0

← -1

0

1 →
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 →
Asıl sayısıfır
Sıra sayısısıfırıncı
İkili02
Üçlü03
Altılı06
Sekizli08
On ikili012
On altılı016
Doğu Arap٠
Bengali০
Çin〇，零
Devanāgarī०
Thai๐
Khmer០

0 (sıfır), etkisiz bir rakamı temsil eden bir niceliktir. Herhangi bir sayıya 0 eklemek veya çıkarmak o sayıyı değiştirmez; matematiksel terminolojide 0, tam sayılar, rasyonel sayılar, reel sayılar ve karmaşık sayıların yanı sıra diğer cebirsel yapıların da toplamsal birimidir. Herhangi bir sayıyı 0 ile çarpmak 0 sonucunu verir ve bunun sonucu olarak 0'a bölme aritmetikte genel olarak tanımsız kabul edilir. 0 sayısı pozitif ve negatif olmayan bir sayıdır. "0" Roma rakamlarında gösterilemeyen tek rakamdır.

Bir rakam olarak 0, onluk gösterimde kritik bir rol oynar: 0 içeren basamağa karşılık gelen on kuvvetinin toplam değere katkıda bulunmadığını belirtir. Örneğin, onluk sistemde "205", iki yüz, sıfır on ve beş birim anlamına gelir. Aynı ilke, ikili ve onaltılık gibi ondan farklı bir taban kullanan basamak değerli gösterimlerde de geçerlidir. 0'ın bu şekilde modern kullanımı, Avrupa'ya Orta Çağ İslam matematikçileri aracılığıyla aktarılan ve Fibonacci tarafından yaygınlaştırılan Hint matematiğinden türemiştir. 0, Mayalar tarafından da bağımsız olarak kullanılmıştır.

Birçok skalada sıfır başlangıç ya da nötr bölgeyi temsil eder. Sayı doğrusunda sıfırın sağı artı, solu eksi değerleri barındırır. Sıcaklık derecelendirmelerinde sıfırın yeri derecelendirme sistemine göre değişir. Örneğin Kelvin derecesinde sıfır noktası -273 °C'ye (mutlak sıcaklık) denk gelmektedir. Celsius derecesinde ise 0 noktası suyun erime/donma noktası olarak alınmıştır.

Etimoloji

Sıfır sözcüğü Arapça sifr (anlamı: boş, şifre) sözcüğünden türemiştir. Sifr ise Sanskritte "boş” anlamına gelen sunya sözcüğünün tercümesidir.

Tarihçe

Antik Yakın Doğu

nfr
 		 Trake ile kalp
güzel, hoş, iyi
F35

Antik Mısır sayı sistemi 10 tabanlıydı. Rakamlar için hiyeroglifleri kullanıyorlardı ve konumsal değildi. MÖ 1770 civarında yazılmış bir papirüste bir kâtip, nfr hiyeroglifini, alınan bir gıda maddesi miktarının dağıtılan miktara tam olarak eşit olduğu durumları belirtmek için kullanarak firavun sarayının günlük gelir ve giderlerini kaydetmiştir. Mısırbilimci Alan Gardiner, nfr hiyeroglifinin sıfırın bir simgesi olarak kullanıldığını öne sürmüştür. Aynı sembol, mezar ve piramit çizimlerinde taban seviyesini belirtmek için de kullanılmış, uzaklıklar bu taban çizgisine göre bu çizginin üstünde ya da altında olacak şekilde ölçülmüştür.

MÖ 2. binyılın ortalarına gelindiğinde, Babil matematiği gelişkin bir 60 tabanlı sayı sistemine sahipti. Konumsal bir değerin (ya da sıfırın) yokluğu, altmışlık sayılar arasında bir boşluk ile belirtilirdi. Kiş'te ortaya çıkarılan bir tablette (MÖ 700'e kadar erken bir tarihe tarihlenir), kâtip Bêl-bân-aplu, aynı Babil sisteminde bir yer-tutucu olarak üç kanca kullanmıştır. MÖ 300 yılına gelindiğinde, bir noktalama işareti (iki eğik kama) bir yer-tutucu olarak yeniden kullanıma sokulmuştur. Ne var ki, Babillilerin icat ettiği bu sıfır yer-tutucu işaretleri, kendilerine ait hiçbir sayısal ya da kavramsal değere sahip değildi—bir sayı olarak değil, matematiksel sözdizimi olarak görünürler. “Bu nedenle, sıfır kavramının ya da sıfır sayısının temsilleri olarak yorumlanamazlar.”

Babil konumsal sayı sistemi, daha sonraki Hint-Arap sisteminden, baştaki altmışlık basamağın büyüklüğünü açıkça belirtmemesi bakımından ayrılıyordu; dolayısıyla örneğin tek başına 1 basamağı () 1, 60, 3600 = 602 vb. değerlerden herhangi birini temsil edebilirdi; bu, bir kayan noktalı sayının mantisine benzer, ancak açık bir üs olmaksızın, dolayısıyla yalnızca bağlamdan örtük olarak ayırt edilirdi. Sıfır benzeri yer-tutucu işaret yalnızca basamakların arasında kullanılmış, ancak hiçbir zaman tek başına ya da bir sayının sonunda kullanılmamıştır.

Kolomb öncesi Amerika

Maya sıfır rakamı

Güney-orta Meksika ve Orta Amerika'da geliştirilen Mezoamerika Uzun Sayım Takvimi, vigesimal konumsal sayı sisteminde bir yer-tutucu olarak sıfırın kullanılmasını gerektiriyordu. Kısmi quatrefoil da (mimari süslemede dört yapraklı veya yuvarlak çıkıntılı şekil) dâhil olmak üzere birçok farklı glif, bu Uzun Sayım tarihlerinde sıfır sembolü olarak kullanılmıştır; bunların en eskisinin tarihi MÖ 36'dır (Chiapa de Corzo'daki Stel 2 üzerinde, Chiapas).

Sekiz en erken Uzun Sayım tarihinin Maya anavatanının dışında görünmesi nedeniyle, Amerika'da sıfır kullanımının Mayalardan önceye dayandığı ve muhtemelen Olmeklerin icadı olduğu genel olarak kabul edilir. En erken Uzun Sayım tarihlerinin çoğu Olmeklerin merkez bölgesi içinde bulunmuştur; ancak Olmek uygarlığı MÖ 400 itibarıyla sona ermiştir; bu da bilinen en erken Uzun Sayım tarihlerinden birkaç yüzyıl öncesidir.

Sıfır, "sıfır" rakamının birçok tasvirinde kullanılan farklı, boş bir kaplumbağa benzeri "plastron" (kaplumbağa kabuğunun karın kısmı) ile Maya rakamları'nın ayrılmaz bir parçası hâline gelmiş olsa da, Eski Dünya sayı sistemlerini etkilemediği varsayılır.

Düğümlü bir ip düzeneği olan Quipu, And bölgesindeki İnka İmparatorluğu ve onun selefi toplumlar tarafından muhasebe ve diğer sayısal verileri kaydetmek için kullanılmış olup, on tabanlı konumsal bir sistemle kodlanır. Sıfır, uygun konumdaki bir düğümün yokluğu ile temsil edilir.

Klasik antikçağ

Yunanların Helenistik sıfır kullanımlarına ilişkin güvenle alıntılanabilen en erken örnek, MS 140'ta Hipparkos'ta görülür.

Arkaik Yunanistan'da sıfır için bir sembol yoktu (μηδέν, mēdén diye telaffuz edilir) ve bunun için bir rakam yer-tutucusu kullanılmıyordu. Matematikçi Charles Seife'e göre, Babil yer-tutucu sıfırı MÖ 500'den kısa bir süre sonra ortaya çıktıktan sonra, Yunan astronomlar yer-tutucu ya da yer düzeyi/null derece değerinin temsili olarak küçük Yunan harfi όyu (όμικρον: omikron) kullanmaya başladılar. Ancak, astronomik hesaplamalar için Babil yer-tutucu sıfırını kullandıktan sonra, sayıları tipik olarak yeniden Yunan rakamlarına dönüştürüyorlardı. Pisagor'un sonsuz-küçükleri (infinitesimal) reddetmesinde olduğu gibi, Yunanlar sıfırın bir sayı olarak kullanılmasına felsefi bir karşıtlık sürdürmüş görünür. “Yunan evreninin bütünü bu payandaya dayanıyordu: Boşluk yoktur.” Nieder, Yunan astronomik metinlerinde sıfırın ortaya çıkışını MÖ 400'den sonraya tarihler ve matematikçi Robert Kaplan bunun Büyük İskender'in seferleri'nden sonra olması gerektiğini daha da belirginleştirir.

Yunanlar sıfırın bir sayı olarak statüsünden emin değilmiş gibi görünüyordu. Bazıları kendilerine, "Var olmamak nasıl olabilir?" diye soruyordu; bu da sıfırın ve vakumun doğası ve varlığı hakkında felsefi ve Orta Çağ dönemine gelindiğinde dinî tartışmalara yol açıyordu. Elealı Zenonun paradoksları, büyük ölçüde sıfırın belirsiz yorumuna dayanır.

Fragment of papyrus with clear Greek script, lower-right corner suggests a tiny zero with a double-headed arrow shape above it
2. yüzyıla ait bir papirüsten sıfır için erken Yunan sembolü örneği (sağ alt köşe)

MS 150'ye gelindiğinde, Hipparkhos ve Babillilerden etkilenmiş olan Batlamyus, matematiksel astronomi üzerine Syntaxis Mathematica adlı eserinde, Almagest olarak da bilinir, sıfır için bir sembol olarak (—°) kullanıyordu. Bu Helenistik sıfır, Eski Dünya'da sıfırı temsil eden bir rakamın belgelenmiş en erken kullanımı olabilir.

Batlamyus, Almagest'inde (VI.8) bu sembolü Güneş ve Ay tutulmalarının büyüklüğü için birçok kez kullanmıştır. Bu sembol, ilk ve son temas anında batma miktarının hem parmak hem de yay dakikası cinsinden değerini temsil ediyordu. Ay Güneş'in üzerinden geçerken parmaklar sürekli olarak 0'dan 12'ye ve sonra 0'a değişirdi; burada on iki parmak, Güneş'in açısal çapı idi. Batma dakikaları 0′0″'dan 31′20″'ye ve 0′0″'a kadar çizelgelenmişti; burada 0′0″, altmışlık konumsal sayı sisteminin iki basamağında bir yer-tutucu olarak sembolü kullanırken, bu birleşim sıfır açıyı ifade ediyordu. Batma dakikaları ayrıca sürekli bir fonksiyondu 1/12 31′20″ √d(24−d) (dışbükey kenarlı üçgensel bir darbe/pulse), burada d parmak fonksiyonuydu ve 31′20″ Güneş ve Ay disklerinin yarıçapları toplamıydı. Batlamyus'un sembolü hem bir yer-tutucu hem de iç içe geçmiş iki sürekli matematiksel fonksiyon tarafından kullanılan bir sayıydı; dolayısıyla hiçlik değil sıfır anlamına geliyordu. Zamanla, Batlamyus'un sıfırı boyut olarak büyüme ve üst çizgisini yitirme eğilimi göstermiş; bazen büyük, uzatılmış 0 benzeri bir omikron "Ο" olarak ya da üst çizgili bir nokta yerine üst çizgili omikron "ō" şeklinde tasvir edilmiştir.

Jülyen Paskalyasının hesaplanmasında sıfırın en erken kullanımı, MS 311'den önce, 311'den 369'a kadar olan yıllar için Etiyopyaca bir belgede korunan bir epakt tablosunun ilk girdisinde gerçekleşmiştir; burada Yunan rakamlarına dayalı Geʽez rakamları yanında "yok" anlamına gelen bir Geʽez sözcüğü (başka yerdeki İngilizce çevirisi "0"dır) kullanılmış olup bu, İskenderiye Kilisesi tarafından Orta Çağ Yunancasında yayımlanan eşdeğer bir tablodan çevrilmiştir. Bu kullanım, 525'te, Latince: nulla ("yok") üzerinden Dionysius Exiguus tarafından çevrilen ve Roma rakamları yanında verilen eşdeğer bir tabloda tekrar edilmiştir. Bölme işlemi kalan olarak sıfır ürettiğinde, "hiçbir şey" anlamına gelen nihil kullanılmıştır. Bu Orta Çağ sıfırları, gelecekteki tüm Orta Çağ Paskalya hesaplayıcıları tarafından kullanıldı. İlk "N", MS 725 dolaylarında Bede—ya da meslektaşları—tarafından Roma rakamları tablosunda bir sıfır sembolü olarak kullanılmıştır.

Çin

Soldan sağa beş çizimli kutu bir T şekli, boş bir kutu, üç dikey çubuk, üstünde ters çevrilmiş geniş bir T şekli bulunan üç alt yatay çubuk ve bir başka boş kutu içerir. Alttaki rakamlar soldan sağa altı, sıfır, üç, dokuz ve sıfırdır
Bu, A History of Mathematics tarafından verilen örneğe dayanarak Çin sayma çubukları ile ifade edilmiş sıfırın bir tasviridir. Sıfırı temsil etmek için boş bir alan kullanılır.

Tarihi bilinmeyen ancak MS 1 ila 5. yüzyıla ait olduğu düşünülen Sūnzĭ Suànjīng, 4. yüzyıl Çin sayma çubukları sisteminin konumsal ondalık hesaplamaların yapılmasını nasıl mümkün kıldığını açıklar. Xiahou Yang Suanjing'de (MS 425–468) belirtildiği üzere, bir sayıyı 10, 100, 1000 veya 10000 ile çarpmak ya da bölmek için, sayma tahtası üzerindeki çubukları 1, 2, 3 veya 4 basamak ileri ya da geri kaydırmak yeterlidir. Çubuklar, bir sayının ondalık gösterimini veriyor ve boş bir alan sıfırı gösteriyordu. MS yaklaşık 190 tarihli, Xu Yue tarafından yazılan "Supplementary Notes on the Art of Figures" adlı el kitabı da sayma çubukları ve abaküs dahil sayma aygıtları üzerinde, ondalık kuvvet içinde sıfır değerleri içeren sayıları toplama, çıkarma, çarpma ve bölme tekniklerini özetler. Çinli yazarlar, Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölümde görüldüğü üzere, Han Hanedanı (MS 2. yüzyıl) dönemine gelindiğinde negatif sayılar ve ondalık kesirler fikrine aşinaydı. Qín Jiǔsháo'nun 1247 tarihli Mathematical Treatise in Nine Sections eseri, sıfır için yuvarlak bir simge olan '〇'yu kullanan günümüze ulaşmış en eski Çin matematik metnidir. Bu simgenin kökeni bilinmemektedir; kare bir simgenin değiştirilmesiyle üretilmiş olabilir. Sıfır o dönemde bir sayı olarak değil, bir "boş konum" olarak ele alınıyordu.

Hindistan

Pingala (MÖ 3. veya 2. yüzyıl), bir Sanskrit bürünü bilgini, olası geçerli Sanskrit ölçülerini belirlemek için kısa ve uzun heceler (ikincisi, uzunlukça iki kısa heceye eşit) biçiminde ikili diziler kullandı; bu gösterim Mors alfabesine benzer. Pingala, sıfıra açıkça atıfta bulunmak için Sanskritçe śūnya sözcüğünü kullandı.

Bakhshali el yazması; "sıfır" rakamı siyah bir nokta ile gösterilmiştir; tarihlendirmesi belirsizdir.

Sıfır için ondalık basamak değerli bir Grafem Hindistan'da geliştirildi.

Lokavibhāga, Prakritçe özgün metnin Orta Çağ Sanskritçe çevirisinde günümüze ulaşmış, kozmoloji üzerine bir Jain metnidir; metnin iç tarihlemesi MS 458'e (Saka dönemi 380) aittir ve sıfırı da içeren ondalık bir basamak değer sistemi kullanır. Bu metinde śūnya ("boşluk, boş") sözcüğü de sıfıra atıfta bulunmak için kullanılır.

Aryabhatiya (y. 499), sthānāt sthānaṁ daśaguṇaṁ syāt "bir basamaktan diğerine her biri bir öncekinden on kat fazladır" der.

Sıfırın kullanımını yöneten kurallar Brahmagupta'nın Brahmasputha Siddhantasında (7. yüzyıl) ortaya çıktı; burada sıfırın kendisiyle toplamının sıfır olduğu belirtilir ve sıfıra bölme aşağıdaki şekilde yanlış biçimde açıklanır:

Pozitif veya negatif bir sayı sıfıra bölündüğünde, paydası sıfır olan bir kesirdir. Sıfırın negatif veya pozitif bir sayıya bölünmesi ya sıfırdır ya da payı sıfır ve paydası sonlu nicelik olan bir kesir olarak ifade edilir. Sıfırın sıfıra bölünmesi sıfırdır.

Bhāskara II'nin 12. yüzyıla ait Līlāvatī'si ise, sıfıra bölmenin sonsuz bir nicelikle sonuçlandığını öne sürdü,

Bir niceliğin sıfıra bölünmesi, paydası sıfır olan bir kesre dönüşür. Bu kesre sonsuz nicelik denir. Böleni sıfır olan bu nicelikte, çok sayıda şey eklenip çıkarılsa da bir değişiklik yoktur; zira dünyalar yaratılıp yok edildiğinde, çok sayıda varlık düzeni içine alınsa ya da dışarı verilse bile, sonsuz ve değişmez Tanrı'da hiçbir değişiklik meydana gelmez.

Erken Asya epigrafisi

Sambor Yazıtı
Sıfırın onluk bir rakam olarak kullanıldığı, tarihi kesin olarak belirlenmiş en eski örnek Sambor Yazıtı'nda bulunmaktadır. Yapıldığı yıla, yani 605 Saka dönemine (MS 683) atıfta bulunan '605' sayısı, Kmer rakamlarıyla (üstte) yazılmıştır. Eski Kmerce ile yazılan bu parça, bir zamanlar bir tapınak kapısının kısımlarından biriydi ve Kamboçya'nın Kratié ilinde bulundu.

İçlerinde aynı küçük O bulunan çok sayıda bakır levha yazıtı vardır; bunların bazıları muhtemelen 6. yüzyıla tarihlenir, ancak tarihlerinin ya da özgünlüklerinin kuşkulu olması mümkündür.

Mekong, Kratié vilayeti, Kamboçya'da Sambor yakınlarındaki bir tapınağın kalıntılarında bulunan bir taş tablet, Khmer rakamları ile "605" yazımını içerir (Hint-Arap rakam sistemi için bir sayı glifi kümesi). Bu sayı, Saka dönemi yazıtının yılıdır ve MS 683 tarihine karşılık gelir.

Küçük bir daire olan sıfır basamağı için bir sembolün tartışmasız görünümünü içeren, onluk basamaklar için özel gliflerin bilinen ilk kullanımı, Hindistan'da Chaturbhuj Tapınağı, Gwalior'da bulunan ve MS 876 tarihli bir taş yazıtta görülür.

Sıfır için bir sembol, siyah bir nokta, tüccarlar için aritmetik üzerine pratik bir el kitabı olan Bakhshali el yazması boyunca kullanılır. Bodleian Kütüphanesi, el yazmasından altı varak için radyokarbon tarihleme yöntemi sonuçlarını bildirmiş, bunların farklı yüzyıllardan geldiklerini belirtmiş, ancak el yazmasını MS 799 – 1102'ye tarihlemiştir.

Sıfırın MÖ 1770 itibarıyla Antik Mısırlılar, MÖ ikinci binyılın ortalarında Babiller, MÖ 450 yıllarında Orta Amerika'da yaşayan Mayalılar tarafından kullanıldığına dair kanıtlar vardır. MS 800 civarında ise Hintler sıfıra benzer bir sembol kullanmışlardır. Hindistan'dan yayılan sıfır, MS 1400 yıllarında Avrupa'da da benimsenmiş ve kullanılmıştır. Harezmi tarafından yeniden tanımlanan sıfır sayısının, Orta Çağ'da Endülüs'ten Avrupa'ya geçtiği düşünülmektedir.

Orta Çağ

İslam kültürüne aktarım

Arapça bilim mirası büyük ölçüde Yunan kökenliydi, bunu Hindu etkileri takip etti. 773 yılında, Mansûr'un isteği üzerine, Yunan, Roma, Hint ve diğerlerine ait birçok antik risalenin çevirileri yapıldı.

MS 813'te, astronomik tablolar, Hindu rakamlarını kullanarak bir Fars matematikçi olan Hârizmî tarafından hazırlandı; ve yaklaşık 825'te, Yunan ve Hindu bilgisini sentezleyen ve ayrıca sıfırın kullanımının açıklaması da dâhil olmak üzere matematiğe kendi katkısını içeren bir kitap yayımladı. Bu kitap daha sonra 12. yüzyılda Algoritmi de numero Indorum başlığıyla Latinceye çevrildi. Bu başlık "Hint Rakamları Üzerine el-Hârizmî" anlamına gelir. "Algoritmi" sözcüğü çevirmenin el-Hârizmî'nin adını Latinceleştirmesiydi ve "Algoritma" ya da "Algorism" sözcüğü, ondalıklara dayalı herhangi bir aritmetiği ifade eden bir anlam kazanmaya başladı.

Hârizmî, 976'da, bir hesaplamada onlar basamağının yerinde hiçbir sayı görünmüyorsa "satırları korumak" için küçük bir dairenin kullanılması gerektiğini belirtti. Bu daireye ṣifr deniyordu.

Avrupa'ya aktarım

Hint-Arap rakam sistemi (10 tabanı) Endülüs üzerinden, Müslüman İspanyollar olan Morolar aracılığıyla, klasik astronomi bilgisi ve usturlap gibi aletlerle birlikte 11. yüzyılda Batı Avrupa'ya ulaştı. Bu nedenle, rakamlar Avrupa'da "Arap rakamları" olarak anılmaya başlandı. İtalyan matematikçi Fibonacci ya da Pisalı Leonardo, 1202'de sistemi Avrupa matematiğine kazandırmada etkili oldu ve şöyle dedi:

Babamın memleketi tarafından Bicâye'daki gümrükte, oraya akın eden Pisalı tüccarlar için devlet görevlisi olarak atanmasının ardından, görevi üstlendi; ve gelecekteki yararlılığı ve elverişliliği göz önünde bulundurarak, çocukluğumda beni yanına getirtti ve orada birkaç gün boyunca hesap ilmini kendimi adayarak öğrenmemi ve bu konuda eğitilmemi istedi. Orada, girişimin ardından, bu sanatın harikulade öğretimi sayesinde Hinduların dokuz rakamını öğrenince, bu sanatın bilgisi bana hepsinden çok cazip geldi; ve onun tüm yönlerinin Mısır, Suriye, Yunanistan, Sicilya ve Provans'ta, değişik yöntemleriyle incelendiğini fark ettim; ve daha sonra bu yerlerde, işler nedeniyle bulunurken, çalışmamı derinleştirdim ve münazaranın alışverişini öğrendim. Ama bunların tümünü bile, algorismi ve Pisagor sanatını da, Hinduların yöntemine göre neredeyse bir hata saydım [Modus Indorum]. Bu nedenle, Hinduların o yöntemini daha sıkı benimseyerek ve onun incelenmesinde daha büyük çaba göstererek, kendi anlayışımdan bazı şeyler eklerken ve ayrıca Öklit'in geometrik sanatının inceliklerinden de bazı şeyleri araya yerleştirirken, bu kitabı bütünlüğü içinde, onu on beş bölüme ayırarak, elimden geldiğince anlaşılır biçimde derlemeye çalıştım. Tanıttığım şeylerin neredeyse hepsini, bu bilginin üstün yöntemiyle daha da arayanların eğitilebilmesi için ve ayrıca Latinlerin, şimdiye dek oldukları gibi, bundan yoksun olduklarının ortaya çıkmaması için, kesin kanıtla gösterdim. Eğer tesadüfen daha az ya da daha fazla uygun veya gerekli bir şeyi atladıysam, bağışlanma dilerim; çünkü her şeyde kusursuz ve bütünüyle tedbirli olan kimse yoktur. Dokuz Hint rakamı şunlardır: 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Bu dokuz rakamla ve 0  işaretiyle... herhangi bir sayı yazılabilir.

13. yüzyıldan itibaren, Avrupa'da hesaplama (toplama, çarpma, karekök, vb.) kılavuzları yaygınlaştı; bunlara, İranlı matematikçi Hârizmî'nin adına atfen algorismus deniyordu. Popüler bir kılavuz, 1200'lerin başlarında Johannes de Sacrobosco tarafından yazıldı ve 1488'de basılan en erken bilimsel kitaplardan biri oldu. Hindu–Arap rakamlarıyla kâğıt üzerinde hesap yapma uygulaması, abaküsle hesaplamanın ve Roma rakamları ile kaydetmenin yerini ancak yavaş yavaş aldı. 16. yüzyılda Hindu–Arap rakamları, Avrupa'da kullanılan baskın rakamlar hâline geldi.

13. yüzyıldan itibaren, Avrupa'da hesaplama (toplama, çarpma, kök çıkarma, vb.) kılavuzları yaygınlaştı; bunlara, İranlı matematikçi al-Khwārizmī'nin adına atfen Latince: algorismus deniyordu. Popüler bir kılavuz, 1200'lerin başlarında Johannes de Sacrobosco tarafından yazıldı ve 1488'de basılan en erken bilimsel kitaplardan biri oldu. Hindu–Arap rakamlarıyla kâğıt üzerinde hesap yapma uygulaması, abaküsle hesaplamanın ve Roman numerals ile kaydetmenin yerini ancak yavaş yavaş aldı. 16. yüzyılda Hindu–Arap rakamları, Avrupa'da kullanılan baskın rakamlar hâline geldi.

Semboller ve gösterimler

üst ve alt çizgilere değen bir sıfır, altına sarkan bir üç ve çizgilerin üstüne çıkan bir altı, soldan sağa yatay kılavuz çizgileri
Oslo havaalanı tren istasyonu, Platform 0

Günümüzde, sayısal rakam 0 genellikle bir çember veya elips olarak yazılır. Geleneksel olarak, birçok basılı yazıyüzü büyük harf O'yu daha dar, eliptik rakam 0'dan daha yuvarlak yapardı. Daktilolar başlangıçta O ile 0 arasında biçim açısından hiçbir ayrım yapmıyordu; bazı modellerde 0 rakamı için ayrı bir tuş bile yoktu. Ayrım, modern karakter ekranlarında belirginlik kazandı.

Eğik çizgili sıfır () genellikle sayıyı harften ayırt etmek için kullanılır (çoğunlukla bilişimde, seyrüseferde ve orduda). Ortasında bir nokta bulunan 0 rakamının, IBM 3270 ekranlarında bir seçenek olarak ortaya çıktığı ve Andalé Mono gibi bazı modern bilgisayar yazı tipleriyle ve bazı havayolu rezervasyon sistemlerinde kullanılmaya devam ettiği görülür. Bir varyasyon, nokta yerine kısa bir dikey çizgi kullanır. Bilgisayarlarla kullanım için tasarlanmış bazı yazı tipleri, "0" karakterini kenarları daha köşeli, bir dikdörtgen gibi, "O" karakterini ise daha yuvarlak yapmıştır.

Matematik

Sıfır kavramı matematikte birden çok rol oynar: bir rakam olarak, sayıları temsil etmek için konumsal sayı sisteminin önemli bir parçasıdır; ayrıca birçok cebirsel bağlamda kendi başına bir sayı olarak da önemli bir rol oynar.

Rakam olarak

Konumsal sayı sistemlerinde (sayıları göstermek için kullanılan alışılagelmiş ondalık gösterim gibi), 0 rakamı, tabanın belirli kuvvetlerinin katkıda bulunmadığını belirten bir yer-tutucu rolü oynar. Örneğin, ondalık 205 sayısı iki yüzlük ile beş birlik toplamıdır; 0 rakamı ise hiçbir onlu eklenmediğini gösterir. Rakam, ondalık kesirlerde ve diğer reel sayıların ondalık gösteriminde de (herhangi bir onda bir, yüzde bir, binde bir vb. bulunup bulunmadığını göstererek) ve 10 dışındaki tabanlarda da (örneğin ikilide, hangi 2'nin kuvvetlerinin atlandığını göstererek) aynı rolü oynar.

Dijital gösterimi

Temel cebir

Ortada 0 olacak şekilde −3'ten 3'e bir sayı doğrusu

0 sayısı, en küçük negatif olmayan ve en büyük pozitif olmayan tam sayıdır. 0'ı izleyen doğal sayı 1'dir ve 0'dan önce hiçbir doğal sayı gelmez. 0 sayısı doğal sayı olarak kabul edilebilir de edilmeyebilir de, ancak bir tam sayıdır ve dolayısıyla bir rasyonel sayı ve bir reel sayıdır. 0 dahil olmak üzere tüm rasyonel sayılar cebirsel sayılardır. Reel sayılar karmaşık sayıları oluşturacak şekilde genişletildiğinde, 0 karmaşık düzlemin orijini olur.

0 sayısı ne pozitif ne de negatif ya da alternatif olarak hem pozitif hem de negatif olarak görülebilir ve genellikle bir sayı doğrusu üzerinde merkezî sayı olarak gösterilir. Sıfır çifttir (yani 2'nin katıdır) ve ayrıca herhangi bir başka tam, rasyonel ya da reel sayının bir tam sayı çarpanıdır. Ne bir asal sayıdır ne de bir bileşik sayıdır: asal değildir çünkü asal sayılar tanım gereği 1'den büyüktür, bileşik de değildir çünkü iki daha küçük doğal sayının çarpımı olarak ifade edilemez. (Bununla birlikte, tek nesne kümesi {0}, tam sayıların halkasında bir asal idealdir.)

Beş nokta ve sıfır noktalı bir koleksiyonun beş noktalı bir koleksiyon oluşturmak üzere birleşmesi.
Nokta koleksiyonlarıyla gösterilen 5+0=5.

Aşağıdakiler, 0 sayısıyla işlem yapmaya ilişkin bazı bağıntılardır. Bu kurallar, aksi belirtilmedikçe, herhangi bir reel veya karmaşık sayı x için geçerlidir.

0/0 ifadesi, kesrin her iki terimine de lim operatörü bağımsız olarak uygulanması sonucunda f(x)/g(x) biçimindeki bir ifadenin limitini belirleme girişimi ile elde edilebilir ve sözde bir "belirsiz form"dur. Bu, aranan limitin zorunlu olarak tanımsız olduğu anlamına gelmez; daha ziyade, f(x)/g(x) limitinin, eğer varsa, l'Hôpital kuralı gibi başka bir yöntemle bulunması gerektiği anlamına gelir.

0 sayının toplamı (boş toplam) 0'dır ve 0 sayının çarpımı (boş çarpım) 1'dir. faktöriyel 0! değeri, boş çarpımın özel bir durumu olarak 1'dir.

Matematikte diğer kullanımlar

Boş kümenin sıfır elemanı vardır

0'ın en küçük sayma sayısı olarak rolü çeşitli şekillerde genelleştirilebilir veya genişletilebilir. Küme teorisinde 0, boş kümenin ( "{ }", "", veya "∅" şeklinde gösterilir) kardinalitesidir: eğer hiç elmanız yoksa, o zaman 0 elmanız vardır. Aslında, küme teorisinden matematiğin belirli aksiyomatik geliştirimlerinde 0, boş küme olarak tanımlanır . Bu yapıldığında, boş küme, elemanı olmayan bir küme için von Neumann kardinal atamasıdır; bu da boş kümedir. Kardinalite fonksiyonu boş kümeye uygulandığında, değer olarak boş kümeyi döndürür ve böylece ona 0 eleman atar.

Yine küme teorisinde, 0 en küçük sıral sayıdır; bu, iyi sıralı küme olarak görülen boş kümeye karşılık gelir. sıra teorisinde (ve özellikle onun alt dalı kafes teorisinde), 0 bir kafesin veya başka bir kısmi sıralı kümenin en küçük elemanını gösterebilir.

0'ın toplama birimi olarak rolü temel cebirin ötesine genellenir. Soyut cebirde, 0 genellikle bir sıfır elemanını göstermek için kullanılır; bu, (ele alınan yapı üzerinde tanımlıysa) toplama için birim eleman ve (tanımlıysa) çarpma için bir yutan elemandır. (Bu tür elemanlara sıfır elemanı da denebilir.) Örnekler arasında toplamsal grupların ve vektör uzayların birim elemanları bulunur. Bir başka örnek, bir tanım kümesi üzerindeki sıfır fonksiyonu (veya sıfır dönüşümü) D'dir. Bu, tek olası çıktı değeri 0 olan sabit fonksiyondur; yani f fonksiyonudur ve tüm x için D içinde f(x) = 0 ile tanımlanır. Reel sayılardan reel sayılara bir fonksiyon olarak sıfır fonksiyonu, hem çift hem de tek olan tek fonksiyondur.

0 sayısı, matematiğin çeşitli dallarında başka birkaç şekilde daha kullanılır:

Fizik

Sıfır değeri, birçok fiziksel büyüklük için özel bir rol oynar. Bazı büyüklükler için sıfır düzeyi doğal olarak diğer tüm düzeylerden ayırt edilirken, diğerleri için az çok keyfi olarak seçilir. Örneğin, bir mutlak sıcaklık (genellikle kelvin cinsinden ölçülür) için, sıfır mümkün olan en düşük değerdir. Bu, örneğin Celsius ölçeğindeki sıcaklıklarla karşıtlık oluşturur; burada sıfır, suyun erime noktasında olacak şekilde keyfi olarak tanımlanır. Desibel veya fon cinsinden ses şiddeti ölçümünde, sıfır düzeyi bir referans değere, örneğin işitme eşiği için rastgele bir değere, göre keyfi olarak ayarlanır. Fizikte, sıfır-nokta enerjisi, bir kuantum mekanik fiziksel sistemin sahip olabileceği mümkün olan en düşük enerjidir ve sistemin durağan durumun enerjisidir.

Bilgisayar bilimi

Modern bilgisayarlar veriyi ikili olarak, yani genellikle "0" ve "1" olarak seçilen yalnızca iki sembol içeren bir "alfabe" kullanarak depolar. İkili kodlama dijital elektronik için elverişlidir; burada "0" ve "1", bir telde elektrik akımının yokluğunu veya varlığını temsil edebilir. Bilgisayar programcıları genellikle insanların, merkezi işlem birimi tarafından doğrudan yürütülen ikili talimatlardan daha anlaşılır bulduğu üst düzey yazılım dillerini kullanır. 0, üst düzey dillerde çeşitli önemli roller oynar. Örneğin, bir Boole değişkeni doğru veya yanlış olan bir değer saklar ve 0 çoğunlukla yanlışın sayısal gösterimidir.

0 ayrıca dizi indekslemesinde de rol oynar. İnsanlık tarihi boyunca en yaygın uygulama saymaya birden başlamaktır ve bu, Fortran ve COBOL gibi erken klasik programlama dillerinde de görülen uygulamadır. Ancak, 1950'lerin sonlarında LISP diziler için sıfır-tabanlı numaralandırmayı tanıtırken, Algol 58 dizi alt indisleri için tamamen esnek tabanlama (dizi alt indisleri için taban olarak herhangi bir pozitif, negatif veya sıfır tam sayıya izin vererek) tanıttı ve sonraki programlama dillerinin çoğu bu yaklaşımlardan birini benimsedi.[kaynak belirtilmeli] Örneğin, C dilinde bir dizinin elemanları 0'dan başlayarak numaralandırılır; böylece n öğeli bir dizi için dizi indeksleri dizisi 0'dan n−1'e kadar gider.

0 ve 1 tabanlı indeksleme arasında karışıklık olabilir; örneğin, Java'nın JDBC'si parametreleri 1'den indekslerken Java'nın kendisi 0 tabanlı indeksleme kullanır.

C'de, değeri 0 olan bir bit bir karakter dizgesinin nerede bittiğini belirtmek için kullanılır. Ayrıca 0, kodda bir null işaretçiye başvurmanın standart bir yoludur.

Veritabanlarında bir alanın bir değere sahip olmaması mümkündür. Bu durumda, null değere sahip olduğu söylenir. Sayısal alanlar için bu, sıfır değeri değildir. Metin alanları için bu, boşluk ya da boş dizge değildir. Null değerlerin varlığı üç değerli mantıka yol açar. Artık bir koşul ya doğru ya da yanlış değildir; belirsiz de olabilir. Null değer içeren herhangi bir hesaplama null sonuç verir.

Matematikte, sıfırdan farklı bir "pozitif sıfır" veya "negatif sıfır" yoktur; hem −0 hem de +0 tam olarak aynı sayıyı temsil eder. Bununla birlikte, bazı bilgisayar donanımlarındaki işaretli sayı gösterimlerinde sıfırın iki ayrı gösterimi vardır: pozitif sayılarla gruplanan pozitif bir gösterim ve negatiflerle gruplanan negatif bir gösterim. Bu tür ikili gösterim işaretli sıfır olarak bilinir; ikinci biçime bazen negatif sıfır denir. Bu gösterimler, işaret-büyüklük ve bire tümlerin ikili tam sayı gösterimlerini içerir (ancak çoğu modern bilgisayarda kullanılan ikiye tümlerin ikili biçimini içermez) ve çoğu kayan noktalı sayı gösterimini (örneğin IEEE 754 ve IBM S/360 kayan nokta biçimleri) kapsar.

Bilişim terminolojisinde bir epoch, sıfır zaman damgasıyla ilişkilendirilen tarih ve saattir. Unix epoch 1 Ocak 1970'ten önceki gece yarısında başlar. Klasik Mac OS epochu ve Palm OS epochu 1 Ocak 1904'ten önceki gece yarısında başlar.

Uygulamaların bir çıktı durumu olarak bir tam sayı değer döndürmesini gerektiren birçok API ve işletim sistemi, başarıyı belirtmek için genellikle sıfırı ve belirli hata veya uyarı koşullarını belirtmek için sıfır olmayan değerleri kullanır.

Programcılar, "O" harfiyle karışıklığı önlemek için sıklıkla bir çizgili sıfır kullanır.

Diğer alanlar

Biyoloji

Karşılaştırmalı zooloji ve bilişsel bilim alanlarında, bazı hayvanların sıfır kavramının farkındalığını sergilediğinin kabulü, sayısal soyutlama yeteneğinin türlerin evrim sürecinde erken ortaya çıktığı sonucuna götürür.

Tarihlendirme sistemleri

MÖ takvim döneminde, 1 MÖ yılı, MS 1'den önceki ilk yıldır; sıfır yılı yoktur. Buna karşılık, Astronomik yıl numaralandırmasında 1 MÖ yılı 0 olarak, 2 MÖ yılı −1 olarak numaralandırılır ve bu şekilde devam eder.

Ayrıca bakınız

Notlar

  1. ↑ MS 3. yüzyıldan önce 0 rakamını fiilen kullanan hiçbir uzun sayım tarihi bulunmamıştır; ancak uzun sayım sistemi bir yer tutucu olmadan anlamsız olacağından ve Mezoamerika glifleri tipik olarak boşluk bırakmadığından, bu erken tarihler, 0 kavramının o dönemde zaten var olduğuna dair dolaylı kanıt olarak kabul edilir.
  2. ↑ Batlamyus'un altmışlık sayı sistemindeki her bir basamak, 0'dan 59'a kadar olan Yunan rakamlarıyla yazılırdı; bu sistemde 31, 30+1 anlamına gelen λα şeklinde, 20 ise 20 anlamına gelen κ şeklinde ifade edilirdi.

Kaynakça

  1. ↑ Matson, John (21 Ağustos 2009). "The Origin of Zero". Scientific American. Springer Nature. 20 Kasım 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 24 Nisan 2016.
  2. 1 2 "sıfır". Nişanyan Sözlük. 23 Aralık 2011 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Eylül 2020.
  3. ↑ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (2000). "Egyptian numerals". mathshistory.st-andrews.ac.uk. University of St Andrews. 15 Kasım 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 21 Aralık 2019.
  4. ↑ eg. Alan Gardiner. “§357. Other Modes of Negation” Egyptian Grammar (1927). p. 266 etc. et. al. Cites: Cairo 20003. Turin 1447. British Museum MS 152.
  5. ↑ Lumpkin, Beatrice (2002). "Mathematics Used in Egyptian Construction and Bookkeeping". The Mathematical Intelligencer. 24 (2): 20-25. doi:10.1007/BF03024613.
  6. 1 2 Kaplan 2000.
  7. ↑ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (2000). "Zero". Maths History (İngilizce). University of St Andrews. 21 Eylül 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 7 Eylül 2021.
  8. ↑ "Babylonian mathematics". The Open University. 2016. 7 Eylül 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 7 Eylül 2021.
  9. ↑ Nieder, Andreas (19 Kasım 2019). A Brain for Numbers: The Biology of the Number Instinct. MIT Press. p. 286.
  10. ↑ Reimer 2014, s. 172.
  11. ↑ "Cyclical views of time". www.mexicolore.co.uk. 17 Kasım 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 20 Ocak 2024.
  12. ↑ Diehl (2004), s. 186.
  13. ↑ Mortaigne, Véronique (28 Kasım 2014). "The golden age of Mayan civilisation – exhibition review". The Guardian. 28 Kasım 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 10 Ekim 2015.
  14. ↑ Cyphers, Ann (2014), Renfrew, Colin; Bahn, Paul (Ed.), "The Olmec, 1800–400 BCE", The Cambridge World Prehistory, Cambridge: Cambridge University Press, ss. 1005-1025, ISBN 978-0-521-11993-113 Ağustos 2024.
  15. ↑ "Expedition Magazine | Time, Kingship, and the Maya Universe Maya Calendars". Expedition Magazine (İngilizce). 13 Ağustos 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi13 Ağustos 2024.
  16. ↑ Birchak, Gabrielle (3 Haziran 2025). "Mayan Mathematics". Math! Science! History!™ (İngilizce). 3 Ağustos 2025 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Eylül 2025. Historian Georges Ifrah calls the Mayan use of zero “one of the most striking inventions ever to emerge in a mathematical culture isolated from the Old World.”
  17. ↑ Leon, Manuel de (20 Aralık 2022). "Knots representing numbers: The mathematics of the Incas". EL PAÍS English (İngilizce). 12 Eylül 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Haziran 2024.
  18. ↑ Wallin, Nils-Bertil (19 Kasım 2002). "The History of Zero". YaleGlobal online. The Whitney and Betty Macmillan Center for International and Area Studies at Yale. 25 Ağustos 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 1 Eylül 2016.
  19. ↑ Kaplan, Robert (1999). The nothing that is : a natural history of zero. Internet Archive. London : Allen Lane. s. 18. ISBN 978-0-7139-9284-7.
  20. ↑ Seife, Charles (1 Eylül 2000). Zero: The Biography of a Dangerous Idea. Penguin. s. 39. ISBN 978-0-14-029647-1. OCLC 1005913932. Erişim tarihi: 30 Nisan 2022.
  21. ↑ Seife, Charles (1 September 2000). Zero: The Biography of a Dangerous Idea. Penguin. p. 25. 
  22. ↑ Nieder, Andreas (19 Kasım 2019). A Brain for Numbers: The Biology of the Number Instinct. MIT Press. s. 286. ISBN 978-0-262-35432-5. Erişim tarihi: 30 Nisan 2022.
  23. ↑ Kaplan 2000, s. 17.
  24. ↑ Huggett, Nick (2019). "Zeno's Paradoxes". Zalta, Edward N. (Ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2019 bas.). Metaphysics Research Lab, Stanford University. 10 Ocak 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 9 Ağustos 2020.
  25. ↑ Neugebauer, Otto (1969). The Exact Sciences in AntiquityÜcretsiz kayıt gerekli (2 bas.). Dover Publications. ss. 13-14, plate 2. ISBN 978-0-486-22332-2.
  26. ↑ Mercier, Raymond. "Consideration of the Greek symbol 'zero'" (PDF). Home of Kairos. 5 Kasım 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 28 Mart 2020.[Şahsen yayımlanan kaynaklar?]
  27. ↑ Ptolemy (1998). Ptolemy's Almagest. Toomer, G. J. tarafından çevrildi. Princeton University Press. ss. 306-307. ISBN 0-691-00260-6.
  28. ↑ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. "A history of Zero". MacTutor History of Mathematics. 7 Nisan 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Mart 2020.
  29. ↑ Pedersen, Olaf (2010). Alexander Jones (Ed.). A Survey of the Almagest. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer. ss. 232-235. doi:10.1007/978-0-387-84826-6_7. ISBN 978-0-387-84825-9.
  30. ↑ "Proposal to encode the Greek Zero in the UCS" (PDF). 31 Temmuz 2024. 7 Ekim 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF).
  31. ↑ Neugebauer, Otto (2016). Ethiopic Astronomy and Computus (Red Sea Press bas.). Red Sea Press. ss. 25, 53, 93, 183, Plate I. ISBN 978-1-56902-440-9.. The pages in this edition have numbers six less than the same pages in the original edition.
  32. ↑ Deckers, Michael (2003). "Cyclus Decemnovennalis Dionysii" [Nineteen Year Cycle of Dionysius]. 15 Ocak 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi.
  33. ↑ C. W. Jones, ed., Opera Didascalica, vol. 123C in Corpus Christianorum, Series Latina.
  34. 1 2 Hodgkin, Luke (2005). A History of Mathematics: From Mesopotamia to ModernityÜcretsiz kayıt gerekli. Oxford University Press. s. 85. ISBN 978-0-19-152383-0.
  35. ↑ Shen, Crossley & Lun 1999, s. 12: "the ancient Chinese system is a place notation system"
  36. ↑ Eberhard-Bréard, Andrea (2008), "Mathematics in China", Selin, Helaine (Ed.), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (İngilizce), Dordrecht: Springer Netherlands, ss. 1371-1378, doi:10.1007/978-1-4020-4425-0_9453, ISBN 978-1-4020-4425-0.
  37. ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (January 2004), "Chinese numerals", MacTutor Matematik Tarihi arşivi
  38. ↑ "Chinese numerals". Maths History (İngilizce). 14 Haziran 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 28 Nisan 2024.
  39. ↑ K. Volkov, Alexeï (1994). "Large Numbers and Counting Rods". Extrême-Orient, Extrême-Occident. 16 (16): 71-92. doi:10.3406/oroc.1994.991. 16 Eylül 2025 tarihinde kaynağından arşivlendi19 Ocak 2026.
  40. ↑ "City News Service | Shanghai and China City News Service and Life Guide". www.citynewsservice.cn (İngilizce). 15 Ocak 2026 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 1 Temmuz 2025.
  41. ↑ Struik, Dirk J. (1987). A Concise History of Mathematics. New York: Dover Publications. pp. 32–33. "In these matrices we find negative numbers, which appear here for the first time in history."
  42. ↑ "Mathematics in the Near and Far East" (PDF). grmath4.phpnet.us. s. 262. 4 Kasım 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF). Erişim tarihi: 7 Haziran 2012.
  43. ↑ Martzloff, Jean-Claude (2007). A History of Chinese Mathematics. Wilson, Stephen S. tarafından çevrildi. Springer. s. 208. ISBN 978-3-540-33783-6.
  44. ↑ Shen, Kangshen; Crossley, John N.; Lun, Anthony W.-C. (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. s. 35. ISBN 978-0-19-853936-0. zero was regarded as a number in India ... whereas the Chinese employed a vacant position
  45. 1 2 Plofker, Kim (2009). Mathematics in India. Princeton University Press. ss. 54-56. ISBN 978-0-691-12067-6. In the Chandah-sutra of Pingala, dating perhaps the third or second century BC, [ ...] Pingala's use of a zero symbol [śūnya] as a marker seems to be the first known explicit reference to zero. ... In the Chandah-sutra of Pingala, dating perhaps the third or second century BC, there are five questions concerning the possible meters for any value "n". [ ...] The answer is (2)7 = 128, as expected, but instead of seven doublings, the process (explained by the sutra) required only three doublings and two squarings – a handy time saver where "n" is large. Pingala's use of a zero symbol as a marker seems to be the first known explicit reference to zero.
  46. ↑ Vaman Shivaram Apte (1970). "Sanskrit Prosody and Important Literary and Geographical Names in the Ancient History of India". The Student's Sanskrit-English Dictionary. Motilal Banarsidass. ss. 648-649. ISBN 978-81-208-0045-8. Erişim tarihi: 21 Nisan 2017.
  47. ↑ Hall, Rachel (15 Şubat 2005). "Math for Poets and Drummers: The Mathematics of Rhythm" (PDF) (slideshow). Saint Joseph's University. 22 Ocak 2019 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 20 Aralık 2015.
  48. 1 2 Chivall, David (2024). "Radiocarbon dating of the Bakhshālī manuscript". 30 Mayıs 2025 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 19 Ocak 2026.
  49. ↑ Bourbaki 1998, s. 46.
  50. ↑ Ifrah (2000), s. 416.
  51. ↑ Aryabhatiya of Aryabhata, translated by Walter Eugene Clark.
  52. ↑ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (2000). "Aryabhata the Elder". School of Mathematics and Statistics, University of St. Andrews. Scotland. 11 Temmuz 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 26 Mayıs 2013.
  53. ↑ Hosch, William L., (Ed.) (15 Ağustos 2010). The Britannica Guide to Numbers and Measurement (Math Explained). The Rosen Publishing Group. ss. 97-98. ISBN 978-1-61530-108-9. Erişim tarihi: 26 Eylül 2016.
  54. ↑ Algebra, with Arithmetic and Mensuration from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara. Henry Thomas Colebrooke tarafından çevrildi. London, England: John Murray. 1817. OCLC 1039515732.
  55. ↑ Kaplan 2000, s. 68–75.
  56. ↑ Roy, Rahul (January 2003), "Babylonian Pythagoras' Theorem, the Early History of Zero and a Polemic on the Study of the History of Science", Resonance, 8 (1), ss. 30-40, doi:10.1007/BF02834448, 30 Haziran 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi19 Ocak 2026
  57. ↑
  58. ↑ Casselman, Bill. "All for Nought". ams.org. University of British Columbia), American Mathematical Society. 6 Aralık 2015 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 20 Aralık 2015.
  59. ↑ Ifrah (2000), s. 400.
  60. ↑ "Egyptian numerals". mathshistory.st-andrews.ac.uk. 15 Kasım 2019 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Eylül 2020.
  61. ↑ Kaplan, Robert. (2000). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. Oxford: Oxford University Press.
  62. 1 2 3 4 Durant, Will (1950). The Story of Civilization, Volume IV, The Age of Faith: Constantine to Dante – A.D. 325–1300. Simon & Schuster. The Arabic inheritance of science was overwhelmingly Greek, but Hindu influences ranked next. In 773, at Mansur's behest, translations were made of the Siddhantas – Indian astronomical treatises dating as far back as 425 BC; these versions may have the vehicle through which the "Arabic" numerals and the zero were brought from India into Islam. In 813, al-Khwarizmi used the Hindu numerals in his astronomical tables.
  63. ↑ Pannekoek, Anton (1961). A History of Astronomy. George Allen & Unwin. s. 165. OCLC 840043.
  64. ↑ Brezina, Corona (2006). Al-Khwarizmi: The Inventor of Algebra. The Rosen Publishing Group. ISBN 978-1-4042-0513-0. Erişim tarihi: 26 Eylül 2016.
  65. ↑ Durant 1950, s. 241: "In 976, Muhammad ibn Ahmad, in his Keys of the Sciences, remarked that if, in a calculation, no number appears in the place of tens, a little circle should be used "to keep the rows". This circle the Mosloems called ṣifr, "empty" whence our cipher".
  66. ↑
  67. 1 2 3 4 Smith, D. E.; Karpinski, L. C. (1911). "The spread of the [Hindu–Arabic] numerals in Europe". The Hindu–Arabic Numerals. Ginn and Company. ss. 134-136 – Internet Archive vasıtasıyla.
  68. 1 2 Pedersen, Olaf (1985). "In Quest of Sacrobosco". Journal for the History of Astronomy. 16 (3): 175-221. Bibcode:1985JHA....16..175P. doi:10.1177/002182868501600302.
  69. 1 2 Ifrah 2000, ss. 588–590.
  70. 1 2 Bemer, R. W. (1967). "Towards standards for handwritten zero and oh: much ado about nothing (and a letter), or a partial dossier on distinguishing between handwritten zero and oh". Communications of the ACM. 10 (8): 513-518. doi:10.1145/363534.363563.
  71. ↑ Reimer 2014, ss. 156,199–204.
  72. ↑ Bunt, Lucas Nicolaas Hendrik; Jones, Phillip S.; Bedient, Jack D. (1976). The historical roots of elementary mathematics. Courier Dover Publications. ss. 254-255. ISBN 978-0-486-13968-5. 23 Haziran 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 5 Ocak 2016., Extract of pp. 254–255 10 Mayıs 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  73. ↑ Cheng 2017, s. 32.
  74. ↑ Cheng 2017, ss. 41, 48–53.
  75. ↑ Weisstein, Eric W. "Zero". Wolfram (İngilizce). 1 Haziran 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 4 Nisan 2018.
  76. ↑ Weil, André (6 Aralık 2012). Number Theory for Beginners (İngilizce). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-9957-8. 14 Haziran 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Nisan 2021.
  77. ↑ Lemma B.2.2, The integer 0 is even and is not odd, in Penner, Robert C. (1999). Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures. World Scientific. s. 34. ISBN 978-981-02-4088-2.
  78. ↑ Reid, Constance (1992). From zero to infinity: what makes numbers interesting (4. bas.). Mathematical Association of America. s. 23. ISBN 978-0-88385-505-8. zero neither prime nor composite
  79. ↑ Cheng 2017, s. 47.
  80. ↑ Herman, Edwin; Strang, Gilbert; ve diğerleri. (2017). Calculus. 1. Houston, Texas: OpenStax. ss. 454-459. ISBN 978-1-938168-02-4. OCLC 1022848630. 23 Eylül 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 26 Temmuz 2022.
  81. ↑ Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1988). Concrete Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. s. 111. ISBN 0-201-14236-8.
  82. ↑ Cheng 2017, s. 60.
  83. ↑ Kardar 2007, s. 35.
  84. ↑ Riehl, Emily (2016). Category Theory in Context. Dover. s. 103. ISBN 978-0-486-80903-8.
  85. ↑ Rex, Andrew; Finn, C. B. P. (2017). Finn's Thermal Physics (3. bas.). CRC Press. ss. 8-16. ISBN 978-1-4987-1887-5.
  86. ↑ Kardar 2007, ss. 4–5,103–104.
  87. ↑ Woodford 2006, s. 9.
  88. ↑ Hill 2020, s. 20.
  89. ↑ Overland, Brian (14 Eylül 2004). C++ Without Fear: A Beginner's Guide That Makes You Feel Smart (İngilizce). Pearson Education. s. 132. ISBN 978-0-7686-8488-9. 17 Eylül 2025 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 22 Ocak 2026.
  90. ↑ Oliveira, Suely; Stewart, David E. (7 Eylül 2006). Writing Scientific Software: A Guide to Good Style (İngilizce). Cambridge University Press. s. 64. ISBN 978-1-139-45862-7. 18 Eylül 2025 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 22 Ocak 2026.
  91. ↑ "ResultSet (Java Platform SE 8 )". docs.oracle.com. 9 Mayıs 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 9 Mayıs 2022.
  92. ↑ Reese, Richard M. (2013). Understanding and Using C Pointers: Core Techniques for Memory Management. O'Reilly Media. ISBN 978-1-449-34455-9. 28 Şubat 2024 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 22 Ocak 2026.
  93. ↑ Wu, X.; Ichikawa, T.; Cercone, N. (25 Ekim 1996). Knowledge-Base Assisted Database Retrieval Systems (İngilizce). World Scientific. ISBN 978-981-4501-75-0. 31 Mart 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 7 Kasım 2020.
  94. ↑ "Null values and the nullable type". IBM. 12 Aralık 2018. 23 Kasım 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Kasım 2021. In regard to services, sending a null value as an argument in a remote service call means that no data is sent. Because the receiving parameter is nullable, the receiving function creates a new, uninitialized value for the missing data then passes it to the requested service function.
  95. ↑ Paul DuBois. "MySQL Cookbook: Solutions for Database Developers and Administrators". 24 Şubat 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., 2014. p. 204.
  96. ↑ Arnold Robbins; Nelson Beebe. "Classic Shell Scripting". 24 Şubat 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. 2005. p. 274.
  97. ↑ Iztok Fajfar. "Start Programming Using HTML, CSS, and JavaScript". 24 Şubat 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. 2015. p. 160.
  98. ↑ Darren R. Hayes. "A Practical Guide to Computer Forensics Investigations". 24 Şubat 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. 2014. p. 399.
  99. ↑ Rochkind, Marc J. (1985). Advanced UNIX Programming. Prentice-Hall Software Series. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-011818-4. Section 5.5, "Exit system call", p.114.
  100. ↑ "Font Survey: 42 of the Best Monospaced Programming Fonts". codeproject.com. 18 Ağustos 2010. 24 Ocak 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 22 Temmuz 2021.
  101. ↑ Cepelewicz, Jordana (August 9, 2021). "Animals Count and Use Zero. How Far Does Their Number Sense Go?". Quanta Magazine. 18 August 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi.
  102. ↑ Steel, Duncan (2000). Marking Time: The epic quest to invent the perfect calendarÜcretsiz kayıt gerekli. John Wiley & Sons. s. 113. ISBN 978-0-471-29827-4. OCLC 1135427740. In the B.C./A.D. scheme there is no year zero. After 31 December 1 BC came 1 January AD 1. ... If you object to that no-year-zero scheme, then don't use it: use the astronomer's counting scheme, with negative year numbers.

Bibliyografya

Tarihsel çalışmalar

  • Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of the History of Mathematics. Berlin, Heidelberg, and New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-64767-8. 
  • Diehl, Richard A. (2004). The Olmecs: America's First Civilization. London, England: Thames & Hudson. ISBN 978-0-500-28503-9. 
  • Ifrah, Georges (2000). The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Wiley. ISBN 0-471-39340-1. 
  • Kaplan, Robert (2000). The Nothing That Is: A Natural History of Zero. Oxford University Press. ISBN 978-0-198-02945-8. 
  • Seife, Charles (2000). Zero: The Biography of a Dangerous Idea. Penguin USA. ISBN 0-14-029647-6. 

Dış bağlantılar