SL(2,R)

Die spezielle lineare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ oder ${\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ist die Gruppe der reellen ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen mit Determinante 1:

${\displaystyle {\mbox{SL}}(2,\mathbb {R} )=\left\{\left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right):a,b,c,d\in \mathbb {R} {\mbox{ und }}ad-bc=1\right\}.}$

Sie ist eine Lie-Gruppe mit vielfältigen Anwendungen in Geometrie, Topologie, Darstellungstheorie, harmonischer Analysis, Zahlentheorie, Modulformen und Physik.

Darstellungstheorie

Für jede natürliche Zahl ${\displaystyle d}$ gibt es eine, bis auf Isomorphismus eindeutige, ${\displaystyle (d+1)}$-dimensionale irreduzible Darstellung der ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$. Eine explizite Realisierung dieser irreduziblen Darstellung ist wie folgt. Sei

${\displaystyle V_{d}=\left\{f(x,y)=a_{0}x^{d}+a_{1}x^{d-1}y+a_{2}x^{d-2}y^{2}+\ldots +a_{d-1}xy^{d-1}+a_{d}y^{d}:a_{0},\ldots ,a_{d}\in \mathbb {R} \right\}}$

der Vektorraum der homogenen Polynome vom Grad ${\displaystyle d}$ in 2 Variablen. Dieser Vektorraum ist ${\displaystyle (d+1)}$-dimensional und ${\displaystyle A\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ wirkt durch

${\displaystyle (Af)(x,y):=f(A^{-1}(x,y)).}$

Die Veronese-Einbettung ${\displaystyle \nu _{d}\colon \mathbb {R} P^{1}\to \mathbb {R} P^{d}}$ ist äquivariant bezüglich der irreduziblen Darstellung ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )\to \operatorname {SL} (d+1,\mathbb {R} )}$.

Die unendlich-dimensionalen Darstellungen der ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ werden durch die Langlands-Klassifikation beschrieben.

Lie-Algebra

${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ ist eine Lie-Gruppe, ihre Lie-Algebra ist die Lie-Algebra der spurfreien ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )=\left\{A\in \operatorname {Mat} (2,\mathbb {R} ):\operatorname {Sp} (A)=0\right\}}$.

Eine Vektorraum-Basis des 3-dimensionalen Vektorraumes ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$ ist zum Beispiel

${\displaystyle H=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right),\ X=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right),\ Y=\left({\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}}\right)}$

mit den Kommutator-Relationen

${\displaystyle \left[H,X\right]=2X,\ \left[H,Y\right]=-2Y,\ \left[X,Y\right]=H}$.

Diese Lie-Algebra ist einfach, sie hat zwei nicht-konjugierte Cartan-Unteralgebren: eine erzeugt von ${\displaystyle H}$, die andere von ${\displaystyle X-Y}$.

Die Killing-Form ist ${\displaystyle B(V,W)=4\operatorname {Sp} (VW)}$. Sie ist negativ definit auf dem von ${\displaystyle X-Y}$ erzeugten Unterraum, positiv definit auf dem von ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle X+Y}$ erzeugten Unterraum.

Lineare Algebra

Matrizen aus ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ entsprechen invertierbaren linearen Abbildungen des Vektorraums ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Die Matrix ${\displaystyle \left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)}$ wirkt durch

${\displaystyle \left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}ax+by\\cx+dy\end{matrix}}\right).}$

Matrizen aus ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ erhalten die Volumenform, aber im Allgemeinen nicht die euklidische Metrik des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Klassifikation der 2×2-Matrizen

Die Eigenwerte einer Matrix ${\displaystyle A\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ sind Nullstellen des charakteristischen Polynoms

${\displaystyle \lambda ^{2}-\mathrm {Sp} (A)\lambda +1=0}$

und lassen sich nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen berechnen als

${\displaystyle \lambda ={\frac {\mathrm {Sp} (A)\pm {\sqrt {\mathrm {Sp} (A)^{2}-4}}}{2}}}$.

Man klassifiziert die Matrizen dann entsprechend der folgenden Einteilung:

• Wenn ${\displaystyle \vert \operatorname {Sp} (A)\vert <2}$, dann ist ${\displaystyle A}$ eine elliptische Matrix.
• Wenn ${\displaystyle \vert \operatorname {Sp} (A)\vert =2}$, dann ist ${\displaystyle A}$ eine parabolische Matrix.
• Wenn ${\displaystyle \vert \operatorname {Sp} (A)\vert >2}$, dann ist ${\displaystyle A}$ eine hyperbolische Matrix.

Elliptische Elemente

Elliptische Elemente sind von der Form

${\displaystyle A\left({\begin{matrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{matrix}}\right)A^{-1}}$

mit ${\displaystyle \phi \in \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle A\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$.

Die Matrix ${\displaystyle \left({\begin{matrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{matrix}}\right)}$ wirkt auf der euklidischen Ebene als Drehung mit Fixpunkt 0 und Drehwinkel ${\displaystyle \phi }$.

Parabolische Elemente

Parabolische Elemente sind von der Form

${\displaystyle \pm A\left({\begin{matrix}1&n\\0&1\end{matrix}}\right)A^{-1}}$

mit ${\displaystyle n\in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle A\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$.

Die Matrix ${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&\ n\\0&1\end{matrix}}\right)}$ wirkt auf der euklidischen Ebene als Scherung.

Hyperbolische Elemente

Hyperbolische Elemente sind von der Form

${\displaystyle A\left({\begin{matrix}a&0\\0&{\frac {1}{a}}\end{matrix}}\right)A^{-1}}$

mit ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \left\{0\right\}}$ und ${\displaystyle A\in \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$.

Die Matrix ${\displaystyle \left({\begin{matrix}a&0\\0&{\frac {1}{a}}\end{matrix}}\right)}$ wirkt als Dehnstauchung, d. h., sie dehnt in Richtung eines Eigenvektors, staucht in Richtung des anderen Eigenvektors, erhält insgesamt aber den Flächeninhalt.

Hyperbolische Geometrie

Matrizen aus ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ wirken auf der oberen Halbebene

${\displaystyle \mathbb {H} =\{x+iy\ |\ y>0;\,x,y\in \mathbb {R} \}\subset \mathbb {C} }$

durch

${\displaystyle z\mapsto {\frac {az+b}{cz+d}}}$.

Sie wirken als Isometrien der hyperbolischen Metrik.

Weil ${\displaystyle \pm I_{2}}$ als Identitätsabbildung wirkt, faktorisiert diese Wirkung von ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ über

${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )=\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )/\{\pm I_{2}\}}$.

Projektive Geometrie und gebrochen-lineare Transformationen

Die projektive Gerade ${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}}$ ist die Menge aller Geraden durch den Nullpunkt im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Die Wirkung von ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ auf ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\right)}$ gibt eine wohl-definierte Wirkung von ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}}$.

Durch ${\displaystyle [x:y]\rightarrow {\frac {x}{y}}}$ wird eine Bijektion zwischen ${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}}$ und ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}}$ definiert. Nach dieser Identifizierung von ${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}}$ und ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}}$ wirkt ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}}$ durch gebrochen-lineare Transformationen

${\displaystyle \left({\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right)z={\frac {az+b}{cz+d}}}$.

Die Veronese-Einbettung ${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}\to \mathbb {R} P^{n}}$ ist äquivariant bzgl. der irreduziblen Darstellung ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )\to \operatorname {SL} (n+1,\mathbb {R} )}$.

${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}=\mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}}$ ist auch der Rand im Unendlichen ${\displaystyle \partial \mathbb {H} }$ der hyperbolischen Ebene ${\displaystyle \mathbb {H} }$. Die Wirkung von ${\displaystyle PSL(2,\mathbb {R} )}$ auf der Kompaktifizierung ${\displaystyle \mathbb {H} \cup \partial \mathbb {H} }$ der hyperbolischen Ebene durch gebrochen-lineare Transformationen ist stetig. Elliptische Elemente haben einen Fixpunkt in ${\displaystyle \mathbb {H} }$, parabolische Elemente haben einen Fixpunkt in ${\displaystyle \partial \mathbb {H} }$, hyperbolische Elemente haben zwei Fixpunkte in ${\displaystyle \partial \mathbb {H} }$.

Fuchssche Gruppen

Diskrete Untergruppen von ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ bezeichnet man als Fuchssche Gruppen.

Die Limesmenge einer Fuchsschen Gruppe ${\displaystyle \Gamma }$ ist der Durchschnitt von ${\displaystyle \mathbb {R} P^{1}=\partial \mathbb {H} }$ mit dem Abschluss einer Bahn ${\displaystyle \Gamma x}$, wobei und die Definition der Limesmenge unabhängig vom gewählten Punkt ${\displaystyle x\in \mathbb {H} }$ ist.

Eine Fuchssche Gruppe heißt Fuchssche Gruppe 1. Art, falls die Limesmenge ganz ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {R} )=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ ist. Andernfalls handelt es sich um eine Fuchssche Gruppe 2. Art.

Fuchssche Gruppen 1. Art sind die sogenannten Gitter in ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$, d. h. diskrete Untergruppen ${\displaystyle \Gamma }$, für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens in der hyperbolischen Ebene gibt.

Ein Beispiel eines Gitters in ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ ist die modulare Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )}$, die unter anderem in der Theorie der Modulformen eine zentrale Rolle mit vielen zahlentheoretischen Anwendungen spielt.

Wenn eine Fuchssche Gruppe ${\displaystyle \Gamma \subset \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ keine Elemente der Ordnung 2 enthält, dann ist sie die Projektion einer diskreten Untergruppe von ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$. (Satz von Culler)

Topologie

Die Kreis-Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SO} (2)}$ ist eine maximal kompakte Untergruppe von ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$. Die Untergruppe ${\displaystyle \operatorname {SO} (2)}$ ist ein Deformationsretrakt von ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$, insbesondere sind die beiden Räume homotopieäquivalent.

Die Fundamentalgruppe von ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ ist isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, die höheren Homotopiegruppen sind trivial.

Die universelle Überlagerung ${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}}}$ von ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ ist ein Beispiel einer Lie-Gruppe, welche keine treue endlich-dimensionale Darstellung besitzt, also zu keiner Untergruppe einer allgemeinen linearen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$ isomorph ist.

Der Quotient ${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )=\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )/(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ ist diffeomorph zum Einheitstangentialbündel der hyperbolischen Ebene: ${\displaystyle {\operatorname {PSL} (2,\mathbb {R} )}=T^{1}\mathbb {H} }$.

Literatur

• Serge Lang: SL₂(R) (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 105). Springer, New York NY u. a. 1985, ISBN 0-387-96198-4.
• William P. Thurston: Three-dimensional geometry and topology (= Princeton Mathematical Series. Bd. 35). Band 1. Edited by Silvio Levy. Princeton University Press, Princeton NJ, 1997, ISBN 0-691-08304-5.