beta =\wedge AOF}$. Då är

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1}{\sqrt {5}}}}$

Sätt slutligen ${\displaystyle d=AD}$ (vilket också innebär att ${\displaystyle AE=d}$ och ${\displaystyle AF=d}$, eftersom alla radier i en cirkel är lika långa).

Ur ovanstående följer enligt cosinussatsen att

${\displaystyle d^{2}=a^{2}+a^{2}-2a\,a\cos \alpha ={\frac {5r^{2}}{2}}-{\frac {5r^{2}}{2}}{\frac {1}{\sqrt {5}}}={\frac {{\sqrt {5}}r^{2}}{2}}\left({\sqrt {5}}-1\right)}$

Enligt cosinussatsen är då

${\displaystyle \cos \beta ={\frac {2r^{2}-{\frac {\sqrt {5}}{2}}r^{2}\left({\sqrt {5}}-1\right)}{2r^{2}}}=1-{\frac {\sqrt {5}}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$.

Detta medför att

${\displaystyle \ \beta =72^{\circ }={\frac {360^{\circ }}{5}}\quad (1)}$

vilket visar att alla vinklar mot O av sidorna i AEGHF är lika stora, vilket medför att pentagonen verkligen är regelbunden.

Nyckelresultatet (1) kan exempelvis visas enligt:

Enligt identiteterna för de trigonometriska funktionerna är

${\displaystyle \cos 18^{\circ }=\sin 72^{\circ }}$.

Efter upprepad användning av trigonometriska funktioner för dubbla vinkeln är

${\displaystyle \sin 72^{\circ }=2\sin 36^{\circ }\cos 36^{\circ }=2\cdot 2\sin 18^{\circ }\cos 18^{\circ }\left(1-2\sin ^{2}18^{\circ }\right)}$.

Ur likheten

${\displaystyle \cos 18^{\circ }=2\cdot 2\sin 18^{\circ }\cos 18^{\circ }\left(1-2\sin ^{2}18^{\circ }\right)}$

erhålls genom att sätta

${\displaystyle x=\sin 18^{\circ }}$

ekvationen

${\displaystyle 1=4x\left(1-2x^{2}\right)}$

vilken har lösningarna

${\displaystyle x_{1}=-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}},\quad x_{2}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},\quad x_{3}={\frac {1}{2}}}$

varav ${\displaystyle x_{1}}$ och ${\displaystyle x_{3}}$ förkastas.

Alltså är

${\displaystyle \sin 18^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$

och enligt identiterna för de trigonometriska funktionerna är därför

${\displaystyle \cos 72^{\circ }=\sin 18^{\circ }=\cos \beta }$

och alltså gäller verkligen att Β är ${\displaystyle 72^{\circ }}$, vilket är (1), det som skulle visas.