E (tal)

Tallet ${\displaystyle {\text{e}}}$ er en matematisk konstant, som er grundlaget for den naturlige eksponentialfunktion samt den naturlige logaritme. ${\displaystyle {\text{e}}}$ kaldes også Eulers tal, opkaldt efter matematikeren Leonhard Euler. Det er et transcendent tal, hvis første 50 decimaler er:

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...

Talsymbolet kursiveres ikke. Dets Unicode-kode glyf ^(no) er ℯ, som fås med koden & # x 212F; (uden mellemrum!), men det benyttes ikke her.

Definitioner

Der er forskellige definitioner for ${\displaystyle {\text{e}}}$, men en er, at hældningskoefficienten for tangenten af et vilkårligt givet punkt på funktionen ${\displaystyle y=f(x)={\text{e}}^{x}}$ altid er lig med ${\displaystyle y}$. Tallet ${\displaystyle {\text{e}}}$ er det eneste positive tal, hvorom dette gælder. For eksponentialfunktionen ${\displaystyle y={a}^{x}}$ er ${\displaystyle a={\text{e}}}$ altså den eneste positive værdi, for hvilken differentialkvotienten af funktionen er lig med funktionen selv:

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}{a}^{x}={a}^{x}.}$

Desuden er ${\displaystyle {\text{e}}}$ grundtallet for den naturlige logaritmefunktion ${\displaystyle \ln }$. Derfor opfylder ${\displaystyle {\text{e}}}$ følgende:

${\displaystyle \ln({\text{e}})=\int _{1}^{\text{e}}{\frac {1}{x}}{d}x=1.}$

Af konstruktive formler kan blandt mange nævnes:

${\displaystyle {\text{e}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}$

${\displaystyle {\text{e}}=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots +{1 \over n!}+\cdots .}$

Historie

Euler beviste i 1737, at tallet er irrationelt. I 1873 viste Charles Hermite ^(no) at det endda er et transcendent tal.

Eulers identitet

Uddybende artikel: Eulers formel

Ligheden

${\displaystyle {\text{e}}^{\pi i}+1=0}$

er kendt for at på smuk vis binde matematikkens fem vigtigste konstanter sammen. Denne identitet kaldes Eulers identitet.

Notation

Den naturlige eksponentialfunktion ${\displaystyle {\text{e}}^{x}}$ noteres somme tider som

${\displaystyle \exp(x)={\text{e}}^{x}.}$

Denne notation bruges især på computere, for eksempel i programmeringssprog og regneark, hvor brugen af hævet skrift er besværlig eller ikke-tilgængelig.

Kulturel Betydning

Konstanten fejres årligt d. 27. januar eller den 7. februar på eulers-dag.

Referencer