Elemento aleatorio

Variable aleatoria

Una variable aleatoria es el tipo más simple de elemento aleatorio. Es un mapa ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ que es una función medible del conjunto de resultados posibles ${\displaystyle \Omega }$ a ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Como función de valor real, ${\displaystyle X}$ a menudo describe alguna cantidad numérica de un evento determinado. Por ejemplo, el número de caras después de un cierto número de lanzamientos de moneda, o las alturas de diferentes personas.

Cuando la imagen (o rango) de ${\displaystyle X}$ es finita o infinito numerable, la variable aleatoria se denomina variable aleatoria discreta y su distribución se puede describir mediante una función de masa de probabilidad que asigna una probabilidad a cada valor en la imagen de ${\displaystyle X}$. Si la imagen es infinitamente no numerable, entonces ${\displaystyle X}$ se denomina variable aleatoria continua. En el caso especial de que sea absolutamente continua, su distribución puede describirse mediante una función de densidad de probabilidad, que asigna probabilidades a intervalos; en particular, cada punto individual debe tener necesariamente probabilidad cero para una variable aleatoria absolutamente continua. No todas las variables aleatorias continuas son absolutamente continuas, por ejemplo, una distribución de mezcla. Dichas variables aleatorias no pueden describirse mediante una función de densidad de probabilidad ni una función de masa de probabilidad.

Vector aleatorio

Un vector aleatorio es un vector columna ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T}}$ (o su transpuesta, que es un vector fila) cuyos componentes son variables aleatorias escalares con valores en el mismo espacio de probabilidad ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$, donde ${\displaystyle \Omega }$ es el espacio muestral, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ es la σ-álgebra (la colección de todos los eventos), y ${\displaystyle P}$ es la medida de probabilidad (una función que devuelve la probabilidad de cada evento).

Los vectores aleatorios se utilizan a menudo como implementación subyacente de varios tipos de variables aleatorias agregadas, por ejemplo, una matriz aleatoria, un árbol aleatorio, una secuencia aleatoria, un proceso aleatorio, etc.

Matriz aleatoria

Una matriz aleatoria es un elemento aleatorio con valores matriciales. Muchas propiedades importantes de los sistemas físicos pueden representarse matemáticamente como problemas matriciales. Por ejemplo, la conductividad térmica de una red puede calcularse a partir de la matriz dinámica de las interacciones partícula-partícula dentro de la red.

Función aleatoria

Una función aleatoria es un tipo de elemento aleatorio en el que se selecciona un único resultado de una familia de funciones, donde dicha familia consiste en una clase de todas las funciones que mapean el dominio al codominio. Por ejemplo, la clase puede estar restringida a todas las funciones continuas o a todas las funciones escalonadas. Los valores determinados por una función aleatoria evaluada en diferentes puntos de la misma realización generalmente no serían estadísticamente independientes, pero, según el modelo, los valores determinados en el mismo punto o en diferentes puntos de diferentes realizaciones podrían considerarse independientes.

Proceso aleatorio

Un proceso aleatorio (o estocástico) es un conjunto de variables aleatorias que representan la evolución de un sistema de valores aleatorios a lo largo del tiempo. Es el equivalente probabilístico de un proceso determinista (o sistema determinista). En lugar de describir un proceso que solo puede evolucionar de una manera (como, por ejemplo, en el caso de las soluciones de una ecuación diferencial ordinaria), en un proceso estocástico o aleatorio existe cierta indeterminación: incluso si se conoce la condición inicial (o punto de partida), existen varias (a menudo infinitas) direcciones en las que el proceso puede evolucionar.

En el caso simple de tiempo discreto, a diferencia del tiempo continuo, un proceso estocástico implica una secuencia de variables aleatorias y la serie temporal asociada a estas variables aleatorias (por ejemplo, véase cadena de Markov, también conocida como cadena de Markov de tiempo discreto).

Campo aleatorio

Dado un espacio de probabilidad ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ y un espacio medible X, un campo aleatorio con valores en X es una colección de variables aleatorias con valores en X indexadas por elementos en un espacio topológico T. Es decir, un campo aleatorio F es una colección

${\displaystyle \{F_{t}:t\in T\}}$

donde cada ${\displaystyle F_{t}}$ es una variable aleatoria con valor X.

Existen varios tipos de campos aleatorios, entre ellos el campo aleatorio de Markov (MRF), el campo aleatorio de Gibbs (GRF), el campo aleatorio condicional (CRF) y el campo aleatorio gaussiano. Un MRF exhibe la propiedad de Markov:

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|X_{j}=x_{j},i\neq j)=P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i}),\,}$

donde ${\displaystyle \partial _{i}}$ es un conjunto de vecinos de la variable aleatoria X _i. En otras palabras, la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor depende de las otras variables aleatorias solo a través de aquellas que son sus vecinos inmediatos. La probabilidad de una variable aleatoria en un MRF viene dada por

${\displaystyle P(X_{i}=x_{i}|\partial _{i})={\frac {P(\omega )}{\sum _{\omega '}P(\omega ')}},}$

donde Ω' es la misma realización de Ω, excepto por la variable aleatoria X _i. Es difícil calcular esta ecuación sin recurrir a la relación entre MRF y GRF propuesta por Julian Besag en 1974.

Medida aleatoria

Una medida aleatoria es un elemento aleatorio con valor de medida. Sea X un espacio métrico separable completo y ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(X)}$ la σ-álgebra de sus conjuntos de Borel. Una medida de Borel μ en X es finitamente acotada si μ(A) < ∞ para todo conjunto de Borel acotado A. Sea ${\displaystyle M_{X}}$ el espacio de todas las medidas finitas acotadas en ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(X)}$. Sea (Ω, ℱ, P) un espacio de probabilidad, entonces una medida aleatoria mapea de este espacio de probabilidad al espacio medible (${\displaystyle M_{X}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(M_{X})}$). Una medida generalmente podría descomponerse como:

${\displaystyle \mu =\mu _{d}+\mu _{a}=\mu _{d}+\sum _{n=1}^{N}\kappa _{n}\delta _{X_{n}},}$

Aquí ${\displaystyle \mu _{d}}$ es una medida difusa sin átomos, mientras que ${\displaystyle \mu _{a}}$ es una medida puramente atómica.

Conjunto aleatorio

Un conjunto aleatorio es un elemento aleatorio con valores de conjunto.

Un ejemplo específico es un conjunto compacto aleatorio. Sea ${\displaystyle (M,d)}$ un espacio métrico separable completo. Denotamos por ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ el conjunto de todos los subconjuntos compactos de ${\displaystyle M}$. La métrica de Hausdorff ${\displaystyle h}$ en ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ se define por

${\displaystyle h(K_{1},K_{2}):=\max \left\{\sup _{a\in K_{1}}\inf _{b\in K_{2}}d(a,b),\sup _{b\in K_{2}}\inf _{a\in K_{1}}d(a,b)\right\}.}$

${\displaystyle ({\mathcal {K}},h)}$ es también un espacio métrico completo separable. Los subconjuntos abiertos correspondientes generan una σ-álgebra en ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, la σ-álgebra de Borel ${\displaystyle {\mathcal {B}}({\mathcal {K}})}$ de ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$.

Un conjunto compacto aleatorio es una función medible ${\displaystyle K}$ de un espacio de probabilidad ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ en ${\displaystyle ({\mathcal {K}},{\mathcal {B}}({\mathcal {K}}))}$.

Dicho de otro modo, un conjunto compacto aleatorio es una función medible ${\displaystyle K\colon \Omega \to 2^{M}}$ de tal manera que ${\displaystyle K(\omega )}$ es casi seguro compacto y

${\displaystyle \omega \mapsto \inf _{b\in K(\omega )}d(x,b)}$

es una función medible para cada ${\displaystyle x\in M}$.

Objetos geométricos aleatorios

Estos incluyen puntos aleatorios, figuras aleatorias y formas aleatorias.