Legendre-Transformation

In einer Variablen

Sei ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ eine streng konvexe Funktion einer reellen Variablen, definiert auf ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }$. Die Legendre-Transformierte ${\displaystyle f^{*}\colon D^{*}\to \mathbb {R} }$ ist dann definiert als

${\displaystyle f^{*}(u)=\sup _{x\in D}(ux-f(x)),\quad {\text{mit}}\,\,u\in D^{*},\,D^{*}:=\left\{u\in \mathbb {R}$ :\sup _{x\in D}(ux-f(x))<\infty \right\}.}

Dabei ist mit ${\displaystyle \sup }$ das Supremum gemeint.

Ist ${\displaystyle f}$ zudem differenzierbar, mit invertierbarer erster Ableitung, dann lässt sich das Supremum mit Mitteln der elementaren Analysis auswerten. Da die Funktion ${\displaystyle f}$ streng konvex ist, besitzt sie ein eindeutiges (lokales und globales) Minimum. Entsprechend ist die Funktion ${\displaystyle x\mapsto ux-f(x)}$ streng konkav und nimmt deswegen an der (eindeutigen) Stelle, an der die Ableitung gleich null ist, ein absolutes Maximum an. Daraus folgt, dass an der Stelle ${\displaystyle x(u)=(f')^{-1}(u)}$ das Supremum in ${\displaystyle f^{*}}$ angenommen wird, wobei ${\displaystyle (f')^{-1}}$ hier die Umkehrfunktion der Ableitung von ${\displaystyle f}$ beschreibt. Somit gilt:

${\displaystyle f^{*}(u)=u\cdot x(u)-f{\bigl (}x(u){\bigr )}=u\cdot (f')^{-1}(u)-f{\bigl (}(f')^{-1}(u){\bigr )};}$

die Legendre-Transformierte kann also vollständig mithilfe von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle (f')^{-1}}$ beschrieben werden.

In mehreren Variablen

Ähnlich wie in einer Dimension kann die Legendre-Transformation auch in höheren Dimensionen definiert werden. Sei ${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{n}}$ konvex und ${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {R} }$ eine streng konvexe Funktion. Dann ist die Legendre-Transformierte ${\displaystyle f^{*}\colon D^{*}\to \mathbb {R} }$ mit Definitionsmenge ${\displaystyle D^{*}:=\left\{u\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{x\in X}(\langle u,x\rangle -f(x))<\infty \right\}}$ und Standardskalarprodukt ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ definiert als

${\displaystyle f^{*}(u)=\sup _{x\in X}(\langle u,x\rangle -f(x)),\quad u\in D^{*}}$

Univariate Funktionen

• Gegeben sei die Funktion ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$. Dann gilt ${\displaystyle u=f'(x)=2x}$, also

${\displaystyle x(u)=(f')^{-1}(u)={\frac {u}{2}}}$.

Als Legendre-Transformierte ${\displaystyle f^{*}}$ von ${\displaystyle f}$ ergibt sich damit

${\displaystyle f^{*}(u)=ux(u)-f(x(u))={\frac {u^{2}}{2}}-\left({\frac {u^{2}}{4}}+1\right)={\frac {u^{2}}{4}}-1}$.

• Für die Exponentialfunktion ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ gilt ${\displaystyle u=f'(x)=e^{x}}$, also

${\displaystyle x(u)=(f')^{-1}(u)=\ln(u)}$.

Als Legendre-Transformierte ${\displaystyle f^{*}}$ von ${\displaystyle f}$ ergibt sich damit

${\displaystyle f^{*}(u)=ux(u)-f(x(u))=u\ln(u)-u}$

für ${\displaystyle u>0}$.

• Gegeben sei eine symmetrische und positiv definite Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$. Dann ist die durch ${\displaystyle A}$ definierte quadratische Form ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle f(x)=\langle x,Ax\rangle }$ eine konvexe Funktion. Die durch ${\displaystyle g(x)=\langle u,x\rangle -f(x)}$ mit ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}}$ definierte Funktion hat den Gradienten ${\displaystyle u-2Ax}$ und die negativ definite Hesse-Matrix ${\displaystyle -2A}$. Die Funktion ${\displaystyle g}$ nimmt daher an der Stelle ${\displaystyle x={\tfrac {1}{2}}A^{-1}u}$ ihr eindeutig bestimmtes globales Maximum an, d. h. für die Legendre-Transformierte ${\displaystyle f^{*}}$ von ${\displaystyle f}$ gilt

${\displaystyle f^{*}(u)=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}(\langle u,x\rangle -f(x))=g\left({\tfrac {1}{2}}A^{-1}u\right)={\tfrac {1}{4}}\langle u,A^{-1}u\rangle }$.

Bivariate Funktion

Die Änderung der Abhängigkeit einer Funktion ${\displaystyle f(x,y)}$ von einer unabhängigen Variablen ${\displaystyle x}$ zu einer anderen ${\displaystyle u}$ mittels einer partiellen Ableitung von ${\displaystyle f}$ nach ${\displaystyle x}$ ist ${\textstyle u={\frac {\partial f}{\partial x}}}$. Hierbei stellt ${\displaystyle u(x,y)}$ geometrisch die Steigung in x-Richtung der Tangentenebene an die Funktion ${\displaystyle f(x,y)}$ dar. Daher spricht man von Berührungstransformation. Die Funktion ${\displaystyle F(u,y)}$ wird als Legendre-Transformierte bezüglich der Variablen ${\displaystyle x}$ bezeichnet. Die Legendre-Transformierte lässt sich wie folgt herleiten. Der Wert von ${\displaystyle f(x,y)}$ kann alternativ als

${\displaystyle f(x,y)\approx f(x_{0},y)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\Delta x,\;\Delta x=x-x_{0}}$

geschrieben werden. Definiert man nun ${\displaystyle f(x_{0},y)\equiv F(u,y)}$, erhält man für die Legendre-Transformierte

${\displaystyle F(u,y)=f(x,y)-{\frac {\partial f}{\partial x}}\Delta x}$.

Meistens wird ${\displaystyle x_{0}=0}$ gewählt, und somit folgt

${\displaystyle F(u,y)=f(x,y)-{\frac {\partial f}{\partial x}}x}$.

Für letztere Definition ist die Legendre-Transformierte die ${\displaystyle y}$-Komponente des Schnittpunkts der Tangentenebene an ${\displaystyle f(x,y)}$ mit der Ebene ${\displaystyle x=0}$. Für Funktionen in der Ebene spricht man vom Achsenabschnitt (siehe auch Geradengleichung). Praktisch erfolgt also der Austausch der unabhängigen Variablen durch Subtraktion des Produkts aus alter und neuer Variable ${\displaystyle ux}$ von der Ausgangsfunktion:

${\displaystyle F(u,y)=f(x,y)-ux}$.

Dies wird auch bei Betrachtung des totalen Differentials der Legendre-Transformierten deutlich:

${\displaystyle \mathrm {d} (f(x,y)-ux)=\mathrm {d} f(x,y)-x\,\mathrm {d} u-u\,\mathrm {d} x={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y-x\mathrm {d} u-u\mathrm {d} x={\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y-x\,\mathrm {d} u=\mathrm {d} F(u,y)}$.

Legendre-Fenchel-Transformation

Die Legendre-Fenchel-Transformation (auch Konvex-Konjugierte genannt), ist die Verallgemeinerung der Legendre-Transformation für allgemeine Funktionen. Sei ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ eine Funktion, dann ist die Legendre-Fenchel-Transformation ${\displaystyle \Lambda _{f}^{*}:X^{*}\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$, also eine Funktion auf dem topologischen Dualraum ${\displaystyle X^{*}}$, gegeben durch

${\displaystyle \Lambda _{f}^{*}\left(x^{*}\right)=\sup _{x\in X}\left\{\left\langle x,x^{*}\right\rangle -f(x)\right\}}$

wobei es sich bei ${\displaystyle \langle .,.\rangle }$ um die duale Paarung handelt.

Die Legendre-Fenchel-Transformation ist konvex und unterhalbstetig. Sie ist von essentieller Bedeutung in der Rockafellar-Identität und steht in direktem Bezug zur ${\displaystyle \Gamma }$-Regularisierung von ${\displaystyle f}$. Die Legendre-Fenchel-Transformation lässt sich salopp formuliert wiederholt anwenden, wodurch die bikonjugierte Funktion von ${\displaystyle f}$ herleiten, welche essentieller Bestand des Bikonjugationssatzes ist.

Anwendungen in der Physik

In der analytischen Mechanik gewinnt man durch Legendre-Transformation aus der Lagrange-Funktion die Hamilton-Funktion und umgekehrt:

${\displaystyle H(q,p)=p\,{\dot {q}}(q,p)-L(q,{\dot {q}}(q,p))\quad {\text{mit}}\quad p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}$

In der Thermodynamik kann man durch Legendre-Transformation aus der Fundamentalgleichung der Thermodynamik die thermodynamischen Potentiale ableiten. Dabei findet beispielsweise ein Übergang von der inneren Energie ${\displaystyle U}$ (abhängig von der Entropie ${\displaystyle S}$) zur Helmholtz-Energie ${\displaystyle F}$ (abhängig von der Temperatur ${\displaystyle T}$) statt. Im Fall eines idealen Gases gilt also:

${\displaystyle F(T,V,N)=U(S,V,N)-\left({\frac {\partial U}{\partial S}}\right)_{V,N}\cdot S=U-TS}$.

Die hier verwendete Ableitungsnotation bedeutet Ableitung der Funktion ${\displaystyle U(S,V,N)}$ nach ${\displaystyle S}$, wobei ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle N}$ konstant gehalten werden.

Analog dazu ist auch ein Übergang von einem thermodynamischen Potential zu einem anderen möglich, beispielsweise von der Enthalpie ${\displaystyle H}$ zur Gibbs-Energie ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle G(T,p,N)=H(S,p,N)-\left({\frac {\partial H}{\partial S}}\right)_{p,N}\cdot S=(U+pV)-TS}$.

Auf die gleiche Weise erhält man auch die anderen thermodynamischen Potentiale, wobei durch eine Legendre-Transformation immer eine generalisierte Koordinate durch die konjugierte thermodynamische Kraft ersetzt wird.