Octaedro regular

Octaedro regular
Familia: Sólidos platónicos

Imagen del sólido
Tipo Antiprisma,
Bipirámide,
Politopo de cruce,
Deltaedro,
Politopo de Hanner,
Octaedro,
Sólido platónico,
Poliedro regular,
Simplicial
Caras 8
Aristas 12
Vértices 6
Grupo de simetría Octaédrico (Oh)
Poliedro dual Cubo
Símbolo de Schläfli {3, 4}
Símbolo de Coxeter-Dynkin
Propiedades
Poliedro compuesto, convexo, isoedral, isogonal, isotoxal
Desarrollo
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En geometría, un octaedro regular es un poliedro con ocho caras que son triángulos equiláteros. Conocido por su gran simetría, el octaedro regular es un poliedro regular y uno de los sólidos platónicos. Si sus caras son triángulos isósceles, el octaedro regular se convierte en una bipirámide de base cuadrada. El octaedro regular es un ejemplo de muchos tipos de poliedros, como los deltaedros y los politopos simpliciales.

Los octaedros regulares aparecen en la naturaleza y en la ciencia, como las estructuras de los cristales y en estereoquímica, donde representan las moléculas conocidas por su geometría molecular octaédrica. También aparecen en la cultura popular y en la teoría musical. Pueden ser el núcleo de la construcción de otros poliedros, y recubrirse con diferentes poliedros para crear panales tridimensionales.

Los vértices y aristas de un octaedro regular dan lugar a un grafo, una estructura discreta dibujada en un plano denominada grafo octaédrico, un ejemplo de grafo bien cubierto simplicial de cuatro conexiones. También es uno de los seis grafos conexos en los que la vecindad de cada vértice es un ciclo de longitud cuatro o cinco. Dentro de esta estructura, el grafo forma una superficie topológica llamada triangulación de Whitney.

Propiedades

Un octaedro regular es un poliedro formado por ocho triángulos equiláteros. Cada vértice es la intersección de cuatro aristas y cuatro caras. Por lo tanto, el octaedro regular tiene ocho caras, doce aristas y seis vértices. Es un poliedro convexo y, como cualquier poliedro convexo, tiene característica de Euler 2, según la fórmula . Estas tres letras denotan respectivamente el número de vértices, aristas y caras.

Boceto de un octaedro regular de Johannes Kepler
Modelo del sistema solar ideado por Kepler, basado en los sólidos platónicos

El octaedro regular es uno de los sólidos platónicos, un conjunto de poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares congruentes. Los sólidos platónicos son el antiguo conjunto de cinco poliedros nombrados en honor a Platón, en cuyo diálogo Timeo eran relacionados con los elementos de la naturaleza. El octaedro regular representa el aire. Siguiendo esta vinculación con la naturaleza, Johannes Kepler representó cada uno de los sólidos platónicos en su obra Harmonices mundi. En su Mysterium Cosmographicum, Kepler también propuso un modelo del sistema solar utilizando los sólidos platónicos, colocándolos anidados y con sus seis esferas inscritas, que se correlacionaban con las órbitas de los seis planetas conocidos por entonces. El orden de los sólidos, del más interno al más externo, era el siguiente: octaedro regular, icosaedro regular, dodecaedro regular, tetraedro regular y cubo.

Medidas

Modelo 3D de un octaedro regular

El área de la superficie de un octaedro regular se puede determinar sumando el área de sus ocho triángulos equiláteros. Para obtener su volumen , se puede dividir el octaedro regular en dos pirámides cuadradas (véase Como otros casos especiales), por lo que el volumen resultante es el doble del volumen de cada una de las pirámides. Sea la longitud de la arista de un octaedro regular. Su área superficial y volumen se pueden formular como:

El radio de la esfera circunscrita (que toca el octaedro en todos sus vértices), el radio de la esfera inscrita (tangente a cada una de las caras del octaedro) y el radio de la interesfera (que toca el punto medio de cada arista) son:

El ángulo diedro de un octaedro regular es el ángulo entre dos de sus caras triangulares adyacentes. Se puede obtener a partir del ángulo diedro de una pirámide cuadrada. Se puede construir un octaedro regular uniendo dos pirámides cuadradas equiláteras base con base. Para la pirámide, el ángulo diedro entre un triángulo y un cuadrado es . Por lo tanto, para el octaedro regular, el ángulo diedro entre dos triángulos adyacentes que se puede formar mediante dicha unión es el doble del ángulo cuadrado-triángulo de la pirámide cuadrada. La medida del ángulo también es igual al ángulo entre los dos triángulos adyacentes de la pirámide cuadrada. Es decir:

El octaedro regular tiene dos tipos de geodésicas cerradas, trayectorias que son localmente rectas. En otras palabras, evitan los vértices, siguen segmentos de línea a través de las caras que cruzan y forman ángulos complementarios en las dos caras incidentes de cada arista que cruzan. Estas geodésicas tienen una longitud de y .

El octaedro regular tiene la propiedad del príncipe Ruperto, lo que significa que otro octaedro regular del mismo tamaño o mayor puede pasar a través de un agujero practicado en el octaedro. El nombre original de esta propiedad proviene de Ruperto del Rin, quien se preguntó si un cubo puede pasar a través de un agujero practicado en sí mismo. El matemático inglés John Wallis, quien relató la historia, respondió que era posible, y la solución fue mejorada por el matemático holandés Pieter Nieuwland. Su solución condujo a determinar la geometría del orificio capaz de permitir el paso del poliedro más grande a través de un poliedro del mismo tipo, relación conocida como la constante de Nieuwland. Scriba (1968) descubrió que tanto el octaedro regular como el tetraedro regular tienen la propiedad del príncipe Ruperto. La constante de Nieuwland para el octaedro regular con una longitud de arista unitaria es igual a la del cubo, aproximadamente .

Simetría y dualidad

El dual de un octaedro regular es un cubo, y viceversa. Las marcas blancas × en esta ilustración señalan los vértices de un octaedro regular tangentes a las caras de un cubo. Ambos tienen la misma simetría

El octaedro regular posee grupos de simetría tridimensionales, es decir, simetría octaédrica. El octaedro regular tiene trece ejes de simetría rotacional: tres ejes de simetría rotacional cuádruple (0°, 90°, 180° y 270°) que pasan por un par de vértices opuestos entre sí, cuatro ejes de simetría rotacional triple (0°, 120° y 240°) que pasan por el centro de caras triangulares opuestas, y seis ejes de simetría rotacional doble (0° y 180°) que pasan por los puntos medios de pares de aristas opuestas. Además, el octaedro regular tiene nueve planos de reflexión. Cada uno de los tres planos pasa por cuatro vértices en cada ecuador, y cada uno de los seis planos pasa por el par de vértices opuestos y por los centros de un par de aristas opuestas.

El poliedro conjugado se puede obtener a partir de cada uno de los vértices del poliedro tangentes a un plano mediante un proceso conocido como reciprocación polar. Una propiedad de los poliedros duales es que el poliedro y su dual comparten su grupo puntual de simetría tridimensional. En el caso de un octaedro regular, su poliedro dual es el cubo, y ambos tienen los mismos grupos de simetría tridimensionales. Al igual que su dual, el octaedro regular tiene tres propiedades: cualquier par de caras, dos vértices o dos aristas se transforman mediante rotación y reflexión bajo la órbita de simetría, de modo que su apariencia permanece inalterada, lo que se corresponde respectivamente con las propiedades de ser isoedral, isogonal e isotoxal. En consecuencia, reúne las condiciones que definen a un poliedro regular. Cuatro triángulos rodean cada vértice, por lo que el octaedro regular posee la configuración de vértices , equivalente al símbolo de Schläfli .

Estructura combinatoria

El octaedro regular dibujado en un grafo. Sus seis vértices se pueden agrupar en tres colores diferentes (azul, rojo y verde). Es un grafo tripartito completo y un grafo de Turán , como se muestra en la ilustración

El octaedro regular se puede representar como un grafo, una estructura en teoría de grafos que consiste en un conjunto de vértices conectados por aristas. Esto es posible gracias al teorema de Steinitz, que establece que el grafo de vértices y aristas de un poliedro se puede representar siempre que cumpla las siguientes propiedades: debe ser plano (de forma que ninguna arista se cruce con otra) y 3-conexo (ser -conexo significa que el grafo siempre permanece conectado aunque se eliminen cualesquiera de sus vértices). Su grafo se denomina grafo octaédrico, un grafo poliédrico. Tiene el mismo número de vértices y aristas que el octaedro regular: seis vértices y doce aristas.

Seis vértices del grafo octaédrico se pueden repartir en tres conjuntos independientes, que contienen pares diferentes de dos vértices opuestos. Por lo tanto, es un grafo tripartito completo, designado como . Es un ejemplo de un grafo de Turán , que tiene tres cajeidades que representan grafos de estructuras abstractas mediante la intersección de cajas paralelas a los ejes en el espacio euclídeo de dimensión mínima.

Como un simplicial 4-conexo, el grafo octaédrico es uno de los cuatro únicos poliedros bien recubierto, lo que significa que todos los conjuntos independientes máximos de sus vértices tienen el mismo tamaño (es decir, el mismo número de aristas). Los otros tres poliedros con esta propiedad son la bipirámide pentagonal, el biesfenoide romo y un poliedro irregular con 12 vértices y 20 caras triangulares.

El grafo octaédrico es uno de los seis únicos grafos conexos en los que la vecindad de cada vértice es un ciclo de longitud cuatro o cinco. Los otros son el grafo de Fritsch, el grafo icosaédrico y los grafos de aristas de la bipirámide pentagonal, del biesfenoide romo y de la bipirámide cuadrada giroelongada. En términos más generales, cuando cada vértice de un grafo tiene un ciclo de longitud al menos cuatro como vecindario, los triángulos del grafo se unen automáticamente para formar una superficie topológica llamada triangulación de Whitney. Estos seis grafos provienen de las seis triangulaciones de Whitney que, cuando sus triángulos son equiláteros, tienen defecto angular positivos en cada vértice. Esto los convierte en un análogo combinatorio de las superficies lisas de curvatura positiva. Provienen de seis de los ocho deltaedros, excluyendo los dos que tienen un vértice con un vecindario triangular.

Ejemplos

Más allá de su existencia como sólido platónico, el octaedro regular aparece en muchos campos, como la naturaleza y la ciencia, la cultura popular y la teoría musical.

En la naturaleza y la ciencia

Cristal de fluorita, con estructura octaédrica

Los cristales naturales con estructuras octaédricas se encuentran comúnmente en el diamante, el alumbre, la pirita (aunque también cuenta con otras estructuras poliédricas), y la fluorita. Las placas de la aleación camacita presentes en meteoritos con estructura de octaedrita se disponen paralelas a las ocho caras de un octaedro. Muchos iones metálicos coordinados presentan seis ligandos en una configuración octaédrica u octaédrica. distorsionada. La forma octaédrica también está presente en la estructura de Widmanstätten de los cristales de níquel-hierro. En estereoquímica se habla de geometría molecular octaédrica cuando la estructura de una molécula se asemeja a un octaedro regular. Esta estructura tiene un elemento representativo sin un par solitario activo, que puede describirse mediante un modelo que predice la geometría de las moléculas conocidas como tRePEV.

El radiolario Circoporus octahedrus tiene forma octaédrica.

El octaedro regular es la solución conocida de un caso de seis electrones para el problema de Thomson, que corresponde a la configuración de mínima energía de partículas cargadas situadas sobre una esfera. La solución se obtiene colocando los vértices de un octaedro regular en su esfera circunscrita.

Si cada arista de un octaedro se reemplaza por una resistencia de 1 ohmio, la resistencia entre vértices opuestos es ohm, y la resistencia entre vértices adyacentes es ohm.

Dos Serpientes de Rubik con la misma forma pueden aproximarse a un octaedro

En juegos de rol, este sólido se conoce como "d8", uno de los dados poliédricos más comunes.

En teoría musical

El octaedro regular se utiliza en afinación, conocido como hexania. Inventado por el teórico musical mexicano-estadounidense Erv Wilson, la hexania utiliza el operador de proyección del octaedro. Seis notas musicales pueden disponerse en los vértices de un octaedro de tal manera que cada arista represente una díada consonante (un conjunto de dos notas o alturas) y cada cara represente una tríada consonante (un conjunto de tres notas iguales).

Como otros casos especiales

Bipirámide cuadrada
El dual de una bipirámide cuadrada, el prisma cuadrado

Un octaedro regular es uno de los ocho deltaedros convexos, cuyas caras son todas triángulos equiláteros. Es un poliedro compuesto construido uniendo dos pirámides cuadradas base con base. Cuando las pirámides cuadradas son simplemente pirámides rectas, el octaedro regular se convierte en una bipirámide cuadrada, cuyas caras son todas triángulos isósceles. En el caso de una bipirámide cuadrada, su dual es un ortoedro. Independientemente de los diferentes tipos de triángulos, tanto un octaedro regular como una bipirámide cuadrada son ejemplos de un politopo simplicial.

El octaedro regular es un tipo de antiprisma trigonal, formado al tomar un prisma trigonal con bases triangulares equiláteras y caras laterales rectangulares, y reemplazar los rectángulos por triángulos isósceles alternados. En el caso del octaedro regular, todas las caras resultantes son triángulos equiláteros congruentes.

El octaedro regular también puede considerarse un tetraedro rectificado, a veces llamado tetratetraedro (por analogía con el cuboctaedro y el icosidodecaedro). Si se considera que las caras alternas tienen diferentes tipos (por ejemplo, diferentes colores u orientaciones), el octaedro puede considerarse un tipo de poliedro cuasiregular, un poliedro en el que dos tipos diferentes de caras poligonales se alternan alrededor de cada vértice. Existe en una secuencia de simetrías de poliedros cuasirregulares y teselaciones con configuración de vértices , que progresan desde teselaciones de la esfera hasta el plano euclídeo y el plano hiperbólico. Con simetría en notación orbifold , todas estas teselaciones son construcciones de Wythoff dentro de un dominio fundamental de simetría, con puntos generadores en el vértice del dominio.

Simetrías *n32 orbifold de teselaciones cuasirregulares: (3.n)2

Construcción		 Esférico Euclídeo Hiperbólico
*332 *432 *532 *632 *732 *832... *∞32
Quasiregular
figures
Vertex (3.3)2 (3.4)2 (3.5)2 (3.6)2 (3.7)2 (3.8)2 (3.∞)2

Un octaedro regular es el caso tridimensional del concepto más general de politopo de cruce.

Figuras relacionadas

En la construcción de poliedros

El octaedro regular representa la intersección central de dos tetraedros
El octaedro truncado se obtiene seccionando los vértices de un octaedro regular
El triaquisoctaedro, se genera mediante la unión de pirámides triangulares en cada cara

Varias construcciones de poliedros parten del octaedro regular:

Panales

Panal tetraédrico-octaédrico mediante octaedros y tetraedros regulares
Panal cúbico rectificado mediante octaedros regulares y cuboctaedros

El invariante de Dehn de un octaedro regular se define como un producto tensorial de la longitud de la arista y el ángulo diedro de un octaedro regular

que es distinto de cero. Todo poliedro con un invariante de Dehn igual a cero puede recubrir el espacio con su copia uniendo sus caras, formando un panal. Sin embargo, el octaedro regular no puede recubrir el espacio. En cambio, dos poliedros diferentes que se unen para recubrir el espacio pueden tener un invariante de Dehn igual a cero. En el caso de un octaedro regular, puede recubrir alternativamente con tetraedros regulares para formar una teselación del espacio uniforme en vértices, aristas y caras, denominada panal tetraédrico-octaédrico. Richard Buckminster Fuller, en la década de 1950, aplicó estos poliedros alternados como una malla espacial, que desarrolló la estructura de construcción más resistente para soportar tensiones en voladizo. Otro panal tesela los octaedros regulares alternativamente con cuboctaedros, denominado panal cúbico.

Miscelánea

Estas seis disposiciones de ocho triángulos equiláteros son algunas de las once secuencias posibles del desarrollo de un octaedro regular

El octaedro regular tiene once desarrollos diferentes. Una red es la disposición de ocho triángulos equiláteros que, al unirse por sus aristas, forman las caras de un octaedro regular.

Un octaedro regular es un politopo de cruce en el espacio tridimensional. Se puede orientar y escalar de modo que sus ejes se alineen con los ejes coordenados y sus vértices tengan coordenadas , y . Dicho octaedro tiene una longitud de arista ⁠⁠. El octaedro regular es un politopo de Hanner, porque se puede construir utilizando la suma directa de tres segmentos rectilíneos. Su poliedro dual, el cubo, se construye mediante el producto cartesiano de tres segmentos rectilíneos. De manera más general, todo politopo cruzado y su dual, el hipercubo, son politopos de Hanner en cualquier espacio de dimensiones superiores.

Compuestos de octaedros

Los politopos compuestos, en los que los octaedros regulares comparten el mismo centro, son uniformes, lo que significa que son compuestos poliédricos cuyos constituyentes son idénticos (aunque también pueden ser poliedros uniformes quirales), en una disposición que también es uniforme. La lista de compuestos enumerados por Skilling (1976) para los compuestos de cuatro octaedros (con libertad de rotación), ocho octaedros, veinte octaedros (con libertad de rotación), dos compuestos de cinco octaedros diferentes y un compuesto de cinco octaedros. El compuesto de tres octaedros apareció en el manuscrito del siglo XV De quinque corporibus regularibus de Piero della Francesca, en el que el compuesto se dibuja circunscrito a un cubo (aunque no representa el compuesto); en la fotografía del modelo de la literatura matemática de Max Brückner de 1900, junto con la explicación del compuesto; y en el grabado en madera de M. C. Escher de 1948, Stars, en el que se utilizó como figura central una jaula con esta forma que contenía dos camaleones flotando en el espacio.

Octaedro esférico

El octaedro esférico representa un octaedro regular proyectado sobre una esfera, como uno de los poliedros esféricos. Hay ocho triángulos esféricos, formados por arcos de círculos máximos. Fuller identificó que hay 25 círculos máximos.

Un octaedro regular es una 3-bola en la geometría del taxista de métrica (ℓ1).

Ortoesquema característico

Como todos los politopos convexos regulares, el octaedro puede ser diseccionado en un número entero de ortoesquemas de Schläfli disjuntos, todos con la misma forma característica del politopo. El ortoesquema característico de un politopo es una propiedad fundamental, porque el politopo se genera por reflexiones de su de su ortoesquema en una serie de facetas. El ortoesquema aparece en dos formas de quiralidad, que son imágenes especulares una de la otra. El ortoesquema característico de cualquier poliedro regular es un tetraedro irregular cuadrirrectangular.

Las caras del tetraedro característico del octaedro se encuentran en los planos de simetría del octaedro de simetría. El octaedro es único entre los sólidos platónicos por tener un número par de caras que convergen en cada vértice. En consecuencia, es el único miembro de ese grupo que posee, entre sus planos de simetría, algunos que no pasan por ninguna de sus caras. El grupo de simetría del octaedro se denota como B3. El octaedro y su poliedro conjugado, el cubo, tienen el mismo grupo de simetría pero tetraedros característicos diferentes.

El tetraedro característico del octaedro regular se puede encontrar mediante una disección canónica del octaedro regular que lo subdivide en 48 de estos ortoesquemas característicos que rodean el centro del octaedro. Tres ortoesquemas levógiros y tres ortoesquemas dextrógiros se encuentran en cada una de las ocho caras del octaedro, y los seis ortoesquemas forman colectivamente un tetraedro trirrectangular: una pirámide triangular con la cara del octaedro como su base equilátera y su vértice de esquina cúbica en el centro del octaedro.

Características del octaedro regular
Arista Arco Diedro
𝒍 90° 109°28'
𝟀 54°44'8'' 90°
𝝉 45° 60°
𝟁 35°15'52'' 45°
35°15'52''

Si el octaedro tiene una longitud de arista 𝒍 = 2, las seis aristas de su tetraedro característico tienen longitudes , , alrededor de su cara exterior triangular rectángula (las aristas opuestas a los ángulos característicos 𝟀, 𝝉, 𝟁), más , , (aristas que son los radios característicos del octaedro). El camino de 3 aristas en las aristas ortogonales del ortoesquema es , , , primero desde un vértice del octaedro hasta el centro de una arista del octaedro, luego girando 90° hasta el centro de una cara del octaedro, y finalmente girando 90° hasta el centro del octaedro. El ortoesquema tiene cuatro caras triangulares rectángulas disímiles. La cara exterior es un triángulo de ángulos 90-60-30, que es un sexto de una cara del octaedro. Las tres caras interiores del octaedro son: un triángulo 45-90-45 con aristas , , ; un triángulo rectángulo con aristas , , ; y un triángulo rectángulo con aristas , , .

Véase también

Referencias

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  57. ↑ Coxeter, 1973, Characteristic tetrahedra; Fig. 4.7A.
  58. ↑ Coxeter, 1973, Tabla I(i); "Octaedro, 𝛽3".
  59. 1 2 (Coxeter, 1973) usa la letra griega 𝝓 (phi) para representar uno de los tres ángulos característicos 𝟀, 𝝓, 𝟁 de un politopo regular. Debido a que 𝝓 comúnmente se usa para representar la constante número áureo ≈ 1.618, para la cual Coxeter usa 𝝉 (tau), aquí se invierten las convenciones de Coxeter y se usa 𝝉 para representar el ángulo característico.

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