Kompakter Raum

Kompaktheit ist ein zentraler Begriff des mathematischen Teilgebiets der Topologie. Es handelt sich um eine Eigenschaft, die einem topologischen Raum zukommt oder nicht. Sie kommt bei vielen mathematischen Untersuchungen zum Tragen – oft auch in abgeschwächter Form als Lindelöf-Eigenschaft oder Parakompaktheit. Lokalkompaktheit ist im Falle von Hausdorff-Räumen ebenfalls eine abgeschwächte Bedingung.

Ein kompakter topologischer Raum wird – je nach Kontext – einfach kompakter Raum oder auch Kompaktum genannt. Handelt es sich dabei um einen kompakten Unterraum innerhalb eines topologischen Raumes, so spricht man oft nur von einer kompakten (Teil)menge, ohne die Unterraumtopologie eigens zu erwähnen.

Wichtige Beispiele für kompakte Mengen sind abgeschlossene und beschränkte Teilmengen des Euklidischen Raums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ wie etwa das Einheitsintervall ${\displaystyle [0,1]\subset \mathbb {R} }$ oder die Polyeder oder auch die Einheitssphäre ${\displaystyle S^{n-1}\subset \mathbb {R} ^{n}}$.

Einfache Beispiele für Nicht-Kompaktheit bilden die unendliche Teilmengen der Menge der natürlichen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {R} }$ (nicht beschränkt!) oder auch jedes halboffene Intervall der Form ${\displaystyle \left[a,b\right[\subset \mathbb {R} }$ (nicht abgeschlossen!).

Definition

Geschichte

Um das Jahr 1900 waren die Gleichwertigkeit der folgenden Charakterisierungen kompakter Teilmengen ${\displaystyle A}$ des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bekannt:

1. Die Teilmenge ${\displaystyle A}$ ist beschränkt und abgeschlossen.
2. Jede Teilmenge von ${\displaystyle A}$ mit unendlich vielen Elementen hat wenigstens einen Häufungspunkt. (Satz von Bolzano-Weierstraß)
3. Jede Folge in ${\displaystyle A}$ besitzt eine in ${\displaystyle A}$ konvergente Teilfolge. (Satz von Bolzano-Weierstraß)
4. Jede offene Überdeckung von ${\displaystyle A}$ hat eine endliche Teilüberdeckung. (Satz von Heine-Borel)

Die erste Charakterisierung ist abhängig von der gewählten Metrik. Die anderen drei Charakterisierungen hingegen lassen sich auf beliebige topologische Räume übertragen und bieten somit eine Möglichkeit einen Kompaktheitsbegriff für topologische Räume zu definieren. Maurice René Fréchet nannte 1906 Teilmengen metrischer Räume kompakt, die die zweite Eigenschaft erfüllten. Diese Definition wurde später auf topologische Räume übertragen. Man nannte also die im heutigen Sinne abzählbar kompakten Räume damals kompakt. Pawel Sergejewitsch Alexandrow und Pawel Samuilowitsch Urysohn führten 1924 den heutigen Kompaktheitsbegriff im Sinne der vierten Eigenschaft ein. Räume, die diese Eigenschaft erfüllten, nannten sie bikompakt. Diese Kompaktheitsdefinition setzte sich allerdings erst um 1930 durch, als Andrei Nikolajewitsch Tichonow bewies, dass beliebige Produkte bikompakter Räume wieder bikompakte Räume ergeben. Dieses Resultat ist heute als Satz von Tychonoff bekannt. Für abzählbar kompakte und folgenkompakte Räume (Eigenschaft drei) gilt dies nicht.

Von Endlichkeit zu Kompaktheit

Ein wichtiger Grund für die Betrachtung kompakter Räume ist, dass sie in mancher Hinsicht als Verallgemeinerung von endlichen topologischen Räumen gesehen werden können, insbesondere sind auch alle endlichen Räume kompakt. Es gibt viele Ergebnisse, die sich leicht für endliche Mengen beweisen lassen, deren Beweise dann mit kleinen Änderungen auf kompakte Räume zu übertragen sind. Hier ein Beispiel:

Wir setzen voraus, dass ${\displaystyle X}$ ein Hausdorff-Raum ist, ${\displaystyle x}$ ein Punkt aus ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle A}$ eine endliche Teilmenge von ${\displaystyle X}$, die ${\displaystyle x}$ nicht enthält. Dann können wir ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle A}$ durch Umgebungen trennen: für jedes ${\displaystyle a}$ aus ${\displaystyle A}$ seien ${\displaystyle U_{a}(x)}$ und ${\displaystyle V(a)}$ disjunkte Umgebungen, die jeweils ${\displaystyle x}$ bzw. ${\displaystyle a}$ enthalten. Dann sind die Schnittmenge aller ${\displaystyle U_{a}(x)}$ und die Vereinigung aller ${\displaystyle V(a)}$ die benötigten Umgebungen von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle A}$.

Ist ${\displaystyle A}$ nicht endlich, gilt der Beweis nicht mehr, da der Durchschnitt von unendlich vielen Umgebungen keine Umgebung mehr sein muss. Für den Fall, dass ${\displaystyle A}$ kompakt ist, lässt sich die Beweisidee aber wie folgt übertragen:

Wir setzen wieder voraus, dass ${\displaystyle X}$ ein Hausdorff-Raum ist, ${\displaystyle x}$ ein Punkt aus ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle A}$ eine kompakte Teilmenge von ${\displaystyle X}$, die ${\displaystyle x}$ nicht enthält. Dann können wir ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle A}$ durch Umgebungen trennen: für jedes ${\displaystyle a}$ aus ${\displaystyle A}$ seien ${\displaystyle U_{a}(x)}$ und ${\displaystyle V(a)}$ disjunkte offene Umgebungen, die jeweils ${\displaystyle x}$ bzw. ${\displaystyle a}$ enthalten. Da ${\displaystyle A}$ kompakt ist und von den offenen Mengen ${\displaystyle V(a)}$ überdeckt wird, gibt es endlich viele Punkte ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A}$ mit ${\displaystyle A\subseteq V(a_{1})\cup \ldots \cup V(a_{n})}$. Dann sind die Schnittmenge aller ${\displaystyle U_{a_{i}}(x)}$ und die Vereinigung aller ${\displaystyle V(a_{i})}$, ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$, die benötigten Umgebungen von ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle A}$.

Man sieht an diesem Beispiel, wie die Kompaktheit verwendet wird, um von möglicherweise unendlich vielen Umgebungen auf endlich viele zu kommen, mit denen dann der bekannte Beweis für endliche Mengen fortgeführt werden kann. Viele Beweise und Sätze über kompakte Mengen folgen diesem Muster.

Beispiele

Eigenschaften

• Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Funktion ist kompakt. Folglich nimmt eine reellwertige stetige Funktion auf einem nichtleeren Kompaktum ein globales Minimum und ein globales Maximum an.
• Eine stetige Funktion auf einem kompakten metrischen Raum ist gleichmäßig stetig. Diese Aussage ist auch als Satz von Heine bekannt.
• Jede Umgebung eines Kompaktums in einem uniformen Raum ist gleichmäßige Umgebung. Das heißt, es liegt mit einer Nachbarschaft in der Umgebung. Im metrischen Falle heißt dies, dass alle Punkte mit gleich großen Kugeln einer gewählten Größe innerhalb der Umgebung liegen. Die Nachbarschaft kann sogar so gewählt werden, dass das Komplement der Umgebung mit der Nachbarschaft außerhalb des Kompaktums mit der Nachbarschaft liegt.
• Jede unendliche Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ von Elementen einer kompakten Menge ${\displaystyle K\subset E}$ besitzt einen Häufungspunkt in ${\displaystyle K}$. Erfüllt ${\displaystyle K}$ das erste Abzählbarkeitsaxiom, so existiert sogar eine in ${\displaystyle K}$ konvergente Teilfolge ${\displaystyle (a_{n_{i}})_{i\in \mathbb {N} }}$.
  Die Umkehrung gilt jedoch nicht in jedem topologischen Raum, das heißt eine Teilmenge, in der jede Folge eine (in der Teilmenge) konvergente Teilfolge hat (eine solche Teilmenge heißt folgenkompakt, siehe unten), muss nicht kompakt sein. (Ein Beispiel bildet die Menge der abzählbaren Ordinalzahlen ${\displaystyle [0,\omega _{1}[}$ mit der Ordnungstopologie.)
• Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raumes ist kompakt.
• Eine kompakte Teilmenge eines Hausdorff-Raumes ist abgeschlossen (jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum).
• Eine nicht-leere kompakte Teilmenge der reellen Zahlen hat ein größtes und ein kleinstes Element (siehe auch Supremum, Infimum).
• Für jede Teilmenge ${\displaystyle M}$ des euklidischen Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ sind die folgenden drei Aussagen äquivalent (vergleiche Satz von Heine-Borel):
  • ${\displaystyle M}$ ist kompakt, das heißt jede offene Überdeckung von ${\displaystyle M}$ hat eine endliche Teilüberdeckung.
  • Jede Folge in der Menge ${\displaystyle M}$ hat eine in ${\displaystyle M}$ konvergente Teilfolge (also mindestens einen Häufungspunkt).
  • Die Menge ${\displaystyle M}$ ist abgeschlossen und beschränkt.
• Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er vollständig und total beschränkt ist.
• Ein diskreter Raum ist genau dann kompakt, wenn er endlich ist.
• Das Produkt einer beliebigen Klasse von kompakten Räumen ist kompakt in der Produkttopologie. (Satz von Tychonoff – dies ist äquivalent zum Auswahlaxiom)
• Ein kompakter Hausdorff-Raum ist normal.
• Jede stetige bijektive Abbildung von einem kompakten Raum auf einen Hausdorff-Raum ist ein Homöomorphismus.
• Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in dem Raum eine konvergente Teilfolge mit ihrem Grenzwert in dem Raum hat.
• Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jedes Netz auf dem Raum ein Teilnetz hat, das einen Grenzwert in dem Raum hat.
• Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jeder Filter auf dem Raum eine konvergente Verfeinerung besitzt.
• Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jeder Ultrafilter auf dem Raum konvergiert.
• Ein topologischer Raum kann genau dann in einen kompakten Hausdorff-Raum eingebettet werden, wenn er ein Tychonoff-Raum ist.
• Jeder topologische Raum ${\displaystyle X}$ ist ein dichter Unterraum eines kompakten Raumes, der höchstens einen Punkt mehr besitzt als ${\displaystyle X}$. (Siehe auch Alexandroff-Kompaktifizierung.)
• Ein metrisierbarer Raum ${\displaystyle X}$ ist genau dann kompakt, wenn jeder zu ${\displaystyle X}$ homöomorphe metrische Raum vollständig ist.
• Falls der metrische Raum ${\displaystyle X}$ kompakt ist und eine offene Überdeckung von ${\displaystyle X}$ gegeben ist, dann existiert eine Zahl ${\displaystyle \delta >0}$, so dass jede Teilmenge von ${\displaystyle X}$ mit Durchmesser ${\displaystyle {}<\delta }$ in einem Element der Überdeckung enthalten ist. (Lemma von Lebesgue)
• Jeder kompakte Hausdorffraum lässt genau eine uniforme Struktur zu, die die Topologie induziert. Die Umkehrung gilt nicht.
• Falls ein topologischer Raum eine Subbasis hat, so dass jede Überdeckung des Raumes durch Elemente der Subbasis eine endliche Teilüberdeckung hat, so ist der Raum kompakt. (Alexanders Subbasis-Satz)
• Zwei kompakte Hausdorff-Räume ${\displaystyle X_{1}}$ und ${\displaystyle X_{2}}$ sind genau dann homöomorph, wenn ihre Ringe von stetigen reell-wertigen Funktionen ${\displaystyle C(X_{1})}$ und ${\displaystyle C(X_{2})}$ isomorph sind.

Andere Formen von Kompaktheit

Es gibt einige topologische Eigenschaften, die äquivalent zur Kompaktheit in metrischen Räumen sind, aber nicht äquivalent in allgemeinen topologischen Räumen:

• Folgenkompakt: Jede Folge hat eine konvergente Teilfolge.
• ω-beschränkt: Jede abzählbare Teilmenge ist in einer kompakten Teilmenge enthalten.
• Abzählbar kompakt: Jede abzählbare offene Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung. (Oder, äquivalent, jede unendliche Teilmenge hat einen ${\displaystyle \omega }$-Häufungspunkt.)
• Pseudokompakt: Jede reell-wertige stetige Funktion auf dem Raum ist beschränkt.
• Schwach abzählbar kompakt: Jede unendliche Teilmenge hat einen Häufungspunkt.
• Eberlein-kompakt: Der Raum ist homöomorph zu einer schwach-kompakten Teilmenge eines Banachraums.

Während diese Konzepte für metrische Räume äquivalent sind, gibt es im Allgemeinen folgende Beziehungen:

• Kompakte Räume sind ${\displaystyle \omega }$-beschränkt.
• ${\displaystyle \omega }$-beschränkte Räume sind abzählbar kompakt.
• Folgenkompakte Räume sind abzählbar kompakt.
• Abzählbar kompakte Räume sind pseudokompakt und schwach abzählbar kompakt.
• Eberlein-kompakte Räume sind folgenkompakt.

Siehe auch

• Relativ kompakte Teilmenge (Kompaktheit des Abschlusses)
• Kompaktifizierung (Einbettung topologischer Räume in kompakte Räume)
• Schwach folgenkompakte Menge
• Vollständige algebraische Varietät (analoge Begriffsbildung für algebraische Varietäten)
• Hemikompakter Raum
• Orthokompakter Raum

Literatur

• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3, S. 94 ff. 
• Friedrich Hirzebruch, Winfried Scharlau: Einführung in die Funktionalanalysis (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 296). Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1971, ISBN 3-411-00296-4. 
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9
• Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder (Hrsg.): dtv-Atlas zur Mathematik. Tafeln und Texte. Band 1: Tafeln und Texte. 8. Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1990, ISBN 3-423-03007-0, S. 228 ff. 
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6, S. 59 ff. 
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts u. a. 1970. 

Weblinks

• Skript zur Mengentheoretische Topologie (Memento vom 11. Juni 2007 im Internet Archive) (PDF; 1,72 MB).

Einzelnachweise

1. Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9
   1. 1 2 3 105
   2. ↑ 330
2. ↑ Winfried Kaballo: Grundkurs Funktionalanalysis. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-8274-2149-4, S. 26. 
3. ↑ Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, S. 95. 
4. ↑ Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, S. 64. 
5. ↑ Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, S. 102. 
6. ↑ Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics. General Topology. Band 1. Springer, Berlin u. a. 1966, Kapitel II, § 4.3, Proposition 4.
7. ↑ István Sándor Gál: Uniformizable Spaces with a Unique Structure. In: Pacific Journal of Mathematics. Band 9, Nr. 4, August 1959, ISSN 0030-8730, S. 1053–1060 (online [PDF; 1,2 MB]). 

Anmerkungen und Hinweise

1. ↑ Es ist hier indes Vorsicht geboten. In der englischsprachigen Fachliteratur versteht man nämlich nicht selten unter einem „compactum“ lediglich einen kompakten metrischen Raum. Vgl. etwa Eric W. Weisstein: Compactum. In: MathWorld (englisch).  !