Sinusrelation

Sinusrelationen er en matematisk formel inden for trigonometrien, der sammenfatter længden af en trekants sider og størrelsen af dens vinkler i et regneudtryk: Dividerer man længden af en side med sinus til den modstående vinkel, får man samme forholdstal for alle tre "par" af sider og modstående vinkler. Almindeligvis kaldes siderne for a, b og c og deres modstående vinkler for hhv. A, B og C, og med den notation ser formlen således ud:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R

hvor R er radius i trekantens omskrevne cirkel.

Til beregning af vinklerne i en trekant kan denne omskrivning bruges:

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}

Bemærk at sinusrelationen gælder for alle trekanter.

Formlen kan bruges til at finde enten sidelængder eller vinkler i en trekant ved at lave en ligning ud af to af de tre brøker, og isolere enten en side eller en vinkel på den ene side af lighedstegnet. I sidstnævnte tilfælde fås, at sinus til en vinkel er lig med en given størrelse – og sådan en ligning har to principale løsninger: en stump eller en spids vinkel. Da det gælder, at $\sin (180 - v) = \sin (v)$ kan man ikke se forskel på stump eller spids, og der kan være to løsninger til trekanten. Derfor bruges sinusrelationen kun til at bestemme vinkler i trekanter, hvor cosinusrelationerne eller andre formler ikke giver entydige løsninger.

Bevis for sinusrelationerne

Der findes tre formler for udregning af areal i vilkårlige trekanter, som alle er lig T. (se trekant) Disse må derfor nødvendigvis være lig hinanden.

\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C

Der divideres med $\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot c$ på alle sider af lighedstegnene:

\frac{\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin A}{\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin B}{\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C}{\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot c}

Dette resulterer i:

\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}

Sinusrelationen for sfæriske trekanter

For sfæriske trekanter på en kugleoverflade gælder en tilsvarende sinusrelation:

\frac{\sin A}{\sin a} = \frac{\sin B}{\sin b} = \frac{\sin C}{\sin c}

Da det gælder for sinus-funktionen at

lim_{a \to 0} \frac{\sin a}{a} = 1

ses at den sfæriske sinusrelation vil tilnærme sig den sædvanlige sinusrelation når sidelængderne går mod 0, svarende til den sfæriske trekants krumning aftager.

Se også

Bøger

Holth, Klaus m.fl. (1987): Matematik Grundbog 1. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-18-3
Schultz, Jonny (1990): Matematik højniveau 1 - plangeometri og rumgeometri. Forlaget Trip, Vejle. ISBN 87-88049-16-7

Kilder/referencer

↑ Holth (1987) s. 59
↑ Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog B1, 1. udgave, 4. oplag 2006 ISBN 87-02-03327-5.
↑ Schultz (1990) s. 108

Eksterne henvisninger

CosSinCalc – Et online-værktøj, der udregner siderne og vinklerne på en trekant for dig.

[1] Holth (1987) s. 59

[2] Gyldendals Gymnasiematematik Grundbog B1, 1. udgave, 4. oplag 2006 ISBN 87-02-03327-5.

[3] Schultz (1990) s. 108