Mengendiagramm

Bleiverglastes Fenster mit einem Venn-Diagramm im britischen Cambridge, dem Studienort John Venns

Mengendiagramme dienen der grafischen Veranschaulichung der Mengenlehre. Es gibt unterschiedliche Arten von Mengendiagrammen, insbesondere Euler-Diagramme (nach Leonhard Euler) und Venn-Diagramme (nach John Venn).

Mengendiagramme können Mengenbeziehungen verdeutlichen und werden seit den 1990er Jahren wieder verstärkt als mathematische Beweismittel in verschiedenen Wissenschaften verwendet. Als Beweismittel eignen sich vor allem solche Mengendiagramme, die alle möglichen Relationen der vertretenen Mengen darstellen; solche Diagramme werden Venn-Diagramme genannt. Der Nachteil von Venn-Diagrammen liegt darin, dass sie bei mehr als drei beteiligten Mengen rasch unübersichtlich werden, weil sie bei n Objekten 2n Möglichkeiten darstellen müssen. Venn selbst konnte unter der Verwendung von Ellipsen bis zu vier, schließlich sogar fünf beteiligte Mengen darstellen. Heutzutage sind Diagrammtechniken bekannt, die diesen Beschränkungen nicht mehr unterliegen. Darüber hinaus besitzen viele dieser Diagrammtypen kognitive Vorteile, da sie beispielsweise versteckte Informationen sichtbar machen können.

Beispiele

Euler-Diagramme

Euler-Diagramme werden in erster Linie dazu eingesetzt, mengentheoretische Beziehungen und Sachverhalte, zum Beispiel die Teilmengeneigenschaft, anschaulich zu machen, wobei die folgenden Veranschaulichungen üblich sind:

Weitere Beispiele für Euler-Diagramme sind:

Venn-Diagramme

Anders als Euler-Diagramme beziehen Venn-Diagramme alle möglichen Relationen zwischen den betrachteten Mengen, also auch solche, die leer sind, mit in die Darstellung ein, so dass man an ihnen sowohl Zusammenhänge als auch das Fehlen von Zusammenhängen ablesen, aus dem Vorliegen oder Nicht-Vorliegen einzelner Relationen auf das Vorliegen oder Nicht-Vorliegen anderer Relationen schließen kann:

Erweiterung auf mehrere Mengen

Venn-Diagramme sind vor allem in der Darstellung für drei Mengen mit Kreisen bekannt. Venn hatte jedoch den Ehrgeiz, „in sich elegante symmetrische Figuren“ zu finden, die eine größere Anzahl an Mengen darstellen, und zeigte ein Diagramm für vier Mengen in Ellipsenform. Er gab dann ein Konstruktionsverfahren an, mit dem man Venn-Diagramme für eine „beliebige“ Anzahl von Mengen darstellen kann, wobei jede geschlossene Kurve mit den anderen verflochten ist, ausgehend vom Diagramm mit drei Kreisen. Dabei wird ein „Schlauch“ über die jeweils letzte Mengendarstellung gezogen. Damit werden alle anderen Mengen geschnitten.

Unterschiede zwischen Venn- und Eulerdiagrammen

Der Unterschied beider Mengendiagrammarten wird insbesondere dann deutlich, wenn man sich beide Diagramme für ein konkretes Beispiel anschaut. Man nehme hierzu die folgenden drei Mengen.

Das Euler- und das Venn-Diagramm dieser drei Mengen sieht folgendermaßen aus.

Während in Euler-Diagrammen nur die tatsächlichen Überschneidungen zwischen den Mengen zu sehen sind, werden in Venn-Diagrammen alle möglichen Überlappungen der Flächen dargestellt (auch wenn diese keine Objekte enthalten).

Johnston-Diagramme

Johnston-Diagramme sind eine zweiwertige aussagenlogische Interpretation von Mengendiagrammen, speziell Venn-Diagrammen. In einem Johnston-Diagramm wird ein Kreis (eine Menge) P als Menge der Sachverhalte interpretiert, unter denen eine Aussage P wahr ist. Der Bereich außerhalb des Kreises (das Komplement der Menge) P wird als Menge der Sachverhalte interpretiert, unter denen die Aussage falsch ist. Um zu sagen, dass eine Aussage wahr ist, malt man den ganzen Bereich außerhalb ihres Kreises schwarz an; man zeigt so an, dass die Sachverhalte, unter denen die Aussage nicht wahr ist, nicht zutreffen können. Um umgekehrt zu sagen, dass eine Aussage falsch ist, malt man den Bereich innerhalb ihres Kreises schwarz aus; man sagt so, dass die Sachverhalte, unter denen die Aussage wahr ist, nicht zutreffen können. Kombiniert man zwei Aussagen P, Q durch eine Konjunktion, d. h. will man ausdrücken, dass beide Aussagen wahr sind, malt man die gesamte Fläche, die außerhalb der Schnittfläche der Kreise P, Q liegt, schwarz an; man sagt so, dass keiner der Sachverhalte, unter denen nicht sowohl P als auch Q zutreffen, vorliegen kann.

Johnston-Diagramme sind somit eine Abbildung der klassischen Aussagenlogik auf die elementare Mengenlehre, wobei die Negation als Komplementbildung, die Konjunktion als Schnitt und die Disjunktion als Vereinigung dargestellt werden. Die Wahrheitswerte wahr und falsch werden auf die Allmenge beziehungsweise auf die leere Menge abgebildet.

Geschichte

Streng genommen existieren Mengendiagramme erst seit der Einführung des modernen Mengenbegriffs. Die hier klassifizierten Euler- und Venn-Diagramme werden jedoch heute überwiegend als Visualisierung von Mengen interpretiert. Diese Diagrammtypen gehen auf viel ältere Diagramme zurück. Einschlägig sind beispielsweise die Diagramme von Leibniz und seinem Lehrer Erhard Weigel. Auch Christian Weise, Rektor des Gymnasiums in Zittau, soll Ende des 17. Jahrhunderts derartige Diagramme zur Darstellung logischer Verknüpfungen verwendet haben. Das berichtet beispielsweise sein Schüler Johann Christian Lange in dem 1712 veröffentlichten Buch Nucleus Logicae Weisianae, das zahlreiche Diagramme enthält. Leonhard Euler, Schweizer Mathematiker im 18. Jahrhundert, griff diese Diagramme wieder auf. Durch Immanuel Kant wurden sie im 19. Jahrhundert unter dem Namen 'Euler Diagramme' bekannt und zu einer der weitverbreitetsten Darstellungsformen der Logik.

John Venn, britischer Mathematiker im 19. Jahrhundert, führte 1881 das später sogenannte 'Venn-Diagramm' ein. Diagrammatische Übergangsformen zwischen Euler- und Venn-artigen Diagrammen im 19. Jahrhundert zeigen sowohl die Ähnlichkeiten als auch Unterschiede der beiden Diagrammtypen auf. Etwa zur gleichen Zeit wie Venn entwickelte Charles Sanders Peirce sogenannte Existentielle Graphen, die heutzutage besonders aufgrund der Regeln für Diagrammtransformationen bekannt sind.

Anwendungsbeispiel Syllogistik

Die folgenden Grafiken zeigen, wie Venn-Diagramme seit dem 17. Jahrhundert zur Veranschaulichung von Syllogismen genutzt werden. Die Gültigkeit eines Schlusses kann mit dieser Methode überprüft werden. So sieht man etwa, dass der Modus Darapti (s. u.) nur unter der Voraussetzung eines nichtleeren Mittelbegriffs gültig ist.

In schwarzen Bereichen existiert dabei kein Element (Allaussage), in roten Bereichen zumindest ein Element x (Existenzaussage):

Beweis des Modus Barbara mittels Venn-Diagrammen:
 
Es gibt keine M außerhalb von P,
es gibt keine S außerhalb von M;
also gibt es keine S außerhalb von P.
   
Beweis des Modus Darapti mittels Venn-Diagrammen:
 
Es gibt keine M außerhalb von P und außerhalb von S,
und es gibt einige M;
also gibt es einige S in P.

Solche Venn-Diagramme lassen sich einfach in Euler-Diagramme umformen, wie die folgende Grafik zeigt. Venn-Diagramme haben den Vorteil, dass man keine Überschneidung vergessen kann, so dass sie auch für Beweise geeignet sind. Dagegen lässt sich bei Euler-Diagrammen intuitiver erfassen, welche Mengen ineinander liegen oder sich überschneiden.

Venn-Diagramme und Euler-Diagramme
Commons: Mengendiagramme – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Mengendiagramme: Euler- und Venn-Diagramm – Lern- und Lehrmaterialien
Wiktionary: Mengendiagramm – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Literatur

Einzelnachweise

  1. ↑ Sun-Joo Shin: The Logical Status of Diagrams. Cambridge University Press, Cambridge 1995, ISBN 0-521-46157-X, doi:10.1017/CBO9780511574696 (cambridge.org [abgerufen am 15. September 2026]).
  2. ↑ Zohreh Shams, Yuri Sato, Mateja Jamnik, Gem Stapleton: Accessible Reasoning with Diagrams: From Cognition to Automation. In: Diagrammatic Representation and Inference. Springer International Publishing, Cham 2018, ISBN 978-3-319-91376-6, S. 247–263, doi:10.1007/978-3-319-91376-6_25 (springer.com [abgerufen am 15. September 2026]).
  3. ↑ Ryo Takemura: Proof Theory for Reasoning with Euler Diagrams: A Logic Translation and Normalization. In: Studia Logica. Band 101, Nr. 1, 1. Februar 2013, ISSN 1572-8730, S. 157–191, doi:10.1007/s11225-012-9370-6.
  4. ↑ A. W. F. (Anthony William Fairbank) Edwards: Cogwheels of the mind : the story of Venn diagrams. Baltimore : Johns Hopkins University Press, 2004, ISBN 0-8018-7434-3 (archive.org [abgerufen am 15. September 2026]).
  5. ↑ Gem Stapleton, Atsushi Shimojima, Mateja Jamnik: The Observational Advantages of Euler Diagrams with Existential Import. In: Diagrammatic Representation and Inference. Springer International Publishing, Cham 2018, ISBN 978-3-319-91376-6, S. 313–329, doi:10.1007/978-3-319-91376-6_29 (springer.com [abgerufen am 15. September 2026]).
  6. 1 2 Peter Bernhard: Euler-Diagramme. Zur Morphologie einer Repräsentationsform in der Logik. 1. Auflage. mentis Verlag, Paderborn 2001, ISBN 3-89785-142-3.
  7. ↑ John Howse, Peter Rodgers, Gem Stapleton: Drawing Euler Diagrams for Information Visualization. In: Diagrammatic Representation and Inference. Springer, Berlin, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-14600-8, S. 4–4, doi:10.1007/978-3-642-14600-8_4 (springer.com [abgerufen am 15. September 2026]).
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  9. 1 2 Jens Lemanski: Logic Diagrams in the Weigel and Weise Circles. In: History and Philosophy of Logic. Band 39, Nr. 1. Taylor & Francis, 2. Januar 2018, ISSN 0144-5340, S. 3–28, doi:10.1080/01445340.2017.1341074.
  10. ↑ Jens Lemanski: Kant’s Crucial Contribution to Euler Diagrams. In: Journal for General Philosophy of Science. Band 55, Nr. 1, 1. März 2024, ISSN 1572-8587, S. 59–78, doi:10.1007/s10838-023-09653-6.
  11. ↑ Amirouche Moktefi, Jens Lemanski: On the Origin of Venn Diagrams. In: Axiomathes. Band 32, Nr. 3, 1. Dezember 2022, ISSN 1572-8390, S. 887–900, doi:10.1007/s10516-022-09642-2.
  12. ↑ Reetu Bhattacharjee, Amirouche Moktefi: Alternative Dotted Circle Diagrams. In: Diagrammatic Representation and Inference. Springer Nature Switzerland, Cham 2026, ISBN 978-3-032-34178-5, S. 106–110, doi:10.1007/978-3-032-34178-5_13.
  13. ↑ Ahti-Veikko Pietarinen: Introduction to the Theory of Existential Graphs and Volume 1. In: History and Applications. De Gruyter, 2019, ISBN 978-3-11-065140-9, S. 14–36, doi:10.1515/9783110651409-002 (degruyterbrill.com [abgerufen am 15. September 2026]).
  14. ↑ Francesco Bellucci, Ahti-Veikko Pietarinen: EXISTENTIAL GRAPHS AS AN INSTRUMENT OF LOGICAL ANALYSIS: PART I. ALPHA. In: The Review of Symbolic Logic. Band 9, Nr. 2, Juni 2016, ISSN 1755-0203, S. 209–237, doi:10.1017/S1755020315000362 (cambridge.org [abgerufen am 15. September 2026]).
  15. ↑ Reetu Bhattacharjee, Amirouche Moktefi: Revisiting Peirce’s Rules of Transformation for Euler-Venn Diagrams. In: Diagrammatic Representation and Inference. Springer International Publishing, Cham 2021, ISBN 978-3-030-86062-2, S. 166–182, doi:10.1007/978-3-030-86062-2_14 (springer.com [abgerufen am 15. September 2026]).