Reglerteknik

Exempel

• Reglering av en vattentank. För en vattentank där inflödet bestäms av "någon annan" (till exempel nederbörd), där utflödet kan styras med hjälp av en ventil, och där det finns ett önskemål om att hålla vattennivån (som vi kan mäta med en viss precision) till ett visst värde som en operatör anger, kan signalerna tolkas som följande: Styrsignal - läget på utsläppsventilen, Mätsignal - Den uppmätta vattennivån (inklusive mätfel), Reglerstorhet - Vattennivån (utan mätfel), Störning - Inflödet till tanken. Här kan det kanske vara viktigare att förändringar i inflödet regleras bort snabbt (så att den inte svämmar över om det börjar regna) än att snabbt följa operatörens önskemål om vattennivå (det vill säga störningsundertryckning prioriteras före referensföljning).

• Temperaturreglering i ett rum. För ett rum med ett elektriskt element (där spänningen på elementet kan väljas) och det finns ett önskemål om en viss temperatur (som kan mätas med termometer), men där antalet människor i rummet, utomhustemperaturen och andra potentiella värmekällor inte kan påverkas, kan signalerna tolkas enligt följande: Styrsignal - spänningen på elementet, Mätsignal - Vad termometern anger, Reglerstorhet - Temperaturen i rummet, Referenssignal - den önskade temperaturen, Störning - Kroppsvärmen från människor i rummet, utomhustemperaturen (som läcker in genom väggarna), etc. Här är det kanske viktigare att snabbt följa med i förändrade temperaturönskemål (för att tillfredsställa den som gav önskemålet) än att minimera tillfälliga förändringar i temperaturen när många människor kommer in i rummet (det vill säga referensföljning prioriteras före störningsundertryckning).

Bodediagram

Bodediagram är en plot, ofta med logaritmerade axlar, av (den komplexvärda) överföringsfunktionen G(iω), med beloppet |G(iω)| mot vinkelfrekvensen ω i ett diagram, och argumentet arg(G(iω)) mot ω i ett annat diagram. Amplituden i Bodediagram graderas ofta i en decibelskala, 20log₁₀. I Bodediagrammet kan man relativt enkelt utläsa systemets egenskaper i frekvensplanet.

Nyquistdiagram

Nyquistdiagram är en plot av överföringsfunktionen G(iω) i det komplexa talplanet, med vinkelfrekvensen ω som en parameter. Med hjälp av Nyquistkriteriet kan man göra vissa utsagor om systemets stabilitet.

Nyquistkriteriet

Nyquistkriteriet är en sats som ger ett samband mellan Nyquistdiagrammet för det öppna systemet och stabiliteten hos det slutna. (Se figur för begreppen öppet resp slutet system.)

Antalet poler i höger halvplan till det återkopplade systemet är lika med antalet poler i höger halvplan hos det öppna systemet, plus antalet varv som nyquistkurvan omsluter punkten -1.

Egenskaper i frekvensplanet

I frekvensplanet kan man definiera vissa storheter hos systemet, som har nära samband med systemets beteende i tidsplanet.

• Bandbredd. Den högsta vinkelfrekvens för vilken systemet har förstärkningen -3 dB. Säger någonting om hur "snabbt" systemet är.
• Skärfrekvens. Den högsta vinkelfrekvens då systemet har förstärkningen 0 dB.
• Amplitudmarginal (eller förstärkningsmarginal). Anger hur mycket amplitudkurvan (i ett Bodediagram) hos det öppna systemet kan höjas utan att det slutna systemet blir instabilt.
• Fasmarginal. Anger hur mycket faskurvan (i ett Bodediagram) kan förskjutas hos det öppna systemet utan att det slutna systemet blir instabilt.

Rotortanalys

Rotort är en analysmetod för att studera hur polerna för ett system förändras när en (skalär) parameter i reglerdesignen förändras.

Ett enkelt exempel är ett system som återkopplas med en proportionell regulator (P-regulator). Om överföringsfunktionen för systemet ${\displaystyle G(s)={\frac {Q(s)}{P(s)}}}$, och regulatorn ${\displaystyle F(s)=K}$, så blir överföringsfunktionen för det återkopplade (slutna) systemet ${\displaystyle G_{c}(s)={\frac {KQ(s)}{P(s)+KQ(s)}}}$. Rotorten är då en analys av hur rötterna till nämnaren P(s) + KQ(s) (dvs polerna till systemet) beror på parametern K. Typiskt kan utsagor om stabilitet och "svängighet" hos systemet för olika värden på K göras utifrån rotortsanalysen.

Lead/Lag-design

Lead/Lag-design är ett sätt att i frekvensplanet specificera parametrarna för en PID-regulator.

H inf

${\displaystyle H_{\inf }}$ är en modern metod för att i frekvensplanet ställa krav på det slutna systemet, och sedan genera en regulator utifrån dessa.

Linjära tillståndsmodeller

För linjära system får tillståndsmodeller en struktur med endast matriser:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=A\mathbf {x} +Bu}$

${\displaystyle \mathbf {y} =C\mathbf {x} +Du}$

Där A, B, C och D i allmänhet är matriser, x en vektor med tillstånden x₁, ..., x_n och u en vektor med insignaler och y en vektor med utsignaler.

Icke-linjära system kan approximeras med linjära system med en första ordningens taylorutveckling, vilket innebär att A blir en Jacobimatris

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &&\vdots \\{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}}$

På motsvarande sätt erhålls C-matrisen.

Kanoniska former

Samma överföringsfunktion kan i princip beskrivas av oändligt många olika tillståndsformer. Ett system givet som överföringsfunktion kan därför beskrivas på till exempel styrbar eller observerbar kanonisk form. För en överföringsfunktion G(s) enligt

${\displaystyle G(s)={\frac {b_{1}s^{n-1}+\cdots +b_{n-1}s+b_{n}}{s^{n}+a_{1}s^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_{n}}}}$

ges den styrbara kanoniska tillståndsformen av följande matriser

${\displaystyle {\dot {x}}={\begin{pmatrix}-a_{1}&-a_{2}&\cdots &-a_{n-1}&-a_{n}\\1&0&\cdots &0&0\\0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}u}$

${\displaystyle y={\begin{pmatrix}b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\end{pmatrix}}x}$

Den observerbara kanoniska formen ges av

${\displaystyle {\dot {x}}={\begin{pmatrix}-a_{1}&1&0&\cdots &0\\-a_{2}&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{n-1}&0&0&\cdots &1\\-a_{n}&0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n-1}\\b_{n}\end{pmatrix}}u}$

${\displaystyle y={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\end{pmatrix}}x}$

Till överföringsfunktion från tillståndsbeskrivning

Överföringsfunktionen kan fås ur tillståndsbeskrivningen med hjälp av följande samband

${\displaystyle G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D}$

där A, B, C och D är matriserna i den linjära tillståndsformen och I är enhetsmatrisen.

LQ-reglering

LQ-reglering, eller linjärkvadratisk optimering som det också kallas, används för att optimera polplaceringen för ett system skrivet på tillståndsform.

Kalmanfilter

Kalmanfilter används för att skatta tillstånd som inte är direkt mätbara eller för att förbättra precisionen av uppmätta tillstånd.

MPC

Model Prediction Control är en relativt modern metod för att designa diskreta regulatorer. MPC kan bland annat hantera icke-linjära bivillkor på ett smidigt sätt.