Metabelsche Gruppe

Im mathematischen Gebiet der Gruppentheorie sind metabelsche Gruppen eine Klasse von Gruppen, die sich in gewisser Weise als Produkt zweier abelscher Gruppen zerlegen lassen.

Definition

Eine Gruppe $G$ ist metabelsch, wenn alle Kommutatoren miteinander kommutieren, also wenn für alle $x, y, z, w \in G$ die Gleichung

(x y x^{- 1} y^{- 1}) (z w z^{- 1} w^{- 1}) = (z w z^{- 1} w^{- 1}) (x y x^{- 1} y^{- 1})

gilt. Mit anderen Worten, die Kommutatoruntergruppe $[G, G]$ soll eine abelsche Gruppe sein.

Eine äquivalente Bedingung ist, dass es abelsche Gruppen $A, B$ und eine exakte Sequenz

0 \to A \to G \to B \to 0

gibt. In der englischsprachigen Literatur werden metabelsche Gruppen deshalb auch als abelian-by-abelian groups bezeichnet.

Beispiele

Die Gruppe der 2-dimensionalen regulären oberen Dreiecksmatrizen $(\begin{matrix} * & * \\ 0 & * \end{matrix})$ ist metabelsch. Die Kommutatoruntergruppe ist in diesem Fall die abelsche Gruppe von Dreiecksmatrizen der Form $(\begin{matrix} 1 & * \\ 0 & 1 \end{matrix})$ , die Quotientengruppe $G / [G, G]$ ist isomorph zur Gruppe der regulären Diagonalmatrizen.
Die Gruppe der affinen Abbildungen $x \mapsto a x + b$ , $a \neq 0$ eines beliebigen Körpers ist metabelsch. Ihre Kommutatorgruppe ist die abelsche Gruppe der Translationen $x \mapsto x + b$ , die Quotientengruppe $G / [G, G]$ ist isomorph zur Gruppe der Homothetien $x \mapsto a x$ .
Die Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien der euklidischen Ebene ist metabelsch, ihre Kommutatorgruppe ist die abelsche Gruppe der Verschiebungen, die Quotientengruppe $G / [G, G]$ ist isomorph zur Drehgruppe $S O (2)$ .
Abelsche Gruppen sind metabelsch.
Eine nichtabelsche auflösbare Gruppe ist genau dann metabelsch, wenn sie eine Subnormalreihe der Länge $2$ hat.
Die symmetrische Gruppe $S_{n}$ ist genau dann metabelsch, wenn $n \leq 3$ ist.
Jede Diedergruppe $D_{n}$ und die unendliche Diedergruppe $D_{\infty}$ sind metabelsch.
Der Holomorph einer zyklischen Gruppe ist metabelsch.
Die Lamplighter-Gruppe ist metabelsch.
Untergruppen, Quotientengruppen und direkte Produkte metabelscher Gruppen sind wieder metabelsch.

Literatur

Specht, Wilhelm: Gruppentheorie. Springer-Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1956. vii+457 pp.
Meier-Wunderli, H.: Metabelsche Gruppen. Comment. Math. Helv. 25, (1951). 1–10, doi:10.1007/BF02566442.
Kaniuth, Eberhard; Thoma, Elmar: Charaktere metabelscher Gruppen. Arch. Math. (Basel) 20 1969 4–9, doi:10.1007/BF01898984.
Bertram Huppert: Endliche Gruppen I (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Nr. 134). Nachdruck der ersten Auflage. Springer-Verlag, Berlin 1979, ISBN 3-642-64982-3, S. 39.

Weblinks

Metabelian Groups (Groupprops)