Hamiltonoperator

Der Hamiltonoperator $\hat{H}$ (auch Hamiltonian) ist in der Quantenmechanik ein Operator, der (mögliche) Energiemesswerte und die Zeitentwicklung angibt. Er ist daher der Energieoperator. Er liefert beispielsweise die Energieniveaus des Elektrons im Wasserstoffatom. Er ist nach William Rowan Hamilton benannt. Auf ihn geht die hamiltonsche Formulierung der klassischen Mechanik zurück, in der die Hamilton-Funktion die Zeitentwicklung und die Energie bestimmt.

Zeitentwicklung und Energie

In der Quantenmechanik wird jeder Zustand des betrachteten physikalischen Systems durch einen zugehörigen Vektor $ψ$ im Hilbertraum angegeben. Seine Zeitentwicklung wird nach der Schrödingergleichung durch den linearen hermiteschen Hamiltonoperator $\hat{H}$ bestimmt:

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} ψ (t) = \hat{H} ψ (t)

mit

der imaginären Einheit $i$
der reduzierten Planck-Konstante $ℏ = \frac{h}{2 π} .$

Man erhält den Hamiltonoperator in vielen Fällen aus der Hamiltonfunktion $ℋ (t, x, p)$ des entsprechenden klassischen Systems (mit der generalisierten Koordinate $x$ und dem kanonischen Impuls $p$ ) durch kanonische Quantisierung. Dazu wird der algebraische Ausdruck für die Hamilton-Funktion als Funktion von Operatoren gelesen (Ortsoperator $\hat{x}$ und Impulsoperator $\hat{p}$ ), die den kanonischen Vertauschungsrelationen genügen.

Dies ist allerdings nicht eindeutig, da die Funktion $x p - p x$ den Wert $0$ hat, die Operatorfunktion $\hat{x} \hat{p} - \hat{p} \hat{x}$ aber den Wert $i ℏ .$ Zudem ist $x p$ reell, aber $\hat{x} \hat{p}$ ist nicht hermitesch. Zwei gleiche Hamiltonfunktionen $\frac{p^{2}}{2 m}$ und $\frac{1}{2 m} \frac{1}{\sqrt{x}} p x p \frac{1}{\sqrt{x}}$ der kinetischen Energie für $x > 0$ haben unterschiedliche Hamiltonoperatoren

- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{1}{\sqrt{x}} \frac{\partial}{\partial x} x \frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{\sqrt{x}} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{1}{4 x^{2}})

mit dem Unterschied eines zusätzlichen effektiven Potentialterms $\frac{ℏ^{2}}{8 m x^{2}}$ proportional zu $1 / x^{2}$ . Außerdem gibt es quantenmechanische Größen wie den Spin, die in der klassischen Physik nicht auftreten. Wie sie sich auf die Zeitentwicklung auswirken, folgt nicht aus Analogien mit der klassischen Physik, sondern muss aus den physikalischen Befunden erschlossen werden. Mit den Worten von Wolfgang Pauli:

„Vom Standpunkt der unrelativistischen Wellenmechanik aus ist der einzige Weg zur Auffindung des Operators H bei einem bestimmten System der Vergleich des Verhaltens der allgemeinen Lösung der [Schrödinger-Gleichung] mit den Eigenschaften der mechanischen Bahnen desselben Systems in der klassischen Theorie in geeigneten Grenzfällen, wie es dem Bohrschen Korrespondenzgedanken entspricht. Zwischen verschiedenen korrespondenzmäßigen Möglichkeiten für H kann zunächst nur die Erfahrung entscheiden.“

– Wolfgang Pauli: Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik, 1933

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Die Eigenwertgleichung

\hat{H} φ_{E} = E φ_{E}

bestimmt die Eigenvektoren $φ_{E}$ des Hamiltonoperators; sie sind bei zeitunabhängigem Hamiltonoperator stationär, d. h. in jeder beobachtbaren Eigenschaft zeitunabhängig. Die Eigenwerte $E$ sind die zugehörigen Energien.

Da der Hamiltonoperator hermitesch (genauer wesentlich selbstadjungiert) ist, besagt der Spektralsatz, dass die Energien reell sind und dass die Eigenvektoren eine Orthonormalbasis des Hilbertraums bilden. Je nach System kann das Energiespektrum diskret oder kontinuierlich sein. Manche Systeme, z. B. das Wasserstoffatom oder ein Teilchen im Potentialtopf, haben ein nach unten beschränktes, diskretes Spektrum und darüber ein Kontinuum möglicher Energien.

Der Hamiltonoperator erzeugt die unitäre Zeitentwicklung. Falls für alle Zeiten $τ$ und $τ^{'}$ zwischen $t_{0}$ und $t$ der Hamiltonoperator $H (τ)$ mit $H (τ^{'})$ kommutiert, so bewirkt

\hat{U} (t, t_{0}) = \exp (- \frac{i}{ℏ} \int_{t_{0}}^{t} \hat{H} (τ) d τ)

die unitäre Abbildung jedes anfänglichen Zustandes $ψ (t_{0})$ auf den zugehörigen Zustand $ψ (t) = U (t, t_{0}) ψ (t_{0})$ zur Zeit $t .$

Falls der Hamiltonoperator nicht von der Zeit abhängt ( $\hat{H} \neq f (t)$ ), vereinfacht sich dies zu

\hat{U} (t, t_{0}) = \exp (- \frac{i}{ℏ} (t - t_{0}) \hat{H}) .

Operatoren, die mit $\hat{H}$ vertauschen, sind bei zeitunabhängigem Hamiltonoperator Erhaltungsgrößen des Systems, insbesondere die Energie.

Für die Energie gilt auch eine Energie-Zeit-Unschärferelation, nur muss man in der Quantenmechanik bei deren Ableitung anders vorgehen als zum Beispiel bei der Ort-Impuls-Unschärferelation.

Beispiele

Quantenmechanisches Teilchen im Potential

Aus der Hamiltonfunktion

ℋ (𝐱, 𝐩) = \frac{𝐩^{2}}{2 m} + V (𝐱)

für ein nichtrelativistisches, klassisches Teilchen der Masse $m$ , das sich im Potential $V (𝐱)$ bewegt, kann ein Hamiltonoperator abgelesen werden. Dazu werden die Ausdrücke für den Impuls und das Potential durch die entsprechenden Operatoren ersetzt:

\hat{H} (\hat{𝐱}, \hat{𝐩}) = \frac{{\hat{𝐩}}^{2}}{2 m} + V (\hat{𝐱}) .

In der Ortsdarstellung wirkt der Impulsoperator $\hat{𝐩}$ als Ableitung $\frac{ℏ}{i} \frac{\partial}{\partial 𝐱}$ und der Operator $V (\hat{𝐱})$ als Multiplikation mit der Funktion $V (𝐱) .$ Die Anwendung dieses Hamiltonoperators eines Punktteilchens der Masse $m$ im Potential $V (𝐱)$ auf die Ortswellenfunktion $Ψ$ des Teilchens wirkt sich demnach aus durch

\Rightarrow \hat{H} Ψ (𝐱) = (- \frac{ℏ^{2}}{2 m} Δ + V (𝐱)) Ψ (𝐱) .

Hierbei ist $Δ = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}$ der Laplace-Operator.

Die Schrödingergleichung lautet somit

i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ (t, 𝐱) = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} Δ Ψ (t, 𝐱) + V (𝐱) \cdot Ψ (t, 𝐱) .

Diese Schrödingergleichung einer Punktmasse im Potential ist die Grundlage zur Erklärung des Tunneleffekts. Sie liefert bei Einsetzen des Coulombpotentials (als Potential für die Wechselwirkung zwischen einem Elektron und einem Proton) die Spektrallinien des Wasserstoff-Atoms. Durch Einsetzen entsprechender Potentiale können auch die Spektrallinien anderer leichter Atome berechnet werden.

Eindimensionaler harmonischer Oszillator

Analog erhält man für den quantenmechanischen harmonischen Oszillator, der sich nur längs einer Linie bewegen kann, den Hamiltonoperator

\hat{H} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} .

Die Energien lassen sich algebraisch bestimmen. Man erhält

E_{n} = E_{0} + n ℏ ω, n \in {0, 1, 2, \dots} .

Es handelt sich dabei um dieselben Energien wie die eines Grundzustandes mit Energie $E_{0}$ , dem $n$ -fach ein Quant der Energie $ℏ ω$ hinzugefügt wurde.

Spin im Magnetfeld

Zum Spin $𝐒$ eines Elektrons, das an ein Atom gebunden ist und sich in einem ungepaarten Zustand (allein in der Elektronenwolke) im Magnetfeld $𝐁$ befindet, gehört der Hamiltonoperator

\hat{H} = - γ 𝐒 \cdot 𝐁 .

Dabei ist

$γ$ das gyromagnetische Verhältnis des Elektrons
$𝐒$ der Spinoperator.

Da der Spin in Richtung des Magnetfeldes nur die Eigenwerte $ℏ / 2$ oder $- ℏ / 2$ annehmen kann (Spinpolarisation), sind die möglichen Energien $\pm \frac{γ}{2} | 𝐁 |$ . Im inhomogenen Magnetfeld des Stern-Gerlach-Versuchs spaltet daher ein Teilchenstrahl aus Silberatomen in zwei Teilstrahlen auf.

Drehimpuls-Hamiltonoperator

Ein rotationssymmetrisches quantenmechanisches System kann durch den Drehimpuls-Hamiltonoperator beschrieben werden. Für einen starren Rotator lautet der Hamiltonoperator

\hat{H} = \frac{{\hat{L}}^{2}}{2 I},

wobei ${\hat{L}}^{2}$ den quadrierten Drehimpulsoperator und $I$ das Trägheitsmoment bezeichnet. Die Energieeigenwerte ergeben sich zu

E_{l} = \frac{ℏ^{2} l (l + 1)}{2 I}, l = 0, 1, 2, \dots

Dieser Hamiltonoperator wird beispielsweise zur Beschreibung der Rotationsspektren von Molekülen verwendet.

Heisenberg-Hamiltonoperator

Der Heisenberg-Hamiltonoperator beschreibt die Austauschwechselwirkung zwischen Spins in einem magnetischen Material. Er lautet

\hat{H} = - \sum_{j \neq i, i > j} J_{A}^{i j} \frac{1}{ℏ^{2}} {\hat{𝐒}}_{i} \cdot {\hat{𝐒}}_{j} .

Dabei bezeichnet $J_{A}^{i j}$ die Austauschwechselwirkung zwischen benachbarten Gitterplätzen, während ${\hat{𝐒}}_{i}$ und ${\hat{𝐒}}_{j}$ die Spinoperatoren an den Gitterplätzen $i$ und $j$ darstellen. Das Skalarprodukt lässt sich als

{\hat{𝐒}}_{i} \cdot {\hat{𝐒}}_{j} = {\hat{S}}_{i}^{x} {\hat{S}}_{j}^{x} + {\hat{S}}_{i}^{y} {\hat{S}}_{j}^{y} + {\hat{S}}_{i}^{z} {\hat{S}}_{j}^{z}

schreiben. Für die hier verwendete Vorzeichenkonvention begünstigt $J_{A}^{i j} < 0$ eine antiferromagnetische und $J_{A}^{i j} > 0$ eine ferromagnetische Ausrichtung benachbarter Spins.

Geladenes, spinloses Teilchen im elektromagnetischen Feld

Den Hamiltonoperator eines Teilchen mit Ladung $q$ in einem äußeren elektromagnetischen Feld erhält man durch minimale Substitution von $\hat{𝐩} = \frac{ℏ}{i} \nabla$

\hat{H} = \frac{1}{2 m} (\hat{𝐩} - q 𝐀 (t, \hat{𝐱}))^{2} + q φ (t, \hat{𝐱}) = \frac{1}{2 m} {[\frac{ℏ}{i} \nabla - q 𝐀 (t, \hat{𝐱})]}^{2} + q φ (t, \hat{𝐱}) .

Hier bezeichnet

$𝐀 (t, \hat{𝐱})$ das Vektorpotential
$φ (t, \hat{𝐱})$ das Skalarpotential.

Beim Ausmultiplizieren der Klammer ist zu beachten, dass $\hat{𝐩}$ und $𝐀 (\hat{𝐱})$ wegen der Ortsabhängigkeit von $𝐀$ im Allgemeinen nicht kommutieren.

\hat{H} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} - \frac{ℏ q}{2 i m} [\nabla \cdot 𝐀 (t, \hat{𝐱}) + 𝐀 (t, \hat{𝐱}) \cdot \nabla] + \frac{q^{2}}{2 m} 𝐀^{2} (t, \hat{𝐱}) + q φ (t, \hat{𝐱}) .

Dies ist nur in der Coulomb-Eichung $\nabla \cdot 𝐀 (t, \hat{𝐱}) = 0$ der Fall, denn mit $\nabla \cdot (𝐀 (t, \hat{𝐱}) ψ) = 𝐀 (t, \hat{𝐱}) \cdot \nabla ψ$ folgt

\hat{H} = - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} - \frac{ℏ q}{i m} 𝐀 (t, \hat{𝐱}) \cdot \nabla + \frac{q^{2}}{2 m} 𝐀^{2} (t, \hat{𝐱}) + q φ (t, \hat{𝐱}) .

Wasserstoffatom

Der Hamiltonoperator des Wasserstoffatoms beschreibt die Gesamtenergie des Elektrons im Coulomb-Potential des Protons. Er setzt sich aus der kinetischen Energie und der elektrostatischen potentiellen Energie zusammen und lautet in der Ortsdarstellung:

\hat{H} = - \frac{ℏ^{2}}{2 μ} \nabla^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_{0} r}

Dabei bezeichnet $ℏ$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum, $μ$ die reduzierte Masse des Elektron-Proton-Systems, $e$ die Elementarladung, $ε_{0}$ die elektrische Feldkonstante und $r$ den Abstand zwischen Elektron und Proton. Der erste Term beschreibt die kinetische Energie des Elektrons, während der zweite Term die elektrostatische Anziehung zwischen Elektron und Proton berücksichtigt.

Hamiltonoperator des Wasserstoffatoms mit Feinstrukturkorrekturen

Eine genauere Beschreibung des Wasserstoffatoms berücksichtigt neben der Coulomb-Wechselwirkung auch relativistische Effekte und die Spin-Bahn-Kopplung. Der Hamiltonoperator lässt sich schematisch als

\hat{H} = {\hat{H}}_{0} + {\hat{H}}_{r e l} + {\hat{H}}_{S O} + {\hat{H}}_{D}

schreiben. Dabei bezeichnet ${\hat{H}}_{0}$ den nichtrelativistischen Coulomb-Hamiltonoperator, ${\hat{H}}_{r e l}$ die relativistische Korrektur der kinetischen Energie, ${\hat{H}}_{S O}$ die Spin-Bahn-Wechselwirkung und ${\hat{H}}_{D}$ den Darwin-Term. Diese Korrekturen erklären die Feinstruktur atomarer Spektrallinien.

Der ungestörte Hamiltonoperator lautet

{\hat{H}}_{0} = - \frac{ℏ^{2}}{2 μ} \nabla^{2} - \frac{e^{2}}{4 π ε_{0} r}

mit $ℏ$ als reduziertes Plancksche Wirkungsquantum, $μ$ die reduzierte Masse des Elektron-Proton-Systems, $e$ die Elementarladung, $ε_{0}$ die elektrische Feldkonstante und $r$ den Abstand zwischen Elektron und Proton. Die führende relativistische Korrektur der kinetischen Energie ist

{\hat{H}}_{r e l} = - \frac{{\hat{p}}^{4}}{8 m_{e}^{3} c^{2}}

mit der Elektronenmasse $m_{e}$ und der Lichtgeschwindigkeit $c$ . Der Spin-Bahn-Term kann in der nichtrelativistischen Näherung geschrieben werden als

{\hat{H}}_{S O} = \frac{e^{2}}{8 π ε_{0}} \frac{1}{m_{e}^{2} c^{2}} \frac{\hat{𝐋} \cdot \hat{𝐒}}{r^{3}},

mit dem Bahndrehimpulsoperator $\hat{𝐋}$ und dem Spinoperator $\hat{𝐒}$ . Der Darwin-Term lautet für das Wasserstoffatom

{\hat{H}}_{D} = \frac{e^{2}}{4 π ε_{0}} \frac{π ℏ^{2}}{2 m_{e}^{2} c^{2}} δ^{(3)} (𝐫)

mit der Delta-Funktion $δ^{(3)} (𝐫)$ , die dazu führt, dass nur Wellenfunktionen mit Bahndrehimpuls $ℓ = 0$ Beiträge liefern. Die angegebenen Korrekturen gelten in der führenden Ordnung der relativistischen Entwicklung.

Zwei-Niveau-System mit Wechselwirkung

Ein Zwei-Niveau-System mit Wechselwirkung beschreibt ein quantenmechanisches System, das durch zwei relevante Energiezustände charakterisiert werden kann. Ein Beispiel hierfür ist ein Qubit oder ein Atom mit zwei relevanten Energieniveaus. Der Hamiltonoperator eines solchen Systems kann in Matrixform geschrieben werden als

\hat{H} = (\begin{matrix} E_{0} & - A \\ - A & E_{0} \end{matrix}) .

Dabei bezeichnet $E_{0}$ die Energie ohne Wechselwirkung. Der Parameter $- A$ beschreibt die Wechselwirkung und führt zu einer deutlichen Aufspaltung der Energieniveaus.

Hubbard-Hamiltonoperator

Der Hubbard-Hamiltonoperator beschreibt Elektronen, die sich zwischen Gitterplätzen bewegen und sich am selben Gitterplatz gegenseitig abstoßen können. Er lautet

\hat{H} = - t \sum_{⟨ i, j ⟩, σ} ({\hat{c}}_{i σ}^{†} {\hat{c}}_{j σ} + {\hat{c}}_{j σ}^{†} {\hat{c}}_{i σ}) + U \sum_{i} {\hat{n}}_{i ↑} {\hat{n}}_{i ↓} .

mit der Summation über die nächsten Nachbarn $⟨ i, j ⟩$ und Spins $σ = ↑, ↓$ . Dabei bezeichnet $t$ die Hüpfenergie zwischen benachbarten Gitterplätzen, $U$ die lokale Coulomb-Wechselwirkung, ${\hat{c}}_{i σ}^{†}$ den Erzeugungsoperator eines Elektrons am Gitterplatz $i$ mit Spin $σ$ , und ${\hat{c}}_{i σ}$ den entsprechenden Vernichtungsoperator. Der Teilchenzahloperator ist definiert durch

{\hat{n}}_{i σ} = {\hat{c}}_{i σ}^{†} {\hat{c}}_{i σ} .

Der erste Term beschreibt den spin-erhaltenden Elektronenhüpfprozess zwischen benachbarten Gitterplätzen, während der zweite Term die lokale Coulomb-Wechselwirkung zwischen Elektronen mit entgegengesetztem Spin am selben Gitterplatz erfasst.

Jaynes-Cummings-Hamiltonoperator

Der Jaynes-Cummings-Hamiltonoperator beschreibt die Wechselwirkung eines quantisierten elektromagnetischen Feldes mit einem Zwei-Niveau-System, beispielsweise einem Atom oder einem Qubit. Er lautet

\hat{H} = ℏ ω_{c} {\hat{a}}^{†} \hat{a} + \frac{1}{2} ℏ ω_{0} {\hat{σ}}_{z} + ℏ g ({\hat{a}}^{†} {\hat{σ}}_{-} + \hat{a} {\hat{σ}}_{+}) .

Hierbei bezeichnet ${\hat{a}}^{†}$ den Erzeugungsoperator und $\hat{a}$ den Vernichtungsoperator eines Photons. Die Größe $ω_{c}$ ist die Frequenz des Feldmodus, $ω_{0}$ die Übergangsfrequenz des Zwei-Niveau-Systems und $g$ die Kopplungsstärke. Die Operatoren ${\hat{σ}}_{z}$ , ${\hat{σ}}_{+}$ und ${\hat{σ}}_{-}$ sind Pauli- beziehungsweise Auf- und Absteigeoperatoren des Zwei-Niveau-Systems.

Die ersten beiden Terme beschreiben die freie Energie des elektromagnetischen Feldes und des Zwei-Niveau-Systems. Der dritte Term beschreibt den Austausch von Anregungen zwischen dem Feld und dem Zwei-Niveau-System. Das Modell wird in der Quantenoptik, der Hohlraum-Quantenelektrodynamik und bei supraleitenden Qubits verwendet.

Dirac-Hamiltonoperator

Der Dirac-Hamiltonoperator beschreibt relativistische Spin- $\frac{1}{2}$ -Teilchen, beispielsweise Elektronen. Für ein freies Teilchen lautet er

{\hat{H}}_{D} = c \hat{𝜶} \cdot \hat{𝒑} + \hat{β} m c^{2} .

Dabei bezeichnet $c$ die Lichtgeschwindigkeit und $m$ die Masse des Teilchens. Die Größen $\hat{𝜶} = ({\hat{α}}_{x}, {\hat{α}}_{y}, \hat{α_{z})}$ und $\hat{β}$ sind Dirac-Matrizen, die die relativistische Beschreibung des Spinor-Zustands ermöglichen. Der Hamiltonoperator enthält sowohl den Impulsbeitrag als auch den Ruheenergiebeitrag des Teilchens.

Literatur

Peter Rennert, Angelika Chassé und Wolfram Hergert: Einführung in die Quantenphysik. Experimentelle und theoretische Grundlagen mit Aufgaben, Lösungen und Mathematica-Notebooks. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-00769-0.

Einzelnachweise

↑ L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 3, Quantenmechanik. 6. Auflage. Akademie Verlag, Berlin 1979, S. 24.
↑ David J. Griffiths: Quantenmechanik - Lehr- und Übungsbuch. 2. Auflage. Pearson Studium, München 2012, ISBN 978-3-86894-114-2, S. 50.
↑ Norbert Straumann: Quantenmechanik - Nichtrelativistische Quantentheorie. 1. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2001, ISBN 3-540-42888-7, S. 87.
↑ Norbert Straumann: Quantenmechanik - Nichtrelativistische Quantentheorie. 1. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2001, ISBN 3-540-42888-7, S. 88.
↑ W. Pauli, N. Straumann: Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik – Neu herausgegeben und mit historischen Anmerkungen versehen von Norbert Straumann. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1990, ISBN 978-3-540-51949-2, S. 24.
↑ J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. The Benjamin / Cummings Publishing Company, Menlo Park / Reading 1985, ISBN 0-8053-7501-5, S. 73.
↑ J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. The Benjamin / Cummings Publishing Company, Menlo Park / Reading 1985, ISBN 0-8053-7501-5, S. 72.
↑ David J. Griffiths: Quantenmechanik - Lehr- und Übungsbuch. 2. Auflage. Pearson Studium, München 2012, ISBN 978-3-86894-114-2, S. 145.
↑ David J. Griffiths: Quantenmechanik - Lehr- und Übungsbuch. 2. Auflage. Pearson Studium, München 2012, ISBN 978-3-86894-114-2, S. 164.
↑ Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. John Wiley & Sons, New York, London, Sidney, Toronto 1977, ISBN 0-471-16432-1, S. 716.
↑ Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. John Wiley & Sons, New York, London, Sidney, Toronto 1977, ISBN 0-471-16432-1, S. 11.
↑ Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. John Wiley & Sons, New York, London, Sidney, Toronto 1977, ISBN 0-471-16432-1, S. 722.
↑ Rudolf Gross, Achim Marx: Festkörperphysik. 1. Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2012, ISBN 978-3-486-71294-0, S. 695.
↑ Rudolf Gross, Achim Marx: Festkörperphysik. 1. Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2012, ISBN 978-3-486-71294-0, S. 694.
1 2 3 Friedhelm Kuypers: Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020, ISBN 978-3-527-41380-5, S. 294.
↑ Hermann Haken, Hans Christoph Wolf: Atom- und Quantenphysik - Einführung in die experimentellen und theoretischen Grundlagen. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2000, ISBN 3-540-67453-5, S. 156.
↑ Hermann Haken, Hans Christoph Wolf: Atom- und Quantenphysik - Einführung in die experimentellen und theoretischen Grundlagen. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2000, ISBN 3-540-67453-5, S. 165.
↑ Friedhelm Kuypers: Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020, ISBN 978-3-527-41380-5, S. 270.
↑ Friedhelm Kuypers: Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020, ISBN 978-3-527-41380-5, S. 364.
↑ Friedhelm Kuypers: Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020, ISBN 978-3-527-41380-5, S. 365.
↑ Friedhelm Kuypers: Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020, ISBN 978-3-527-41380-5, S. 367.
↑ Friedhelm Kuypers: Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020, ISBN 978-3-527-41380-5, S. 369.
↑ Rainer Müller, Franziska Greinert: Quanten-Technologien für Ingenieure. 1. Auflage. de Gruyter, Berlin / Boston 2023, ISBN 978-3-11-071719-8, S. 59.
↑ Richard P. Feynman and Robert B. Leighton and Matthew Sands: Feynman Vorlesungen über Physik, Band 3: Quantenmechanik. 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2007, ISBN 978-3-486-58109-6, S. 162.
1 2 Rudolf Gross, Achim Marx: Festkörperphysik. 1. Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2012, ISBN 978-3-486-71294-0, S. 696.
↑ Pierre Meystre, Murray Sargent III: Elements of Quantum Optics. 1. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 1990, ISBN 3-540-52160-7, S. 338.
↑ Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/2 - Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen. 5. Auflage. Springer Verlag, Heidelberg 2004, ISBN 3-540-40072-9, S. 60.
↑ Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/2 - Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen. 5. Auflage. Springer Verlag, Heidelberg 2004, ISBN 3-540-40072-9, S. 61.

[1] L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 3, Quantenmechanik. 6. Auflage. Akademie Verlag, Berlin 1979, S. 24.

[2] David J. Griffiths: Quantenmechanik - Lehr- und Übungsbuch. 2. Auflage. Pearson Studium, München 2012, ISBN 978-3-86894-114-2, S. 50.

[3] Norbert Straumann: Quantenmechanik - Nichtrelativistische Quantentheorie. 1. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2001, ISBN 3-540-42888-7, S. 87.

[4] Norbert Straumann: Quantenmechanik - Nichtrelativistische Quantentheorie. 1. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2001, ISBN 3-540-42888-7, S. 88.

[5] W. Pauli, N. Straumann: Die allgemeinen Prinzipien der Wellenmechanik – Neu herausgegeben und mit historischen Anmerkungen versehen von Norbert Straumann. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1990, ISBN 978-3-540-51949-2, S. 24.

[6] J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. The Benjamin / Cummings Publishing Company, Menlo Park / Reading 1985, ISBN 0-8053-7501-5, S. 73.

[7] J. J. Sakurai: Modern Quantum Mechanics. The Benjamin / Cummings Publishing Company, Menlo Park / Reading 1985, ISBN 0-8053-7501-5, S. 72.

[8] David J. Griffiths: Quantenmechanik - Lehr- und Übungsbuch. 2. Auflage. Pearson Studium, München 2012, ISBN 978-3-86894-114-2, S. 145.

[9] David J. Griffiths: Quantenmechanik - Lehr- und Übungsbuch. 2. Auflage. Pearson Studium, München 2012, ISBN 978-3-86894-114-2, S. 164.

[10] Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. John Wiley & Sons, New York, London, Sidney, Toronto 1977, ISBN 0-471-16432-1, S. 716.

[11] Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. John Wiley & Sons, New York, London, Sidney, Toronto 1977, ISBN 0-471-16432-1, S. 11.

[12] Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. John Wiley & Sons, New York, London, Sidney, Toronto 1977, ISBN 0-471-16432-1, S. 722.

[13] Rudolf Gross, Achim Marx: Festkörperphysik. 1. Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2012, ISBN 978-3-486-71294-0, S. 695.

[14] Rudolf Gross, Achim Marx: Festkörperphysik. 1. Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2012, ISBN 978-3-486-71294-0, S. 694.

[Kuyp294-15] 1 2 3 Friedhelm Kuypers: Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020, ISBN 978-3-527-41380-5, S. 294.

[16] Hermann Haken, Hans Christoph Wolf: Atom- und Quantenphysik - Einführung in die experimentellen und theoretischen Grundlagen. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2000, ISBN 3-540-67453-5, S. 156.

[17] Hermann Haken, Hans Christoph Wolf: Atom- und Quantenphysik - Einführung in die experimentellen und theoretischen Grundlagen. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2000, ISBN 3-540-67453-5, S. 165.

[18] Friedhelm Kuypers: Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020, ISBN 978-3-527-41380-5, S. 270.

[19] Friedhelm Kuypers: Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020, ISBN 978-3-527-41380-5, S. 364.

[20] Friedhelm Kuypers: Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020, ISBN 978-3-527-41380-5, S. 365.

[21] Friedhelm Kuypers: Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020, ISBN 978-3-527-41380-5, S. 367.

[22] Friedhelm Kuypers: Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020, ISBN 978-3-527-41380-5, S. 369.

[23] Rainer Müller, Franziska Greinert: Quanten-Technologien für Ingenieure. 1. Auflage. de Gruyter, Berlin / Boston 2023, ISBN 978-3-11-071719-8, S. 59.

[24] Richard P. Feynman and Robert B. Leighton and Matthew Sands: Feynman Vorlesungen über Physik, Band 3: Quantenmechanik. 1. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2007, ISBN 978-3-486-58109-6, S. 162.

[Gross696-25] 1 2 Rudolf Gross, Achim Marx: Festkörperphysik. 1. Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2012, ISBN 978-3-486-71294-0, S. 696.

[Meystre338-26] Pierre Meystre, Murray Sargent III: Elements of Quantum Optics. 1. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 1990, ISBN 3-540-52160-7, S. 338.

[27] Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/2 - Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen. 5. Auflage. Springer Verlag, Heidelberg 2004, ISBN 3-540-40072-9, S. 60.

[28] Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/2 - Quantenmechanik - Methoden und Anwendungen. 5. Auflage. Springer Verlag, Heidelberg 2004, ISBN 3-540-40072-9, S. 61.