HNN-Erweiterung

In der Mathematik ist die HNN-Erweiterung eine Konstruktion aus der Gruppentheorie. Die Theorie der HNN-Erweiterungen ist von grundlegender Bedeutung in der kombinatorischen und geometrischen Untersuchung von Gruppen. HNN-Erweiterungen und amalgamierte Produkte bilden die Grundlage der Bass-Serre-Theorie. Sie wurden von Graham Higman, Bernhard Neumann und Hanna Neumann 1949 in dem Artikel „Embedding Theorems for Groups“ eingeführt, wo auch einige grundlegende Eigenschaften bewiesen wurden.

Eine HNN-Erweiterung ist eine Inklusion einer gegebenen Gruppe $G$ in eine andere Gruppe $G_{α}$ , so dass ein gegebener Isomorphismus zweier Untergruppen $J$ und $K$ von $G$ in $G_{α}$ durch Konjugation mit einem Element $t \in G_{α}$ realisiert wird.

Man spricht in diesem Fall von einer HNN-Erweiterung über der Gruppe $J$ , und man spricht von einer nichttrivialen HNN-Erweiterung falls $J ≠ G$ ist.

Definition

Gegeben seien eine Gruppe $G$ , zwei Untergruppen $J, K \subset G$ und ein Isomorphismus $α : J \to K$ .

Wenn $G$ die Präsentierung $⟨ S | R ⟩$ hat, dann wird $G_{α}$ , die HNN-Erweiterung von $G$ durch $α$ , durch folgende Präsentierung definiert:

⟨ S, t | R, t j t^{- 1} = α (j) \forall j \in J ⟩

Weil die Gruppe $G_{α}$ die Erzeuger und Relationen von $G$ enthält, ist es klar, dass es einen kanonischen Homomorphismus von $G$ nach $G_{α}$ gibt. Higman, Neumann und Neumann bewiesen, dass dieser Morphismus injektiv ist.

Normalformen und Lemma von Britton

Für Berechnungen ist es oft nützlich, Elemente von $G_{α}$ in eine Normalform bringen zu können. Diese Normalform ist nicht eindeutig, das Lemma von Britton beschreibt exakt, wann zwei Normalformen demselben Element entsprechen.

Normalform:

Jedes Element $w \in G_{α}$ kann geschrieben werden als:

$w = g_{0} t^{ε_{1}} g_{1} t^{ε_{2}} \dots g_{n - 1} t^{ε_{n}} g_{N}, g_{i} \in G, ε_{i} = \pm 1$

Das Lemma von Britton, bewiesen 1963 in „The word problem“ bietet eine Möglichkeit, die nichttrivialen Elemente einer HNN-Erweiterung zu beschreiben:

Lemma von Britton: Sei

w \in G_{α}

in obiger Normalform, so dass * entweder

N = 0

und

g_{0} ≠ 1 \in G

, * oder

N > 0

und in w kommen keine Teilwörter der Form

t j t^{- 1}

mit

j \in J

oder

t k t^{- 1}

mit

k \in K

vor,

dann ist

w ≠ 1

in

G_{α}

.

Eigenschaften

Sei $G$ eine Gruppe und $G_{α}$ ihre HNN-Erweiterung mittels eines Isomorphismus $α : J \to K$ zweier Untergruppen.

Wenn $G$ abzählbar ist, dann auch $G_{α}$ .
Wenn $G$ endlich erzeugt ist, dann auch $G_{α}$ .
Wenn $G$ torsionsfrei ist, dann auch $G_{α}$ .

Topologische Interpretation

Es sei $X$ ein zusammenhängender Raum mit zwei zusammenhängenden Teilmengen $A, B \subset X$ , für die es einen Homöomorphismus $ϕ : A \to B$ gibt. Wir definieren auf $X$ eine Äquivalenzrelation durch

x \sim y ⟺ x \in A, y \in B, y = ϕ (x)

oder

x \in B, y \in A, y = ϕ^{- 1} (x)

und bezeichnen mit $Y = X / \sim$ den Quotientenraum dieser Äquivalenzrelation. Dann ist die Fundamentalgruppe von $Y$ eine HNN-Erweiterung der Fundamentalgruppe von $X$ .

Genauer: sei $x_{0} \in X$ ein Basispunkt, $y_{0} = [x_{0}] \in X$ und für Basispunkte $a_{0} \in A, b_{0} = ϕ (a_{0}) \in B$ wähle Wege von $a_{0}$ bzw. $b_{0}$ nach $x_{0}$ und entsprechende Identifizierungen von $π_{1} (A, a_{0}), π_{1} (B, b_{0})$ mit Untergruppen $J, K \in π_{1} (X, x_{0})$ . Der Homöomorphismus $ϕ$ induziert einen Isomorphismus $ϕ_{*} : π_{1} (A, a_{0}) \to π_{1} (B, b_{0})$ und damit einen Isomorphismus $α : J \to K$ . Dann ist

π_{1} (Y, y_{0}) = π_{1} (X, x_{0}) *_{α}

.

Der Beweis benutzt den Satz von Seifert und van Kampen.

Bass-Serre-Theorie

Die HNN-Erweiterung $G_{α}$ kann interpretiert werden als Fundamentalgruppe des Gruppengraphen mit einer Ecke v und einer Kante e, Kantengruppe $G_{e} := G$ , Eckengruppe $G_{v} := J$ und Monomorphismen

α_{0}, α_{1} : G_{e} \to G_{v}

gegeben durch $α_{0} = i d$ und $α_{1} = α$ .

Literatur

H. Zieschang, E. Vogt, H.-D. Coldewey: Flächen und ebene diskontinuierliche Gruppen. (= Lecture Notes in Mathematics. Vol. 122). Springer-Verlag, Berlin / New York 1970, ISBN 3-540-04911-8.
Jean-Pierre Serre: Arbres, amalgames, SL₂. (= Astérisque. No. 46). Société Mathématique de France, Paris 1977, Kapitel 1.4.
Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Eine Einführung. (= Mathematische Leitfäden). 2. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12226-X.
Peter Scott, Terry Wall: Topological methods in group theory. (= London Math. Soc. Lecture Note Ser. 36). Homological group theory (Proc. Sympos., Durham, 1977), Cambridge Univ. Press, Cambridge / New York 1979, ISBN 0-521-22729-1, S. 137–203. (online)
John Stillwell: Geometry of surfaces. Corrected reprint of the 1992 original. Universitext. Springer-Verlag, New York 1992, ISBN 0-387-97743-0, Kapitel 9.2.2.

Weblinks

HNN-Extension (Encyclopedia of Mathematics)
Gruppen und Graphen

Einzelnachweise

↑ Graham Higman, B. H. Neumann, Hanna Neumann: Embedding theorems for groups. In: J. London Math. Soc. Band 24, 1949, S. 247–254.
↑ John L. Britton: The word problem. In: Ann. of Math. Band 77, Nr. 2, 1963, S. 16–32.

[1] Graham Higman, B. H. Neumann, Hanna Neumann: Embedding theorems for groups. In: J. London Math. Soc. Band 24, 1949, S. 247–254.

[2] John L. Britton: The word problem. In: Ann. of Math. Band 77, Nr. 2, 1963, S. 16–32.