Graph von Gruppen

In der Mathematik sind Graphen von Gruppen eine Konstruktion der Gruppentheorie, mit der iterierte amalgamierte Produkte und HNN-Erweiterungen konstruiert werden können und die in der Bass-Serre-Theorie von Bedeutung ist.

Definition

Ein Graph von Gruppen wird durch die folgenden Daten gegeben:

• ein gerichteter zusammenhängender Graph ${\displaystyle (E,K)}$, so dass für jede Kante ${\displaystyle k=(e_{0},e_{1})\in K}$ auch die umgedrehte Kante ${\displaystyle {\overline {k}}=(e_{1},e_{0})}$ zu ${\displaystyle K}$ gehört
• eine „Eckengruppe“ ${\displaystyle G_{e}}$ für jede Ecke ${\displaystyle e\in E}$
• eine „Kantengruppe“ ${\displaystyle G_{k}}$ für jede Kante ${\displaystyle k\in K}$, so dass ${\displaystyle G_{k}=G_{\overline {k}}}$ für alle ${\displaystyle k}$
• injektive Homomorphismen ${\displaystyle \alpha _{k,i}\colon G_{k}\to G_{e_{i}},i=0,1}$ für jede Kante ${\displaystyle k=(e_{0},e_{1})\in K}$

Fundamentalgruppe

Für die Definition der Fundamentalgruppe eines Graphen von Gruppen muss zunächst ein Spannbaum ${\displaystyle T}$ im Graphen ${\displaystyle (E,K)}$ gewählt werden. Die Fundamentalgruppe ist letztlich aber vom gewählten Spannbaum unabhängig.

Die Fundamentalgruppe des Graphen von Gruppen ist definiert als das freie Produkt

${\displaystyle (\ast _{e\in E}G_{e})\ast F(K)}$

(wobei ${\displaystyle F(K)}$ die freie Gruppe mit Basis ${\displaystyle K}$ bezeichnet) modulo der folgenden Relationen:

• ${\displaystyle {\overline {k}}\alpha _{k,0}(g)k=\alpha _{k,1}(g)}$ für alle ${\displaystyle k\in K,g\in G_{k}}$
• ${\displaystyle {\overline {k}}k=1}$ für alle ${\displaystyle k\in K}$
• ${\displaystyle k=1}$ für alle im Spannbaum ${\displaystyle T}$ vorkommenden Kanten

Beispiele

• Es sei ${\displaystyle (E,K)}$ der aus einer Kante ${\displaystyle k=(e_{0},e_{1})}$ mit zwei Eckpunkten ${\displaystyle e_{0},e_{1}}$ bestehende Graph. Dann ist die Fundamentalgruppe eines Graphen von Gruppen das amalgamierte Produkt

${\displaystyle G_{e_{0}}*_{G_{k}}G_{e_{1}}}$.

• Es sei ${\displaystyle (E,K)}$ der aus einer Kante ${\displaystyle k=(e,e)}$ mit zwei übereinstimmenden Eckpunkten ${\displaystyle e_{0}=e_{1}}$ bestehende Graph (eine „Schleife“). Dann ist die Fundamentalgruppe eines Graphen von Gruppen die HNN-Erweiterung

${\displaystyle G_{e}*_{\alpha }}$

für den durch

${\displaystyle \alpha$ :=\alpha _{k,1}(\alpha _{k,0})^{-1}\colon \alpha _{k,0}(G_{k})\to \alpha _{k,1}(G_{k})}

gegebenen Homomorphismus ${\displaystyle \alpha }$ zwischen den Untergruppen ${\displaystyle \alpha _{k,0}(G_{k})}$ und ${\displaystyle \alpha _{k,1}(G_{k})}$ von ${\displaystyle G_{e}}$.

Siehe auch

• Bass-Serre-Baum

Literatur

• Jean-Pierre Serre: Arbres, amalgames, SL₂. Rédigé avec la collaboration de Hyman Bass. Astérisque, No. 46. Société Mathématique de France, Paris, 1977.
• englische Übersetzung: Trees. Translated from the French original by John Stillwell. Corrected 2nd printing of the 1980 English translation. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44237-5