Frattinigruppe

In der Gruppentheorie ist die Frattinigruppe (oder genauer Frattiniuntergruppe) eine spezielle Untergruppe einer gegebenen Gruppe. Mit ihrer Hilfe kann insbesondere die Struktur endlicher p-Gruppen untersucht werden. Sie ist benannt nach dem italienischen Mathematiker Giovanni Frattini, der sie in einem 1885 erschienenen Artikel definiert hat.

Definition

Ist $G$ eine Gruppe, dann ist die Frattinigruppe $Φ (G)$ definiert als der Schnitt aller maximalen Untergruppen von $G$ .

Dabei heißt eine Untergruppe $M$ von $G$ maximal, wenn $M \neq G$ gilt und es keine echt größere Untergruppe $H$ mit $M ⊊ H ⊊ G$ gibt.

Falls $G$ keine maximalen Untergruppen hat, etwa im Fall der trivialen Gruppe $G = {e}$ oder mancher unendlicher Gruppen wie der Prüfergruppe, setzt man $Φ (G) := G$ .

Eigenschaften

Die Frattinigruppe ist eine charakteristische Untergruppe, also insbesondere ein Normalteiler.
Ist $G$ endlich, dann ist $Φ (G)$ nilpotent. Ist $G / Φ (G)$ ebenfalls nilpotent, dann ist auch $G$ nilpotent.
Gilt $G = H Φ (G)$ mit einer Untergruppe $H$ von $G$ , dann ist $G = H$ .
Die Frattinigruppe besteht genau aus den Nichterzeugern von $G$ , d. h., es gilt $x \in Φ (G)$ genau dann, wenn für jede Teilmenge $E \subseteq G$ aus $G = ⟨ E, x ⟩$ stets $G = ⟨ E ⟩$ folgt. Mit anderen Worten: Die Elemente der Frattinigruppe sind in jedem Erzeugendensystem von $G$ überflüssig.

Literatur

Bertram Huppert: Endliche Gruppen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Bd. 134). Band 1. Nachdruck. Springer, Berlin u. a. 1979, ISBN 3-540-03825-6, Kapitel III.

Einzelnachweise

↑ Giovanni Frattini: Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni. In: Atti della Reale Accademia dei Lincei. Rendiconti. Serie 4, Bd. 1, Fasc. 9, 1884/1885 (1885), ISSN 0001-4435, S. 281–285; Nota II. In: Serie 4, Bd. 1, Fasc. 14, 1885, S. 455–457.
↑ Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen. Eine Einführung. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-60331-X, S. 98.
↑ Marshall Hall: The Theory of Groups. The Macmillan Company, New York NY 1959, S. 157.

[1] Giovanni Frattini: Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni. In: Atti della Reale Accademia dei Lincei. Rendiconti. Serie 4, Bd. 1, Fasc. 9, 1884/1885 (1885), ISSN 0001-4435, S. 281–285; Nota II. In: Serie 4, Bd. 1, Fasc. 14, 1885, S. 455–457.

[2] Hans Kurzweil, Bernd Stellmacher: Theorie der endlichen Gruppen. Eine Einführung. Springer, Berlin u. a. 1998, ISBN 3-540-60331-X, S. 98.

[3] Marshall Hall: The Theory of Groups. The Macmillan Company, New York NY 1959, S. 157.