Identidades de Rogers-Ramanujan

En matemáticas, las identidades de Rogers-Ramanujan son dos expresiones relacionadas con las series hipergeométricas básicas y con las particiones enteras. Fueron inicialmente descubiertas y probadas por Leonard James Rogers en 1894, y posteriormente redescubiertas (sin demostración) poco antes de 1913 por Srinivasa Ramanujan, quien conoció el artículo de Rogers en 1917. Posteriormente publicaron una nueva demostración conjunta (Rogers y Ramanujan, 1919). Issai Schur también había descubierto y probado de forma independiente las identidades en 1917.

Definición

Las identidades de Rogers-Ramanujan son

${\displaystyle G(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots }$ (sucesión A003114 en OEIS)

y

${\displaystyle H(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}=1+q^{2}+q^{3}+q^{4}+q^{5}+2q^{6}+\cdots }$ (sucesión A003106 en OEIS) .

Aquí, ${\displaystyle (\cdot$ ;\cdot )_{n}} denota el símbolo q-Pochhammer.

Interpretación combinatoria

Considérese lo siguiente:

• ${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}}$ es la función generadora de particiones con exactamente ${\displaystyle n}$ partes tales que las partes adyacentes tienen una diferencia de al menos 2.
• ${\displaystyle {\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}}$ es la función generadora de particiones de modo que cada parte sea congruente con 1 o 4 módulo 5.
• ${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}+n}}{(q;q)_{n}}}}$ es la función generadora de particiones con exactamente ${\displaystyle n}$ partes tales que las partes adyacentes tienen una diferencia de al menos 2 y tal que la parte más pequeña es de al menos 2.
• ${\displaystyle {\frac {1}{(q^{2};q^{5})_{\infty }(q^{3};q^{5})_{\infty }}}}$ es la función generadora de particiones de modo que cada parte sea congruente con 2 o 3 módulo 5.

Las identidades de Rogers-Ramanujan podrían interpretarse de la siguiente manera: sea ${\displaystyle n}$ un entero no negativo

1. El número de particiones de ${\displaystyle n}$ de modo que las partes adyacentes difieran en al menos 2 es igual al número de particiones de ${\displaystyle n}$ de modo que cada parte sea congruente con 1 o 4 módulo 5.
2. El número de particiones de ${\displaystyle n}$ tal que las partes adyacentes difieran en al menos 2 y que la parte más pequeña sea al menos 2 es igual al número de particiones de ${\displaystyle n}$ tal que cada parte sea congruente con 2 o 3 módulo 5.

Alternativamente,

1. El número de particiones de ${\displaystyle n}$ tal que con ${\displaystyle k}$ partes la parte más pequeña es al menos ${\displaystyle k}$ es lo mismo que el número de particiones de ${\displaystyle n}$ de modo que cada parte sea congruente con 1 o 4 módulo 5.
2. El número de particiones de ${\displaystyle n}$ tal que con ${\displaystyle k}$ partes la parte más pequeña es al menos ${\displaystyle k+1}$ es lo mismo que el número de particiones de ${\displaystyle n}$ tal que cada parte sea congruente con 2 o 3 módulo 5.

Funciones modulares

Si q = e ^2πiτ, entonces q^−1/60 G(q) y q^11/60 H(q) son funciones modulares de τ.

Aplicaciones

Las identidades de Rogers-Ramanujan aparecieron en la solución de Baxter del modelo hexagonal duro en mecánica estadística.

La fracción continua de Ramanujan es

${\displaystyle 1+{\frac {q}{1+{\frac {q^{2}}{1+{\frac {q^{3}}{1+\cdots }}}}}}={\frac {G(q)}{H(q)}}.}$

Relaciones con álgebras de Lie afines y álgebras de operadores de vértices

James Lepowsky y Robert Lee Wilson fueron los primeros en probar las identidades de Rogers-Ramanujan utilizando exclusivamente técnicas de la teoría de la representación. Probaron estas identidades utilizando módulos de nivel 3 para el álgebra de Lie afín ${\displaystyle {\widehat {{\mathfrak {sl}}_{2}}}}$. En el curso de esta demostración, inventaron y usaron lo que llamaron ${\displaystyle Z}$-álgebras. El enfoque de Lepowsky y Wilson es universal, ya que es capaz de tratar todas las álgebras de Lie afines en todos los niveles. Se puede usar para buscar (y probar) nuevas identidades de partición. El primer ejemplo es el de las identidades de Capparelli descubiertas por Stefano Capparelli utilizando módulos de nivel 3 para el álgebra de Lie afín ${\displaystyle A_{2}^{(2)}}$.

Véase también

• Polinomios de Rogers

Referencias

Bibliografía

• Rogers, L. J.; Ramanujan, Srinivasa (1919), «Proof of certain identities in combinatory analysis.», Cambr. Phil. Soc. Proc. 19: 211-216, Reprinted as Paper 26 in Ramanujan's collected papers .
• Rogers, L. J. (1892), «On the expansion of some infinite products», Proc. London Math. Soc. 24 (1): 337-352, JFM 25.0432.01, doi:10.1112/plms/s1-24.1.337 .
• Rogers, L. J. (1893), «Second Memoir on the Expansion of certain Infinite Products», Proc. London Math. Soc. 25 (1): 318-343, doi:10.1112/plms/s1-25.1.318 .
• Rogers, L. J. (1894), «Third Memoir on the Expansion of certain Infinite Products», Proc. London Math. Soc. 26 (1): 15-32, doi:10.1112/plms/s1-26.1.15 .
• Schur, Issai (1917), «Ein Beitrag zur additiven Zahlentheorie und zur Theorie der Kettenbrüche», Sitzungsberichte der Berliner Akademie: 302-321 .
• W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
• George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
• Bruce C. Berndt, Heng Huat Chan, Sen-Shan Huang, Soon-Yi Kang, Jaebum Sohn, Seung Hwan Son, The Rogers-Ramanujan Continued Fraction, J. Comput. Appl. Math. 105 (1999), pp. 9–24.
• Cilanne Boulet, Igor Pak, A Combinatorial Proof of the Rogers-Ramanujan and Schur Identities Archivado el 15 de septiembre de 2006 en Wayback Machine., Journal of Combinatorial Theory, Ser. A, vol. 113 (2006), 1019–1030.
• Slater, L. J. (1952), «Further identities of the Rogers-Ramanujan type», Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2 54 (2): 147-167, ISSN 0024-6115, MR 0049225, doi:10.1112/plms/s2-54.2.147 .
• James Lepowsky and Robert L. Wilson, Construction of the affine Lie algebra ${\displaystyle A_{1}^{(1)}}$, Comm. Math. Phys. 62 (1978) 43-53.
• James Lepowsky and Robert L. Wilson, A new family of algebras underlying the Rogers-Ramanujan identities, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 78 (1981), 7254-7258.
• James Lepowsky and Robert L. Wilson, The structure of standard modules, I: Universal algebras and the Rogers-Ramanujan identities, Invent. Math. 77 (1984), 199-290.
• James Lepowsky and Robert L. Wilson, The structure of standard modules, II: The case ${\displaystyle A_{1}^{(1)}}$, principal gradation, Invent. Math. 79 (1985), 417-442.
• Stefano Capparelli, Vertex operator relations for affine algebras and combinatorial identities, Thesis (Ph.D.)–Rutgers The State University of New Jersey - New Brunswick. 1988. 107 pp.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Rogers-Ramanujan Identities». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric W. «Rogers-Ramanujan Continued Fraction». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.