Semiperfekter Ring

Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen (beispielsweise Einzelnachweisen) ausgestattet. Angaben ohne ausreichenden Beleg könnten demnächst entfernt werden. Bitte hilf Wikipedia, indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfügst.

Ein semiperfekter Ring im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein Ring, über dem jeder endlich erzeugte Linksmodul eine projektive Decke hat. Der Begriff wurde 1959/60 von Hyman Bass eingeführt.

Definition

Im Folgenden sei R ein Ring mit 1, J=J(R) das Jacobson-Radikal.

Ein Ring R heißt semiperfekt, wenn er eine der folgenden äquivalenten Eigenschaften besitzt:

• Jeder einfache R-Links-/Rechtsmodul hat eine projektive Decke.
• Jeder endlich erzeugte R-Links-/Rechtsmodul hat eine projektive Decke.
• R/J ist halbeinfach, und jedes Idempotent von R/J lässt sich zu R heben.
• Es existiert eine Zerlegung ${\displaystyle 1=\sum _{i=1}^{n}e_{i}}$ mit paarweise orthogonalen, lokalen Idempotenten ${\displaystyle e_{1},\dots ,e_{n}}$.

Eigenschaften

• Alle linksartinschen und alle rechtsartinschen Ringe sind semiperfekt.
• Jeder lokale Ring ist semiperfekt.
• Ein kommutativer Ring ${\displaystyle R}$ ist genau dann semiperfekt, wenn ${\displaystyle R}$ eine endliche direkte Summe von lokalen Ringen ist.
• Ist ${\displaystyle R}$ semiperfekt und ${\displaystyle I}$ ein Ideal von ${\displaystyle R}$, dann ist auch der Faktorring ${\displaystyle R/I}$ semiperfekt.
• Ist ${\displaystyle R}$ ein Ring und ${\displaystyle e\in R}$ ein Idempotent, dann ist ${\displaystyle R}$ semiperfekt genau dann wenn ${\displaystyle (1-e)R(1-e)}$ und ${\displaystyle eRe}$ semiperfekt sind.