Gauss-Lucas teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Gauss-Lucas teoremi, bir polinomun kökleri ile yine aynı polinomun türevinin kökleri arasında geometrik bir ilişki ortaya koyar. Gerçel veya karmaşık katsayılı polinomların kökleri karmaşık düzlemde sonlu bir küme oluşturur. Teorem, polinomun türevinin köklerinin, polinomun köklerinden oluşan kümenin dışbükey kaplamında yer aldığını ifade eder. Diğer deyişle, polinomun köklerinin hepsini birden içeren en küçük dışbukey çokgen, polinomun türevinin köklerini de içerir. Teorem, Carl Friedrich Gauss ve Félix Lucas'ın adlarını taşımaktadır.

Teoremin ifadesi

Karmaşık katsayılı ve sabit olmayan bir polinomun türevinin kökleri, polinomun köklerinin dışbükey kaplamının içindedir.

Özel hâller

• ${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$ ikinci dereceden bir polinomsa, o zaman ${\displaystyle P'(x)=2ax+b}$ polinomunun kökleri ${\displaystyle P}$'in köklerinin aritmetik ortalamasıdır.
• Üç ayrı sıfırı olan üçüncü dereceden karmaşık bir polinom P(kübik fonksiyon) için Marden teoremi, P'nin türevinin sıfırlarının, P'nin sıfırlarının oluşturduğu üçgenin orta noktalarına teğet olan tek elips olan Steiner elipsinin odakları olduğunu belirtir.
• Dört ayrı sıfırı içbükey bir dörtgen oluşturan dördüncü dereceden karmaşık bir polinom ${\displaystyle P}$ (kuartik fonksiyon) için, ${\displaystyle P}$'nin sıfırlarından biri diğer üçünün dışbükey kaplamının içinde yer alır. Bu sebeple, geriye kalan diğer üç noktanın oluşturduğu üçgen şeklindeki dışbükey kaplam, içeride kalan kökten diğer köklere çizilen doğru parçalarıyla üç ayrı üçgene bölünür. O zaman, bu üçgenlerden biri ${\displaystyle P}$'nin türevinin sıfırlarından hiçbirini içermez.
• Ayrıca, gerçel katsayılı ${\displaystyle n}$ dereceli bir polinomun ${\displaystyle n}$ farklı gerçek sıfırı varsa (${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}}$), Rolle teoremini kullanılarak polinomun türevinin sıfırlarının ${\displaystyle [x_{1},x_{n}]}$ aralığında olduğunu görürüz ki bu aralık ${\displaystyle \{x_{1},\cdots ,x_{n}\}}$ kümesinin dışbükey kaplamıdır.
• ${\displaystyle p_{n}x^{n}+p_{n-1}x^{n-1}+\cdots +p_{0}}$ biçimindeki bir polinomun köklerinin dışbükey kaplamı, özellikle, ${\displaystyle -{\frac {p_{n-1}}{n\cdot p_{n}}}}$ noktasını da içerir.

İspat

Karmaşık katsayılı, derecesi ${\displaystyle n}$ olan ve sabit olmayan bir polinomu ${\displaystyle P}$ ile gösterelim. Cebirin temel teoremi gereği ${\displaystyle P}$ çarpanlarına ayrılır.

${\displaystyle P(z)=\alpha \prod _{i=1}^{n}(z-a_{i}).}$

Burada, ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$ sayıları karmaşık sayıdır ve polinomun köklerini temsil etmektedir. Bu sayılar, birbirinden farklı olmak zorunda değillerdir. ${\displaystyle \alpha }$ karmaşık sayısı da sıfıra eşit değildir ve polinomun en başta gelen katsayısıdır: ${\displaystyle P(z)=\alpha z^{n}+\cdots }$.

${\displaystyle z}$ sayısı, ${\displaystyle P'}$ fonksiyonun kökü olsun. ${\displaystyle z}$ sayısı aynı zamanda ${\displaystyle P}$ nin de köküyse, o zaman teorem zaten doğrudur. Ama ${\displaystyle z}$ sayısı ${\displaystyle P}$nin kökü değilse, logaritmik türev aracılığıyla

${\displaystyle 0={\frac {P^{\prime }(z)}{P(z)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{z-a_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {{\overline {z}}-{\overline {a_{i}}}}{|z-a_{i}|^{2}}}}$

yazılır. Bu yüzden,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {z}}{|z-a_{i}|^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\overline {a_{i}}}{|z-a_{i}|^{2}}}}$

yazılabilir. Her iki tarafın eşleniği alınıp ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}|z-a_{j}|^{-2}}$ ifâdesine bölünürse

${\displaystyle z=\sum _{i=1}^{n}{\frac {|z-a_{i}|^{-2}}{\sum _{j=1}^{n}|z-a_{j}|^{-2}}}a_{i}}$

elde edilir. Yâni, ${\displaystyle z}$ sayısı ${\displaystyle a_{i}}$ köklerinin ağırlıklı ortalaması olarak yazıldı.

Kaynakça

Ayrıca bakınız

Dış bağlantılar

Wikimedia Commons'ta Gauss-Lucas teoremi ile ilgili ortam dosyaları mevcuttur.

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Gauss-Lucas theorem", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Wolfram Demonstrations Project'de Lucas–Gauss Teoremi (Bruce Torrence tarafından),
• Gauss-Lucas teoremi - interaktif illüstrasyon