Bass-Serre-Baum

Bass-Serre-Bäume sind eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie, mit der Gruppenwirkungen von amalgamierten Produkten, HNN-Erweiterungen oder allgemeiner Fundamentalgruppen von Graphen von Gruppen auf Bäumen konstruiert werden können.

Sie sind nach Hyman Bass und Jean-Pierre Serre benannt.

Definition

Es sei ${\displaystyle (E,K,\left\{G_{e}\right\}_{e\in E},\left\{G_{k}\right\}_{k\in K},\left\{\alpha _{k,i}\colon G_{k}\to G_{e_{i}}\right\}_{k=(e_{0},e_{1})\in K,i=0,1})}$ ein Graph von Gruppen und ${\displaystyle G}$ seine Fundamentalgruppe. Der zugehörige Bass-Serre-Baum ${\displaystyle T}$ wird konstruiert wie folgt:

• die Ecken sind ${\displaystyle \bigsqcup _{e\in E}G/G_{e}}$
• die Kanten sind ${\displaystyle \bigsqcup _{k\in K}G/G_{k}}$
• die Kante ${\displaystyle \left[g\right]\in G/G_{k}}$ hat die Ecken ${\displaystyle \left[g\right]\in G/G_{e_{0}}}$ und ${\displaystyle \left[gk\right]\in G/G_{e_{1}}}$, für ${\displaystyle k=(e_{0},e_{1})\in K}$

Die Gruppe ${\displaystyle G}$ wirkt auf ${\displaystyle T}$ durch Linksmultiplikationen auf ${\displaystyle G/G_{e}}$ und ${\displaystyle G/G_{k}}$.

${\displaystyle T}$ ist ein Baum.

Struktursatz

Es sei ${\displaystyle (E,K,\left\{G_{e}\right\}_{e\in E},\left\{G_{k}\right\}_{k\in K},\left\{\alpha _{k,i}\colon G_{k}\to G_{e_{i}}\right\}_{k=(e_{0},e_{1})\in K,i=0,1})}$ ein Graph von Gruppen und ${\displaystyle T}$ sein Bass-Serre-Baum. Dann sind die Stabilisatoren von Ecken ${\displaystyle {\tilde {e}}}$ bzw. Kanten ${\displaystyle {\tilde {k}}}$ isomorph zu ${\displaystyle G_{e}}$ bzw. ${\displaystyle G_{k}}$ für ${\displaystyle e=\left[{\tilde {e}}\right]}$ bzw. ${\displaystyle k=\left[{\tilde {k}}\right]}$ und der Quotient ${\displaystyle G\backslash T}$ ist der dem Graph von Gruppen unterliegende Graph ${\displaystyle (E,K)}$.

Beispiele

Die beiden folgenden Graphen sind die Bass-Serre-Bäume eines freien Produkts bzw. einer HNN-Erweiterung.

• Bass-Serre-Baum des freien Produkts ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} *\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \simeq PSL(2,\mathbb {Z} )}$:

• Bass-Serre-Baum der Baumslag-Solitar-Gruppe ${\displaystyle BS(1,2)=\langle a,t\colon tat^{-1}=a^{2}\rangle }$:

Literatur

Jean-Pierre Serre: Trees. Translated from the French original by John Stillwell. Corrected 2nd printing of the 1980 English translation. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44237-5

Weblinks

Richard Weidmann: Bass-Serre theory (Memento vom 19. Februar 2015 im Internet Archive)

Einzelnachweise

1. ↑ Serre, op.cit., Theorem 12 in Chapter I
2. ↑ Weidmann, op.cit., Chapter 5