Roger Cotes

Roger Cotes
	Roger Cotes
Född	10 juli 1682; Burbage (parish), Storbritannien
Död	5 juni 1716 (33 år); Cambridge
Begravd	Trinity College Chapel; kartor
Medborgare i	Kungariket Storbritannien
Utbildad vid	Universitetet i Cambridge, 1706; Trinity College, 1702; St Paul's School, 1699
Sysselsättning	Matematiker, fysiker
Befattning
	Plumian Professor of Astronomy and Experimental Philosophy (1706–1716)
Arbetsgivare	Universitetet i Cambridge (1705–1716)
Utmärkelser
	Fellow of the Royal Society (1711)
	Redigera Wikidata

Roger Cotes, född den 10 juli 1682 i Burbage, Leicestershire, död den 5 juni 1716 i Cambridge, var en engelsk matematiker, känd för att ha arbetat nära Isaac Newton genom att korrekturläsa den andra upplagan av hans berömda bok, Principia, före publicering. Han utarbetade också kvadraturformlerna, kända som Newton-Cotes-formler, som härrörde från Newtons forskning, och lade fram ett geometriskt argument som kan tolkas som en logaritmisk version av Eulers formel.

Biografi

Cotes föräldrar var Robert, kyrkoherden i Burbage, och hans hustru Grace, född Farmer. Roger hade en äldre bror, Anthony (född 1681), och en yngre syster, Susanna (född 1683), som båda dog unga. Först gick Roger på Leicester School, där hans matematiska talang uppmärksammades. Hans moster Hannah hade gift sig med pastor John Smith, och Smith tog på sig rollen som handledare för att uppmuntra Rogers talang. Smiths son, Robert Smith, blev en nära medarbetare till Roger Cotes under hela sitt liv. Cotes studerade senare vid St Paul's School, London och började på Trinity College, Cambridge, år 1699. Han tog kandidatexamen 1702 och magisterexamen 1706.

Förutom uppsatser i Philosophical Transactions skrev han flera efter hans död utgivna verk, där han behandlade integralkalkyl, geometri, hydrostatik med mera, av vilka kan framhållas Harmonia mensurarum (1722), där han framställer den viktiga satsen om en punkts polarlinje med hänsyn till en kurva.

Cotes dog av en våldsam feber i Cambridge år 1716 vid den tidiga åldern av 33 år. Isaac Newton anmärkte: "Om han hade levt skulle vi ha vetat något."

Astronomi

Roger Cotes bidrag till moderna beräkningsmetoder ligger i hög grad inom astronomi och matematik. Cotes började sin utbildningskarriär med fokus på astronomi. Han blev ledamot av Trinity College år 1707, och vid 26 års ålder blev han den första plumianska professorn i astronomi och experimentell filosofi. När han utnämndes till professor öppnade han en prenumerationslista i ett försök att bygga upp ett observatorium för Trinity. Tyvärr var observatoriet fortfarande ofärdigt när Cotes dog och revs 1797.

I korrespondens med Isaac Newton konstruerade Cotes ett heliostatteleskop med en spegel som roterade med ett urverk. Han reviderade sol- och planettabellerna för Giovanni Domenico Cassini och John Flamsteed, och han avsåg att skapa tabeller över månens rörelse, baserade på Newtonska principer. Slutligen, år 1707, bildade han en skola för fysikvetenskap vid Trinity i samarbete med William Whiston.

Principia

Från 1709 till 1713 blev Cotes starkt involverad i den andra upplagan av Newtons Principia, en bok som förklarade Newtons teori om universell gravitation. Den första upplagan av Principia trycktes endast i ett fåtal exemplar och behövde revideras för att inkludera Newtons verk och principer för mån- och planetteori. Newton hade till en början en nonchalant inställning till revideringen, eftersom han i stort sett hade gett upp det vetenskapliga arbetet. Men genom den starka passion som Cotes visade, återuppväcktes Newtons vetenskapliga intresse. De två tillbringade nästan tre och ett halvt år med att samarbeta på verket, där de helt och hållet härleder, från Newtons rörelselagar, teorin om månen, dagjämningarna och kometernas banor. Endast 750 exemplar av den andra upplagan trycktes även om piratkopierade exemplar från Amsterdam också distribuerades för att möta efterfrågan på verket. Som belöning till Cotes fick han en del av vinsten och 12 egna exemplar. Cotes ursprungliga bidrag till verket var ett förord som stödde den vetenskapliga överlägsenheten hos Newtons principer jämfört med den då populära virvelgravitationsteorin som förespråkades av René Descartes. Cotes drog slutsatsen att Newtons gravitationslag bekräftades genom observation av himlafenomen som var oförenliga med virvelteorin.

Matematik

Cotes största originalverk var inom matematik, särskilt inom områdena integralkalkyl, logaritmer och numerisk analys. Han publicerade endast en vetenskaplig artikel under sin livstid, med titeln Logometria, där han framgångsrikt konstruerar den logaritmiska spiralen. Efter hans död redigerades många av Cotes matematiska artiklar av hans kusin Robert Smith och publicerades i en bok, Harmonia mensurarum. Cotes ytterligare verk publicerades senare i Thomas Simpsons The Doctrine and Application of Fluxions. Cotes upptäckte en viktig sats om de n:te rötterna till enhet, förutsåg minstakvadratmetoden, och upptäckte en metod för att integrera rationella bråk med binomiala nämnare. Han hyllades också för sina insatser inom numeriska metoder, särskilt interpoleringsmetoder och sina tabellkonstruktionstekniker.Han ansågs vara en av få brittiska matematiker som kunde följa Sir Isaac Newtons kraftfulla verk.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Margaratha Kirch, 12 mars 2025.

Cotes, Roger i Salmonsens Konversationsleksikon (andra utgåvan, 1916)
[Anon.] "Cotes, Roger" . Encyclopædia Britannica. Vol. 7 (11th ed.). 1911.
Cohen, I. B. (1971). Introduction to Newton's "Principia". Harvard: Harvard University Press. ISBN 0-674-46193-2.
Edleston, J., red (1850). Correspondence of Sir Isaac Newton and Professor Cotes. https://archive.org/details/correspondenceof00newtrich/page/n7. via Internet Archive
Gowing, R. (2002). Roger Cotes: Natural Philosopher. London: Cambridge University Press. ISBN 0-521-52649-3.
Koyré, A. (1965). Newtonian Studies. London: Chapman & Hall. Sid. 273–82. ISBN 0-412-42300-6.
Price, D. J. (1952). ”The early observatory instruments of Trinity College, Cambridge”. Annals of Science 8: sid. 1–12. doi:10.1080/00033795200200012.
Turnbull, H. W. (1975–1976). The Correspondence of Isaac Newton (7 vols). London: Cambridge University Press. Sid. vols.5–6.
Whitman, A., red (1972). Isaac Newton's Philosophiae Naturalis Principia Mathematica: The Third Edition (1726) with Variant Readings. London: Cambridge University Press. Sid. 817–26. ISBN 0-521-07960-8.

Noter

1 2 MacTutor History of Mathematics archive, läst: 22 augusti 2017.^{[källa från Wikidata]}
1 2 SNAC, SNAC Ark-ID: w6n30gw6, läst: 9 oktober 2017.^{[källa från Wikidata]}
1 2 3 4 5 6 MacTutor History of Mathematics archive.^{[källa från Wikidata]}
↑ Store norske leksikon, Store norske leksikon-ID: Roger_Cotes Store_norske_leksikon, läst: 18 oktober 2026.^{[källa från Wikidata]}
↑ Find a Grave.^{[källa från Wikidata]}
↑ läs online, trinitycollegechapel.com .^{[källa från Wikidata]}
↑ Mathematics Genealogy Project.^{[källa från Wikidata]}
↑ Cambridge alumn-ID: CTS699R.^{[källa från Wikidata]}
1 2 Complete Dictionary of Scientific Biography, Charles Scribner's Sons, 2008, ISBN 978-0-684-31559-1.^{[källa från Wikidata]}
↑ Arthur Berry, A Short History of Astronomy, John Murray, 1898.^{[källa från Wikidata]}
↑ Iliffe, Rob, red (2016). The Cambridge Companion to Newton (2nd). Cambridge University Press. Sid. 411. doi:10.1017/cco9781139058568. ISBN 978-1-139-05856-8.
↑
Cotes skrev: "För om någon båge i en kvadrant av en cirkel, beskriven av radien CE, har sinus CX och ett komplement sinus XE; om man tar radien CE som modulen, kommer bågen att vara förhållandet mellan $EX+XC{\sqrt {-1}}$ $EX+XC{\sqrt {-1}}$ & CE- mätning tagen i ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ ." Således, om någon båge i en kvadrant av en cirkel, beskriven av radien CE, har sinus CX och sinus till komplementet till kvadranten XE; om man tar radien CE som modul, kommer bågen att vara måttet på förhållandet mellan $EX+XC{\sqrt {-1}}$ & CE multiplicerad med ${\sqrt {-1}}$ .) Det vill säga, betrakta en cirkel med centrum E (vid origo av (x, y)-planet) och radie CE. Betrakta en vinkel θ med dess hörn vid E, som har den positiva x-axeln som ena sidan och en radie CE som den andra sidan. Vinkeln från punkten C på cirkeln till x-axeln är "sinus" CX; linjen mellan cirkelns centrum E och punkten X vid foten av vinkeln är XE, vilket är "sinus för komplementet till kvadranten" eller "cosinus". Förhållandet mellan $EX+XC{\sqrt {-1}}$ och CE är således $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ . II Cotes terminologi är "måttet" på en kvantitet dess naturliga logaritm, och "modulen" är en omvandlingsfaktor som omvandlar ett vinkelmått till cirkelbågslängd (här är modulen cirkelns radie (CE)). Enligt Cotes är produkten av modulen och måttet (logaritmen) på förhållandet, när den multipliceras med ${\sqrt {-1}}$ , är lika med längden på den cirkelbåge som är underställd θ, vilket för alla vinklar mätta i radianer är CE • θ. Således, ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ . Denna ekvation har fel tecken: faktorn ${\sqrt {-1}}$ ${\sqrt {-1}}$ ska vara på höger sida av ekvationen, inte vänster. Om denna ändring görs, blir resultatet, efter att båda sidor dividerats med CE och båda sidor exponentierats: $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ , vilket är Eulers formel.
Se:
- Roger Cotes (1714) "Logometria," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29 (338) : 5-45; see especially page 32. Available on-line at: Hathi Trust
- Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, England: 1722), chapter: "Logometria", p. 28.
↑ "Cotes, Roger (CTS699R)". A Cambridge Alumni Database. University of Cambridge.
1 2 3 4 5 6 7 8 Meli (2004)
↑ Edleston, J., ed. (1850) Correspondence of Sir Isaac Newton and Professor Cotes, … (London, England: John W. Parker), "Letter XCVIII. Cotes to John Smith." (1708 February 10), pp. 197–200.
↑ Kaw, Autar (2003-01-01). ”cotes - A Historical Anecdote”. mathforcollege.com. http://mathforcollege.com/nm/anecdotes/cotes.html.
1 2 3 4 O'Connor & Robertson (2005)
↑ In Logometria, Cotes evaluated e, the base of natural logarithms, to 12 decimal places. See: Roger Cotes (1714) "Logometria," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29 (338) : 5-45; see especially the bottom of page 10. From page 10: "Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … " (Furthermore, the same ratio is between 2.718281828459… and 1, … )
↑ Harmonia mensurarum contains a chapter of comments on Cotes' work by Robert Smith. On page 95, Smith gives the value of 1 radian for the first time. See: Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, England: 1722), chapter: Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum, top of page 95. From page 95: After stating that 180° corresponds to a length of π (3.14159…) along a unit circle (i.e., π radians), Smith writes: "Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57.2957795130 &c. " (Whence the conversion factor of trigonometric measure, 57.2957795130… [degrees per radian], will appear.)
↑ Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, England: 1722), chapter: "Theoremata tum logometrica tum triogonometrica datarum fluxionum fluentes exhibentia, per methodum mensurarum ulterius extensam" (Theorems, some logorithmic, some trigonometric, which yield the fluents of given fluxions by the method of measures further developed), pages 113-114.
↑ Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, England: 1722), chapter: "Aestimatio errorum in mixta mathesis per variationes partium trianguli plani et sphaerici" Harmonia mensurarum ... , pages 1-22, see especially page 22. From page 22: "Sit p locus Objecti alicujus ex Observatione prima definitus, … ejus loco tutissime haberi potest." (Let p be the location of some object defined by observation, q, r, s, the locations of the same object from subsequent observations. Let there also be weights P, Q, R, S reciprocally proportional to the displacements that may arise from the errors in the single observations, and that are given from the given limits of error; and the weights P, Q, R, S are conceived as being placed at p, q, r, s, and their center of gravity Z is found: I say the point Z is the most probable location of the object, and may be most safely had for its true place. [Ronald Gowing, 1983, p. 107])
↑ Cotes presented his method in a letter to William Jones, dated 5 May 1716. An excerpt from the letter which discusses the method was published in: [Anon.] (1722), Book review: "An account of a book, intitled, Harmonia Mensurarum, … ," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 32 : 139-150 ; see pages 146-148.

Externa länkar

”Harmonia Mensurarum”. MathPages. http://www.mathpages.com/home/kmath192/kmath192.htm. - A more complete account of Cotes's involvement with Principia, followed by an even more thorough discussion of his mathematical work.
Meli, D. B. (2004) "Cotes, Roger (1682–1716)", Oxford Dictionary of National Biography, Oxford University Press, retrieved 7 September 2007

[49fdb5fe81b8355b0a67fc010bab1d0476734c67-1] 1 2 MacTutor History of Mathematics archive, läst: 22 augusti 2017.^{[källa från Wikidata]}

[dc905dd689ba24fa7a315d66a6aa311872daa513-2] 1 2 SNAC, SNAC Ark-ID: w6n30gw6, läst: 9 oktober 2017.^{[källa från Wikidata]}

[6ddba9745c61aed5f408b43b8b430b317e2f26a4-3] 1 2 3 4 5 6 MacTutor History of Mathematics archive.^{[källa från Wikidata]}

[bb93fded6c78d352035082c67009e53e7fc385f0-4] Store norske leksikon, Store norske leksikon-ID: Roger_Cotes Store_norske_leksikon, läst: 18 oktober 2026.^{[källa från Wikidata]}

[e5823a4f28d35706cd7a689da3822f942b5306e6-5] Find a Grave.^{[källa från Wikidata]}

[32c2f44b4fe8205196fe509c69d8b532f283911c-6] äs online, trinitycollegechapel.com .^{[källa från Wikidata]}

[fe5b9a6e85f660a4cea0fc2b13b79783f0f02d99-7] Mathematics Genealogy Project.^{[källa från Wikidata]}

[958e5cab8ba016625a527022e14f87e2c006060a-8] Cambridge alumn-ID: CTS699R.^{[källa från Wikidata]}

[f27af35f3e6a020800748593a3b53487bacbf449-9] 1 2 Complete Dictionary of Scientific Biography, Charles Scribner's Sons, 2008, ISBN 978-0-684-31559-1.^{[källa från Wikidata]}

[51e9b2ce443d9376663dc87b117e7926a15fef99-10] Arthur Berry, A Short History of Astronomy, John Murray, 1898.^{[källa från Wikidata]}

[11] Iliffe, Rob, red (2016). The Cambridge Companion to Newton (2nd). Cambridge University Press. Sid. 411. doi:10.1017/cco9781139058568. ISBN 978-1-139-05856-8.

[12] Cotes skrev: "För om någon båge i en kvadrant av en cirkel, beskriven av radien CE, har sinus CX och ett komplement sinus XE; om man tar radien CE som modulen, kommer bågen att vara förhållandet mellan $EX+XC{\sqrt {-1}}$ & CE- mätning tagen i ${\sqrt {-1}}$ ." Således, om någon båge i en kvadrant av en cirkel, beskriven av radien CE, har sinus CX och sinus till komplementet till kvadranten XE; om man tar radien CE som modul, kommer bågen att vara måttet på förhållandet mellan $EX+XC{\sqrt {-1}}$ & CE multiplicerad med ${\sqrt {-1}}$ .) Det vill säga, betrakta en cirkel med centrum E (vid origo av (x, y)-planet) och radie CE. Betrakta en vinkel θ med dess hörn vid E, som har den positiva x-axeln som ena sidan och en radie CE som den andra sidan. Vinkeln från punkten C på cirkeln till x-axeln är "sinus" CX; linjen mellan cirkelns centrum E och punkten X vid foten av vinkeln är XE, vilket är "sinus för komplementet till kvadranten" eller "cosinus". Förhållandet mellan $EX+XC{\sqrt {-1}}$ och CE är således $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \$ . II Cotes terminologi är "måttet" på en kvantitet dess naturliga logaritm, och "modulen" är en omvandlingsfaktor som omvandlar ett vinkelmått till cirkelbågslängd (här är modulen cirkelns radie (CE)). Enligt Cotes är produkten av modulen och måttet (logaritmen) på förhållandet, när den multipliceras med ${\sqrt {-1}}$ , är lika med längden på den cirkelbåge som är underställd θ, vilket för alla vinklar mätta i radianer är CE • θ. Således, ${\sqrt {-1}}CE\ln {\left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)\ }=(CE)\theta$ . Denna ekvation har fel tecken: faktorn ${\sqrt {-1}}$ ska vara på höger sida av ekvationen, inte vänster. Om denna ändring görs, blir resultatet, efter att båda sidor dividerats med CE och båda sidor exponentierats: $\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta =e^{{\sqrt {-1}}\theta }$ , vilket är Eulers formel.
Se:
Roger Cotes (1714) "Logometria," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29 (338) : 5-45; see especially page 32. Available on-line at: Hathi Trust

Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, England: 1722), chapter: "Logometria", p. 28.

[mwAkM] Roger Cotes (1714) "Logometria," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29 (338) : 5-45; see especially page 32. Available on-line at: Hathi Trust

[mwAkg] Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, England: 1722), chapter: "Logometria", p. 28.

[13] "Cotes, Roger (CTS699R)". A Cambridge Alumni Database. University of Cambridge.

[ODNB-14] 1 2 3 4 5 6 7 8 Meli (2004)

[15] Edleston, J., ed. (1850) Correspondence of Sir Isaac Newton and Professor Cotes, … (London, England: John W. Parker), "Letter XCVIII. Cotes to John Smith." (1708 February 10), pp. 197–200.

[16] Kaw, Autar (2003-01-01). ”cotes - A Historical Anecdote”. mathforcollege.com. http://mathforcollege.com/nm/anecdotes/cotes.html.

[mactutor-17] 1 2 3 4 O'Connor & Robertson (2005)

[18] In Logometria, Cotes evaluated e, the base of natural logarithms, to 12 decimal places. See: Roger Cotes (1714) "Logometria," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 29 (338) : 5-45; see especially the bottom of page 10. From page 10: "Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … " (Furthermore, the same ratio is between 2.718281828459… and 1, … )

[19] Harmonia mensurarum contains a chapter of comments on Cotes' work by Robert Smith. On page 95, Smith gives the value of 1 radian for the first time. See: Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, England: 1722), chapter: Editoris notæ ad Harmoniam mensurarum, top of page 95. From page 95: After stating that 180° corresponds to a length of π (3.14159…) along a unit circle (i.e., π radians), Smith writes: "Unde Modulus Canonis Trigonometrici prodibit 57.2957795130 &c. " (Whence the conversion factor of trigonometric measure, 57.2957795130… [degrees per radian], will appear.)

[20] Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, England: 1722), chapter: "Theoremata tum logometrica tum triogonometrica datarum fluxionum fluentes exhibentia, per methodum mensurarum ulterius extensam" (Theorems, some logorithmic, some trigonometric, which yield the fluents of given fluxions by the method of measures further developed), pages 113-114.

[21] Roger Cotes with Robert Smith, ed., Harmonia mensurarum … (Cambridge, England: 1722), chapter: "Aestimatio errorum in mixta mathesis per variationes partium trianguli plani et sphaerici" Harmonia mensurarum ... , pages 1-22, see especially page 22. From page 22: "Sit p locus Objecti alicujus ex Observatione prima definitus, … ejus loco tutissime haberi potest." (Let p be the location of some object defined by observation, q, r, s, the locations of the same object from subsequent observations. Let there also be weights P, Q, R, S reciprocally proportional to the displacements that may arise from the errors in the single observations, and that are given from the given limits of error; and the weights P, Q, R, S are conceived as being placed at p, q, r, s, and their center of gravity Z is found: I say the point Z is the most probable location of the object, and may be most safely had for its true place. [Ronald Gowing, 1983, p. 107])

[22] Cotes presented his method in a letter to William Jones, dated 5 May 1716. An excerpt from the letter which discusses the method was published in: [Anon.] (1722), Book review: "An account of a book, intitled, Harmonia Mensurarum, … ," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 32 : 139-150 ; see pages 146-148.

Befattning
Roger Cotes

Född	10 juli 1682 Burbage (parish), Storbritannien
Död	5 juni 1716 (33 år) Cambridge
Begravd	Trinity College Chapel kartor
Medborgare i	Kungariket Storbritannien
Utbildad vid	Universitetet i Cambridge, 1706 Trinity College, 1702 St Paul's School, 1699
Sysselsättning	Matematiker, fysiker
Plumian Professor of Astronomy and Experimental Philosophy (1706–1716)
Arbetsgivare	Universitetet i Cambridge (1705–1716)
Utmärkelser
Fellow of the Royal Society (1711)
Redigera Wikidata