Espacio normado auxiliar

Espacio seminormado inducido por un disco

Sea ${\displaystyle X}$ un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto ${\displaystyle D}$ de ${\displaystyle X,}$ el Funcional de Minkowski de ${\displaystyle D}$ se define por:

• Si ${\displaystyle D=\varnothing }$, entonces define ${\displaystyle p_{\varnothing }(x):\{0\}\to [0,\infty )}$ como la aplicación trivial ${\displaystyle p_{\varnothing }=0}$ y se asumirá que ${\displaystyle \operatorname {expan} \varnothing =\{0\}.}$
• Si ${\displaystyle D\neq \varnothing }$ y si ${\displaystyle D}$ es absorbente en ${\displaystyle \operatorname {expan} D}$, entonces denota el funcional de Minkowski de ${\displaystyle D}$ en ${\displaystyle \operatorname {expan} D}$ por

${\displaystyle p_{D}:\operatorname {expan} D\to [0,\infty )}$

donde para todos los ${\displaystyle x\in \operatorname {expan} D,}$ esto se define por :${\displaystyle p_{D}(x):=\inf _{}\{r:x\in rD,r>0\}.}$

Sea ${\displaystyle X}$ un espacio vectorial real o complejo. Para cualquier subconjunto ${\displaystyle D}$ de ${\displaystyle X}$ tal que el ${\displaystyle p_{D}}$ funcional de Minkowski sea una seminorma en ${\displaystyle \operatorname {expan} D,}$ denótese por ${\displaystyle X_{D}}$

${\displaystyle X_{D}:=\left(\operatorname {expan} D,p_{D}\right)}$

que se denomina seminorma inducida por ${\displaystyle D,}$ donde si ${\displaystyle p_{D}}$ es una norma, entonces se llama espacio normado inducido por ${\displaystyle D.}$

Supuesto (Topología): ${\displaystyle X_{D}=\operatorname {expan} D}$ está dotado de la topología de la seminorma inducida por ${\displaystyle p_{D},}$ que se denotará por ${\displaystyle \tau _{D}}$ o ${\displaystyle \tau _{p_{D}}.}$

Es importante destacar que esta topología surge "completamente" del conjunto ${\displaystyle D,}$ la estructura algebraica de ${\displaystyle X,}$ y la topología habitual en ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (ya que ${\displaystyle p_{D}}$ se define usando solo el conjunto ${\displaystyle D}$ y la multiplicación escalar). Esto justifica el estudio de los discos de Banach y es parte de la razón por la que juegan un papel importante en la teoría de operadores nucleares y espacios nucleares.

La aplicación de inclusión ${\displaystyle \operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X}$ se denomina "aplicación canónica".

Supóngase que ${\displaystyle D}$ es un disco. Entonces, ${\textstyle \operatorname {expan} D=\bigcup _{n=1}^{\infty }nD}$ para que ${\displaystyle D}$ sea absorbente en ${\displaystyle \operatorname {expan} D,}$ el sistema generador de ${\displaystyle D.}$ El conjunto ${\displaystyle \{rD:r>0\}}$ de todos los múltiplos escalares positivos de ${\displaystyle D}$ forma una base en el entorno del origen para una topología inducida en un espacio localmente convexo ${\displaystyle \tau _{D}}$ en ${\displaystyle \operatorname {expan} D.}$ El funcional de Minkowski del disco ${\displaystyle D}$ en ${\displaystyle \operatorname {expan} D}$ garantiza que ${\displaystyle p_{D}}$ esté bien definido y forme una seminorma en ${\displaystyle \operatorname {expan} D.}$ La topología localmente convexa inducida por esta seminorma es la topología ${\displaystyle \tau _{D}}$ que se definió anteriormente.

Definición de disco de Banach

Un disco acotado ${\displaystyle D}$ en un espacio vectorial topológico ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ sea un espacio de Banach, se denomina disco de Banach, infracompleto o completante acotado en ${\displaystyle X.}$

Si se muestra que ${\displaystyle \left(\operatorname {expan} D,p_{D}\right)}$ es un espacio de Banach, entonces ${\displaystyle D}$ será un disco de Banach en cualquier EVT que contenga ${\displaystyle D}$ como un subconjunto acotado.

Esto se debe a que el funcional ${\displaystyle p_{D}}$ de Minkowski se define en términos puramente algebraicos. En consecuencia, la cuestión de si ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ forma o no un espacio de Banach depende únicamente del disco ${\displaystyle D}$ y de ${\displaystyle p_{D},}$ el funcional de Minkowski, y no de ninguna topología del EVT particular que ${\displaystyle X}$ pueda tener inducida. Por lo tanto, el requisito de que un disco de Banach en un EVT ${\displaystyle X}$ sea un subconjunto acotado de ${\displaystyle X}$ es la única propiedad que vincula la topología de un disco de Banach con la topología del EVT ${\displaystyle X}$ que lo contiene.

Propiedades de los espacios seminormados inducidos por un disco

Discos acotados

El siguiente resultado explica por qué es necesario limitar los discos de Banach.

Demostración

Si el disco ${\displaystyle D}$ está delimitado en el EVT ${\displaystyle X}$, entonces para todos los entornos ${\displaystyle U}$ del origen en ${\displaystyle X,}$ existe algún ${\displaystyle r>0}$ tal que ${\displaystyle rD\subseteq U\cap X_{D}.}$ De ello se deduce que en este caso la topología de ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ es más fina que la topología subespacial que ${\displaystyle X_{D}}$ hereda de ${\displaystyle X,}$ lo que implica que la aplicación de inclusión ${\displaystyle \operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X}$ es continua. Por el contrario, si ${\displaystyle X}$ tiene una topología EVT tal que ${\displaystyle \operatorname {In} _{D}:X_{D}\to X}$ es continua, entonces para cada entorno ${\displaystyle U}$ del origen en ${\displaystyle X}$ existe algún ${\displaystyle r>0}$ tal que ${\displaystyle rD\subseteq U\cap X_{D},}$ lo que demuestra que ${\displaystyle D}$ está acotado en ${\displaystyle X.}$

Hausdorffsidad

El espacio ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ es de Hausdorff si y solo si ${\displaystyle p_{D}}$ es una norma, lo que ocurre si y solo si ${\displaystyle D}$ no contiene ningún subespacio vectorial no trivial. En particular, si existe una topología en un EVT de Hausdorff ${\displaystyle X}$, de modo que ${\displaystyle D}$ esté acotado en ${\displaystyle X}$, entonces ${\displaystyle p_{D}}$ es una norma. Un ejemplo en el que ${\displaystyle X_{D}}$ no es de Hausdorff se obtiene dejando que ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$ y dejando que ${\displaystyle D}$ sea el eje ${\displaystyle x}$.

Convergencia de redes

Supóngase que ${\displaystyle D}$ es un disco en ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle X_{D}}$ es de Hausdorff y sea ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ una red en ${\displaystyle X_{D}.}$ Entonces, ${\displaystyle x_{\bullet }\to 0}$ en ${\displaystyle X_{D}}$ si y solo si existe un ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i\in I}}$ red de números reales tal que ${\displaystyle r_{\bullet }\to 0}$ y ${\displaystyle x_{i}\in r_{i}D}$ para todo ${\displaystyle i}$; además, en este caso se asumirá sin pérdida de generalidad que ${\displaystyle r_{i}\geq 0}$ para todo ${\displaystyle i.}$

Relación entre espacios inducidos por un disco

Si ${\displaystyle C\subseteq D\subseteq X}$, entonces ${\displaystyle \operatorname {expan} C\subseteq \operatorname {expan} D}$ y ${\displaystyle p_{D}\leq p_{C}}$ en ${\displaystyle \operatorname {expan} C,}$ se define la siguiente aplicación lineal continua:

Si ${\displaystyle C}$ y ${\displaystyle D}$ son discos en ${\displaystyle X}$ con ${\displaystyle C\subseteq D}$, entonces denomínese a la aplicación de inclusión ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}^{D}:X_{C}\to X_{D}}$ la "inclusión canónica" de ${\displaystyle X_{C}}$ en ${\displaystyle X_{D}.}$

En particular, la topología subespacial que ${\displaystyle \operatorname {expan} C}$ hereda de ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ es más débil que la topología inducida por la seminorma de ${\displaystyle \left(X_{C},p_{C}\right)}$.

El disco como bola unitaria cerrada

El disco ${\displaystyle D}$ es un subconjunto cerrado de ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ si y solo si ${\displaystyle D}$ es la bola unitaria cerrada de la seminorma ${\displaystyle p_{D}}$; esto es

${\displaystyle D=\left\{x\in \operatorname {expan} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}.}$

Si ${\displaystyle D}$ es un disco en un espacio vectorial ${\displaystyle X}$ y si existe una topología EVT ${\displaystyle \tau }$ en ${\displaystyle \operatorname {expan} D}$ tal que ${\displaystyle D}$ es un subconjunto cerrado y acotado de ${\displaystyle \left(\operatorname {expan} D,\tau \right),}$ entonces ${\displaystyle D}$ es la bola unitaria cerrada de ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ (es decir, ${\displaystyle D=\left\{x\in \operatorname {expan} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}}$) (véase nota al pie para su demostración).

Condiciones suficientes para un disco de Banach

El siguiente teorema se puede utilizar para establecer que ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ es un espacio de Banach.

Una vez establecido esto, ${\displaystyle D}$ será un disco Banach en cualquier EVT en el que ${\displaystyle D}$ esté acotado.

Demostración

Supóngase sin pérdida de generalidad que ${\displaystyle X=\operatorname {expan} D}$ y sea ${\displaystyle p:=p_{D}}$ el funcional de Minkowski de ${\displaystyle D.}$ Dado que ${\displaystyle D}$ es un subconjunto acotado de un EVT de Hausdorff, ${\displaystyle D}$ no contiene ningún subespacio vectorial no trivial, lo que implica que ${\displaystyle p}$ es una norma. Sea ${\displaystyle \tau _{D}}$ la topología de una norma en ${\displaystyle X}$ inducida por ${\displaystyle p}$ donde, dado que ${\displaystyle D}$ es un subconjunto acotado de ${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle \tau _{D}}$ es más fina que ${\displaystyle \tau .}$ Debido a que ${\displaystyle D}$ es convexo y equilibrado, para cualquier ${\displaystyle 0<m<n}$ ${\displaystyle 2^{-(n+1)}D+\cdots +2^{-(m+2)}D=2^{-(m+1)}\left(1-2^{m-n}\right)D\subseteq 2^{-(m+2)}D.}$ Sea ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ una secuencia de Cauchy en ${\displaystyle \left(X_{D},p\right).}$ Al reemplazar ${\displaystyle x_{\bullet }}$ con una subsecuencia, podemos asumir sin pérdida de generalidad† que para todo ${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle x_{i+1}-x_{i}\in {\frac {1}{2^{i+2}}}D.}$ Esto implica que para cualquier ${\displaystyle 0<m<n,}$ ${\displaystyle x_{n}-x_{m}=\left(x_{n}-x_{n-1}\right)+\left(x_{m+1}-x_{m}\right)\in 2^{-(n+1)}D+\cdots +2^{-(m+2)}D\subseteq 2^{-(m+2)}D}$ de modo que en particular, tomando ${\displaystyle m=1}$ se deduce que ${\displaystyle x_{\bullet }}$ está contenido en ${\displaystyle x_{1}+2^{-3}D.}$ Dado que ${\displaystyle \tau _{D}}$ es más fina que ${\displaystyle \tau ,}$ ${\displaystyle x_{\bullet }}$ es una secuencia de Cauchy en ${\displaystyle (X,\tau ).}$ Para todo ${\displaystyle m>0,}$ ${\displaystyle 2^{-(m+2)}D}$ es un subconjunto secuencialmente completo de Hausdorff de ${\displaystyle (X,\tau ).}$ En particular, esto es cierto para ${\displaystyle x_{1}+2^{-3}D}$, por lo que existe algún ${\displaystyle x\in x_{1}+2^{-3}D}$ tal que ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ en ${\displaystyle (X,\tau ).}$ Dado que ${\displaystyle x_{n}-x_{m}\in 2^{-(m+2)}D}$ para todos los ${\displaystyle 0<m<n,}$ fijando ${\displaystyle m}$ y tomando el límite (en ${\displaystyle (X,\tau )}$) como ${\displaystyle n\to \infty ,}$ se deduce que ${\displaystyle x-x_{m}\in 2^{-(m+2)}D}$ para cada ${\displaystyle m>0.}$ Esto implica que ${\displaystyle p\left(x-x_{m}\right)\to 0}$ es ${\displaystyle m\to \infty ,}$ lo que implica exactamente que ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ en ${\displaystyle \left(X_{D},p\right).}$ Esto demuestra que ${\displaystyle \left(X_{D},p\right)}$ está completo. † Esta suposición está permitida porque ${\displaystyle x_{\bullet }}$ es una secuencia de Cauchy en un espacio métrico (por lo que los límites de todas las subsecuencias son iguales) y una secuencia en un espacio métrico converge si y solo si cada subsecuencia tiene una subsubsecuencia que converge.

Tenga en cuenta que incluso si ${\displaystyle D}$ no es un subconjunto acotado y secuencialmente completo de cualquier EVT de Hausdorff, aún se podría concluir que ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right)}$ es un espacio de Banach aplicando este teorema a algún disco ${\displaystyle K}$ que satisfaga

${\displaystyle \left\{x\in \operatorname {expan} D:p_{D}(x)<1\right\}\subseteq K\subseteq \left\{x\in \operatorname {expan} D:p_{D}(x)\leq 1\right\}}$

porque ${\displaystyle p_{D}=p_{K}.}$

Las siguientes son consecuencias del teorema anterior:

• Un disco acotado secuencialmente completo en un EVT de Hausdorff es un disco de Banach.
• Cualquier disco en un EVT de Hausdorff que esté completo y acotado (por ejemplo, compacto) es un disco de Banach.
• La bola cerrada unidad en un espacio de Fréchet está secuencialmente completa y, por lo tanto, es un disco de Banach.

Supóngase que ${\displaystyle D}$ es un disco acotado en un EVT ${\displaystyle X.}$

• Si ${\displaystyle L:X\to Y}$ es una aplicación lineal continua y ${\displaystyle B\subseteq X}$ es un disco de Banach, entonces ${\displaystyle L(B)}$ es un disco de Banach y ${\displaystyle L{\big \vert }_{X_{B}}:X_{B}\to L\left(X_{B}\right)}$ induce un isomorfismo sobre el EVT ${\displaystyle Y_{L(B)}\cong X_{B}/\left(X_{B}\cap \operatorname {ker} L\right).}$

Propiedades de los discos de Banach

Sea ${\displaystyle X}$ un EVT y ${\displaystyle D}$ sea un disco limitado en ${\displaystyle X.}$

Si ${\displaystyle D}$ es un disco de Banach acotado en un espacio localmente convexo de Hausdorff ${\displaystyle X}$, y si ${\displaystyle T}$ es barrilado en ${\displaystyle X}$, entonces ${\displaystyle T}$ absorbe a ${\displaystyle D}$ (es decir, hay un número ${\displaystyle r>0}$ tal que ${\displaystyle D\subseteq rT.}$

Si ${\displaystyle U}$ es un entorno cerrado equilibrado convexo del origen en ${\displaystyle X}$, entonces la colección de todos los entornos ${\displaystyle rU,}$ donde ${\displaystyle r>0}$ abarca los números reales positivos, induce una topología de espacio vectorial topológico en ${\displaystyle X.}$ Cuando ${\displaystyle X}$ tiene esta topología, se denota por ${\displaystyle X_{U}.}$ Dado que la topología no es necesariamente de Hausdorff ni completa, la completación del espacio de Hausdorff ${\displaystyle X/p_{U}^{-1}(0)}$ se denota por ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$, de modo que ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$ es un espacio de Hausdorff completo y ${\displaystyle p_{U}(x):=\inf _{x\in rU,r>0}r}$ es una norma en este espacio que convierte a ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$ en un espacio de Banach. El polar de ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle U^{\circ },}$ es un disco equicontinuo acotado débilmente compacto en ${\displaystyle X^{\prime }}$ y, por lo tanto, es infracompleto.

Si ${\displaystyle X}$ es un EVT metrizable localmente convexo, entonces para cada subconjunto acotado ${\displaystyle B}$ de ${\displaystyle X,}$ existe un disco ${\displaystyle D}$ acotado en ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle B\subseteq X_{D},}$ y tanto ${\displaystyle X}$ como ${\displaystyle X_{D}}$ inducen la misma topología del subespacio en ${\displaystyle B.}$

Aplicaciones canónicas

La aplicación canónica es la clase de equivalencia ${\displaystyle q_{V}:X\to X_{V}=X/p_{V}^{-1}(0),}$ que es continua cuando ${\displaystyle X_{V}}$ tiene la topología normal o la topología del cociente.

Si ${\displaystyle U}$ y ${\displaystyle V}$ son discos radiales tales como ${\displaystyle U\subseteq V}$, entonces ${\displaystyle p_{U}^{-1}(0)\subseteq p_{V}^{-1}(0)}$, por lo que existe una aplicación canónica sobreyectiva lineal continua ${\displaystyle q_{V,U}:X/p_{U}^{-1}(0)\to X/p_{V}^{-1}(0)=X_{V}}$, definida enviando ${\displaystyle x+p_{U}^{-1}(0)\in X_{U}=X/p_{U}^{-1}(0)}$ a la clase de equivalencia ${\displaystyle x+p_{V}^{-1}(0),}$ donde se puede verificar que la definición no depende del representante de la clase de equivalencia ${\displaystyle x+p_{U}^{-1}(0)}$ que se elija.

Esta aplicación canónica tiene la norma ${\displaystyle \,\leq 1}$, y posee una extensión canónica lineal continua única a ${\displaystyle {\overline {X_{U}}}}$ que se denota por ${\displaystyle {\overline {g_{V,U}}}:{\overline {X_{U}}}\to {\overline {X_{V}}}.}$

Supóngase además que ${\displaystyle B\neq \varnothing }$ y ${\displaystyle C}$ son discos acotados en ${\displaystyle X}$ con ${\displaystyle B\subseteq C}$, de modo que ${\displaystyle X_{B}\subseteq X_{C}}$ y la inclusión ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}}$ sea una aplicación lineal continua. Sean ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}:X_{B}\to X,}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}:X_{C}\to X,}$ y ${\displaystyle \operatorname {In} _{B}^{C}:X_{B}\to X_{C}}$ las aplicaciones canónicas. Entonces, ${\displaystyle \operatorname {In} _{C}=\operatorname {In} _{B}^{C}\circ \operatorname {In} _{C}:X_{B}\to X_{C}}$ y ${\displaystyle q_{V}=q_{V,U}\circ q_{U}.}$

Convergencia rápida

Se dice que una sucesión ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ en un EVT ${\displaystyle X}$ es "rápidamente convergente" a un punto ${\displaystyle x\in X}$ si existe un disco de Banach ${\displaystyle D}$ tal que tanto ${\displaystyle x}$ como la sucesión estén (finalmente) contenidos en ${\displaystyle \operatorname {expan} D}$ y ${\displaystyle x_{\bullet }\to x}$ en ${\displaystyle \left(X_{D},p_{D}\right).}$

Toda sucesión rápidamente convergente es Mackey convergente.