Jacobson-Radikal

In der Ringtheorie, einem Zweig der Algebra, bezeichnet das Jacobson-Radikal eines Rings $R$ ein Ideal von $R$ , das Elemente von $R$ enthält, die man als „nahe an Null“ betrachten kann. Das Jacobson-Radikal ist nach Nathan Jacobson benannt, der es als erster untersucht hat.

Jacobson-Radikal von R-Moduln

Im Folgenden sei $R$ ein Ring mit Eins und $M$ ein R-Linksmodul.

Definition

Der Durchschnitt aller maximalen $R$ -Untermoduln von $M$ wird als (Jacobson-)Radikal ${R a d}_{R} (M)$ (oder kurz $R a d (M)$ ) bezeichnet.

Ist $M$ endlich erzeugt, so gilt: $R a d (M) = {x \in M | x i s t \ddot{u} b e r f l \ddot{u} s s i g i n M}$ . Dabei heißt ein Element $x$ von $M$ überflüssig, wenn für jeden Untermodul $N \subset M$ gilt: Aus $M = N + R x$ folgt bereits $M = N$ .

Eigenschaften

Ist $M$ endlich erzeugt und $N \subset M$ ein Untermodul von $M$ mit $M = N + R a d (M)$ , dann ist bereits $M = N$ . Diese Eigenschaft wird auch als Lemma von Nakayama bezeichnet.
Ist $M$ endlich erzeugt und $M ≠ 0$ , dann ist $R a d (M) ≠ M$ . (Dies ist der Spezialfall $N = 0$ der vorigen Aussage.)
$R a d (M) = 0$ gilt genau dann, wenn $M$ isomorph zu einem Untermodul eines direkten Produktes einfacher $R$ -Moduln ist.
$M$ ist genau dann endlich erzeugt und halbeinfach, wenn $M$ artinsch und $R a d (M) = 0$ ist.

Jacobson-Radikal von Ringen

Im Folgenden sei $R$ ein Ring mit Eins.

Definition

Das Jacobson-Radikal des Ringes $R$ wird als das Jacobson-Radikal des $R$ -Linksmoduls $R$ definiert. Es wird als $J (R)$ notiert und durch folgende gleichwertige Bedingungen charakterisiert:

als Durchschnitt aller maximalen Linksideale / Rechtsideale
als Durchschnitt aller Annullatoren einfacher Links- $R$ -Moduln / Rechts- $R$ -Moduln
${x \in R ∣ \forall y \in R : 1 - x y \in R^{\times}}$
${x \in R ∣ \forall y, z \in R : 1 - z x y \in R^{\times}}$
${x \in R ∣ \forall z \in R : 1 - z x i s t l i n k s i n v e r t i e r b a r}$

Eigenschaften

Der Ring $R$ ist genau dann halbeinfach, wenn er linksartinsch und $J (R) = 0$ ist.
Für jeden linksartinschen Ring $R$ ist der Ring $R / J (R)$ halbeinfach.
Ist $R$ linksartinsch, dann gilt für jeden $R$ -Linksmodul $M$ : $J (R) M = R a d (M)$ .
$J (R)$ ist das kleinste Ideal $I$ von $R$ mit der Eigenschaft, dass $R / I$ halbeinfach ist.
Ist $N$ ein Nillinksideal von $R$ , dann gilt: $N \subseteq J (R)$ .
Ist $R$ linksartinsch, dann ist $J (R)$ ein nilpotentes Ideal.
Ist $R$ linksartinsch, dann ist das Jacobson-Radikal gleich dem Primradikal.
Mit dem Zornschen Lemma folgt für jeden Ring $R \neq {0}$ die Existenz maximaler Ideale, für $R \neq {0}$ gilt also $J (R) \neq R$ .

Beispiele

Das Jacobson-Radikal eines Schiefkörpers ist ${0}$ ; ebenso das Jacobson-Radikal von $ℤ$ .
Das Jacobson-Radikal von $ℤ / 24 ℤ$ ist $6 ℤ / 24 ℤ$ .
Das Jacobson-Radikal des Rings aller oberen $n \times n$ -Dreiecksmatrizen über einem Körper $K$ enthält diejenigen oberen Dreiecksmatrizen, deren Diagonaleinträge verschwinden.
Das Jacobson-Radikal jedes lokalen Rings ist sein maximales Ideal, besteht also gerade aus seinen Nicht-Einheiten.
Das Jacobson-Radikal einer kommutativen Banachalgebra ist genau der Kern der Gelfand-Transformation.

Literatur

K. A. Zhevlakov: Jacobson radical. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).