Metabelsche Gruppe

Im mathematischen Gebiet der Gruppentheorie sind metabelsche Gruppen eine Klasse von Gruppen, die sich in gewisser Weise als Produkt zweier abelscher Gruppen zerlegen lassen.

Definition

Eine Gruppe ${\displaystyle G}$ ist metabelsch, wenn alle Kommutatoren miteinander kommutieren, also wenn für alle ${\displaystyle x,y,z,w\in G}$ die Gleichung

${\displaystyle (xyx^{-1}y^{-1})(zwz^{-1}w^{-1})=(zwz^{-1}w^{-1})(xyx^{-1}y^{-1})}$

gilt. Mit anderen Worten, die Kommutatoruntergruppe ${\displaystyle \left[G,G\right]}$ soll eine abelsche Gruppe sein.

Eine äquivalente Bedingung ist, dass es abelsche Gruppen ${\displaystyle A,B}$ und eine exakte Sequenz

${\displaystyle 0\to A\to G\to B\to 0}$

gibt. In der englischsprachigen Literatur werden metabelsche Gruppen deshalb auch als abelian-by-abelian groups bezeichnet.

Beispiele

• Die Gruppe der 2-dimensionalen regulären oberen Dreiecksmatrizen ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}*&*\\0&*\end{array}}\right)}$ ist metabelsch. Die Kommutatoruntergruppe ist in diesem Fall die abelsche Gruppe von Dreiecksmatrizen der Form ${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}1&*\\0&1\end{array}}\right)}$, die Quotientengruppe ${\displaystyle G/\left[G,G\right]}$ ist isomorph zur Gruppe der regulären Diagonalmatrizen.
• Die Gruppe der affinen Abbildungen ${\displaystyle x\mapsto ax+b}$, ${\displaystyle a\neq 0}$ eines beliebigen Körpers ist metabelsch. Ihre Kommutatorgruppe ist die abelsche Gruppe der Translationen ${\displaystyle x\mapsto x+b}$, die Quotientengruppe ${\displaystyle G/\left[G,G\right]}$ ist isomorph zur Gruppe der Homothetien ${\displaystyle x\mapsto ax}$.
• Die Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien der euklidischen Ebene ist metabelsch, ihre Kommutatorgruppe ist die abelsche Gruppe der Verschiebungen, die Quotientengruppe ${\displaystyle G/\left[G,G\right]}$ ist isomorph zur Drehgruppe ${\displaystyle SO(2)}$.
• Abelsche Gruppen sind metabelsch.
• Eine nichtabelsche auflösbare Gruppe ist genau dann metabelsch, wenn sie eine Subnormalreihe der Länge ${\displaystyle 2}$ hat.
• Die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ ist genau dann metabelsch, wenn ${\displaystyle n\leq 3}$ ist.
• Jede Diedergruppe ${\displaystyle D_{n}}$ und die unendliche Diedergruppe ${\displaystyle D_{\infty }}$ sind metabelsch.
• Der Holomorph einer zyklischen Gruppe ist metabelsch.
• Die Lamplighter-Gruppe ist metabelsch.
• Untergruppen, Quotientengruppen und direkte Produkte metabelscher Gruppen sind wieder metabelsch.

Literatur

• Specht, Wilhelm: Gruppentheorie. Springer-Verlag, Berlin-Göttingen-Heidelberg, 1956. vii+457 pp.
• Meier-Wunderli, H.: Metabelsche Gruppen. Comment. Math. Helv. 25, (1951). 1–10, doi:10.1007/BF02566442.
• Kaniuth, Eberhard; Thoma, Elmar: Charaktere metabelscher Gruppen. Arch. Math. (Basel) 20 1969 4–9, doi:10.1007/BF01898984.
• Bertram Huppert: Endliche Gruppen I (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Nr. 134). Nachdruck der ersten Auflage. Springer-Verlag, Berlin 1979, ISBN 3-642-64982-3, S. 39. 

Weblinks

• Metabelian Groups (Groupprops)