Lokale Starrheit

In der Mathematik beschreibt das Konzept Lokale Starrheit die Nicht-Deformierbarkeit von Darstellungen von Gruppen.

Ein stärkerer Starrheitsbegriff ist die (globale) Mostow-Starrheit.

Definition

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine Matrixgruppe, zum Beispiel ${\displaystyle G=GL(n,\mathbb {R} )}$ oder ${\displaystyle G=GL(n,\mathbb {C} )}$, ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ ein Gitter und ${\displaystyle \rho _{0}\colon \Gamma \to G}$ die Inklusion.

Das Gitter ${\displaystyle \Gamma \subset G}$ heißt lokal starr, wenn es eine Umgebung von ${\displaystyle \rho _{0}}$ in der Darstellungsvarietät ${\displaystyle Hom(\Gamma ,G)}$ gibt, so dass alle Darstellungen in dieser Umgebung zu ${\displaystyle \rho }$ äquivalent (d. h. vermittels eines Elementes aus ${\displaystyle G}$ konjugiert) sind.

Mit einem fest gewählten endlichen Erzeugendensystem ${\displaystyle \Sigma }$ von ${\displaystyle \Gamma }$ kann man lokale Starrheit wie folgt beschreiben: es gibt eine Umgebung ${\displaystyle U}$ des neutralen Elements in ${\displaystyle G}$, so dass für jeden Homomorphismus ${\displaystyle \rho \colon \Gamma \to G}$ mit

${\displaystyle \rho (\sigma )\in \sigma .U\ \ \forall \sigma \in \Sigma }$

gilt: es gibt ein ${\displaystyle g\in G}$ mit

${\displaystyle \rho (\gamma )=g\gamma g^{-1}\ \ \forall \gamma \in \Gamma }$.

Kriterien

Eine hinreichende Bedingung für lokale Starrheit einer Darstellung ${\displaystyle \rho \colon \Gamma \to G}$ ist das Verschwinden der Kohomologiegruppe ${\displaystyle H^{1}(\Gamma ,Ad\circ \rho )}$, wobei ${\displaystyle Ad}$ die adjungierte Darstellung von ${\displaystyle G}$ bezeichnet.

Aus Weil-Starrheit folgt: eine halbeinfache Darstellung ist genau dann lokal starr, wenn ${\displaystyle H^{1}(\Gamma ,Ad\circ \rho )=0}$ ist.

Beispiele

Lokale Starrheit wurde bewiesen:

• für kokompakte Gitter in ${\displaystyle SL(n,\mathbb {R} ),n\geq 3}$ von Selberg
• für kokompakte Gitter in ${\displaystyle PO(n,1)=Isom(H^{n}),n\geq 3}$ von Calabi
• für kokompakte irreduzible Gitter in einer Lie-Gruppe nicht lokal isometrisch zu ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ von Weil
• für nicht-kokompakte Gitter in Lie-Gruppen vom ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Rang 1 nicht lokal isometrisch zu ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ oder ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$ von Garland und Raghunathan
• für nicht-kokompakte irreduzible Gitter in halbeinfachen Lie-Gruppen vom ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Rang ${\displaystyle \geq 2}$ als Konsequenz des Superstarrheitssatzes von Margulis.

Gegenbeispiele

Hyperbolische Dehn-Chirurgie: Wenn ${\displaystyle M}$ eine nicht-kompakte hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens ist, dann erhält man durch Dehn-Chirurgie unendlich viele geschlossene hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M_{p,q}}$. Seien ${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}M\to PSL(2,\mathbb {C} )}$ und ${\displaystyle \rho _{p,q}\colon \pi _{1}M_{p,q}\to PSL(2,\mathbb {C} )}$ die durch die hyperbolischen Strukturen gegebenen Darstellungen.

Die Darstellungen ${\displaystyle \rho _{p,q}}$ können mit dem durch die Inklusion ${\displaystyle M\to M_{p,q}}$ induzierten Homomorphismus ${\displaystyle \pi _{1}M\to \pi _{1}M_{p,q}}$ verknüpft werden. Die so erhaltene Folge von Darstellungen ${\displaystyle \pi _{1}M\to PSL(2,\mathbb {C} )}$ konvergiert für ${\displaystyle p,q\to \infty }$ gegen ${\displaystyle \rho }$, ist aber nicht zu ${\displaystyle \rho }$ äquivalent. Die Darstellung ${\displaystyle \rho }$ ist also nicht lokal starr.

Literatur

• Joan Porti: Local and infinitesimal rigidity of representations of hyperbolic three manifolds. RIMS Kôkyûroku, Kyoto University Vol 1836 (2013), 154–177, online (PDF; 293 kB)

Einzelnachweise

1. ↑ Atle Selberg: On discontinuous groups in higher-dimensional symmetric spaces. 1960 Contributions to function theory (internat. Colloq. Function Theory, Bombay, 1960) pp. 147–164 Tata Institute of Fundamental Research, Bombay
2. ↑ Eugenio Calabi: On compact, Riemannian manifolds with constant curvature. I. 1961 Proc. Sympos. Pure Math., Vol. III pp. 155–180 American Mathematical Society, Providence, R.I.
3. ↑ André Weil: On discrete subgroups of Lie groups. II. Ann. of Math. (2) 75 1962 578–602.
4. ↑ H. Garland, M. S. Raghunathan: Fundamental domains for lattices in (R-)rank 1 semisimple Lie groups. Ann. of Math. (2) 92 1970 279–326.
5. ↑ G. A. Margulis: Arithmeticity of the irreducible lattices in the semisimple groups of rank greater than 1. Invent. Math. 76 (1984), no. 1, 93–120.