Poliedro ideal

Un octaedro regular ideal en el modelo de la bola de Poincaré del espacio hiperbólico (no se muestra la esfera del infinito). Todos los ángulos diedros de esta figura son rectos.

Animación de un icosaedro ideal en el modelo de Klein del espacio hiperbólico

En geometría hiperbólica tridimensional, un poliedro ideal es un poliedro convexo cuyos vértices son todos puntos ideales, es decir, puntos «en el infinito» en lugar de puntos interiores del espacio hiperbólico tridimensional. Puede definirse como la envolvente convexa de un conjunto finito de puntos ideales. Las caras de un poliedro ideal son polígonos ideales, que se unen a lo largo de rectas del espacio hiperbólico.

Los sólidos platónicos y los sólidos arquimedianos tienen versiones ideales, con la misma estructura combinatoria que sus versiones euclídeas, más conocidas. Varios panales hiperbólicos uniformes dividen el espacio hiperbólico en celdas con estas formas, de modo muy parecido a la conocida división del espacio euclídeo en cubos. Sin embargo, no todos los poliedros tienen versiones ideales: un poliedro solo puede ser ideal si puede representarse en el espacio euclídeo con todos sus vértices sobre una esfera circunscrita. Mediante programación lineal puede comprobarse en tiempo polinómico si un poliedro tiene una versión ideal.

Dos poliedros ideales cualesquiera con el mismo número de vértices tienen la misma área de superficie, y el volumen de un poliedro ideal puede calcularse mediante la función de Lobachevski. La superficie de un poliedro ideal forma una variedad hiperbólica, topológicamente equivalente a una esfera perforada, y cada una de estas variedades forma la superficie de un único poliedro ideal.

Ejemplos y contraejemplos

Puede construirse un poliedro ideal como la envolvente convexa de un conjunto finito de puntos ideales del espacio hiperbólico, siempre que no estén todos en un mismo plano. La figura resultante es la intersección de todos los semiespacios cerrados que tienen esos puntos ideales como puntos límite. También puede reinterpretarse como poliedro ideal cualquier poliedro convexo euclídeo que tenga una esfera circunscrita, interpretando el interior de la esfera como un modelo de Klein del espacio hiperbólico. En el modelo de Klein, todo poliedro euclídeo contenido en la esfera representa un poliedro hiperbólico, y todo poliedro euclídeo con sus vértices sobre la esfera representa un poliedro ideal.

Todo poliedro convexo isogonal (aquel cuyas simetrías llevan cualquier vértice a cualquier otro) puede representarse como poliedro ideal respetando sus simetrías, porque tiene una esfera circunscrita centrada en el centro de simetría del poliedro. En particular, esto implica que todos los sólidos platónicos y arquimedianos tienen formas ideales. Sin embargo, otra clase de poliedros muy simétricos, los sólidos de Catalan, no tienen todos formas ideales. Los sólidos de Catalan son los poliedros duales de los sólidos arquimedianos y tienen simetrías que llevan cualquier cara a cualquier otra. Entre los sólidos de Catalan que no pueden ser ideales están el rombododecaedro y el triaquistetraedro.

Al eliminar ciertas ternas de vértices del triaquistetraedro, los vértices restantes quedan separados en varias componentes conexas. Cuando no existe tal separación por tres vértices, se dice que el poliedro es 4-conexo. Todo poliedro 4-conexo tiene una representación como poliedro ideal; por ejemplo, esto ocurre con el tetraquishexaedro, otro sólido de Catalan.

Al truncar un único vértice de un cubo se obtiene un poliedro simple (con tres aristas por vértice) que no puede realizarse como poliedro ideal; por el teorema de los seis círculos de Miquel, si siete de los ocho vértices de un cubo son ideales, el octavo vértice también lo es, y por tanto los vértices creados al truncarlo no pueden ser ideales. También existen poliedros con cuatro aristas por vértice que no pueden realizarse como poliedros ideales. Si un poliedro simplicial (con todas las caras triangulares) tiene todos sus vértices de grado entre cuatro y seis (ambos incluidos), entonces tiene una representación ideal; pero el triaquistetraedro es simplicial y no ideal, y el ejemplo no ideal 4-regular anterior muestra que, para poliedros no simpliciales, tener todos los grados en este intervalo no garantiza una realización ideal.

Un poliedro apilado es un poliedro que puede obtenerse pegando tetraedros cara con cara. Puede describirse combinatoriamente mediante un árbol dual, cuyos vértices son los tetraedros y cuyas aristas unen los pares de tetraedros pegados entre sí. El poliedro resultante es ideal si y solo si este árbol tiene como máximo tres aristas por vértice. Por ejemplo, el triaquistetraedro y el poliedro de Goldner-Harary son poliedros apilados cuyos árboles duales tienen, respectivamente, uno y dos vértices de grado cuatro, y todos los demás vértices son hojas del árbol dual. Por tanto, estos poliedros no son ideales.

Propiedades

Caracterización y reconocimiento

No todos los poliedros convexos son combinatoriamente equivalentes a poliedros ideales. René Descartes intentó, sin éxito, la caracterización geométrica de los poliedros inscritos en su manuscrito De solidorum elementis, de hacia 1630. La cuestión de encontrar una caracterización combinatoria de los poliedros ideales, análoga al teorema de Steinitz que caracteriza los poliedros convexos euclídeos, fue planteada por Jakob Steiner en 1832; Hodgson, Rivin y Smith (1992) dieron una caracterización numérica (y no combinatoria). Su caracterización se basa en que los ángulos diedros de un poliedro ideal que inciden en un mismo vértice ideal deben tener ángulos suplementarios que sumen exactamente ${\displaystyle 2\pi }$, mientras que los ángulos suplementarios que cruza cualquier curva de Jordan sobre la superficie del poliedro que tenga más de un vértice a cada lado deben sumar más. Por ejemplo, en el cubo ideal, los ángulos diedros miden ${\displaystyle \pi /3}$ y sus suplementos, ${\displaystyle 2\pi /3}$. Los tres ángulos suplementarios en un mismo vértice suman ${\displaystyle 2\pi }$, pero los cuatro ángulos que cruza una curva situada a medio camino entre dos caras opuestas suman ${\displaystyle 8\pi /3>2\pi }$, y otras curvas cruzan todavía más de estos ángulos, con sumas aún mayores. Hodgson, Rivin y Smith (1992) demuestran que un poliedro convexo es equivalente a un poliedro ideal si y solo si es posible asignar a sus aristas números con las mismas propiedades: todos estos números están entre ${\displaystyle 0}$ y ${\displaystyle \pi }$, suman ${\displaystyle 2\pi }$ en cada vértice y suman más de ${\displaystyle 2\pi }$ en cada ciclo no facial del grafo dual. Cuando existe tal asignación, hay un único poliedro ideal cuyos ángulos diedros son suplementarios de estos números. Como consecuencia de esta caracterización, la realizabilidad como poliedro ideal puede expresarse como un programa lineal con un número exponencial de restricciones (una por cada ciclo no facial), y comprobarse en tiempo polinómico mediante el algoritmo del elipsoide.

Dillencourt y Smith (1995) dieron una caracterización más combinatoria para el caso particular de los poliedros simples, es decir, poliedros en los que cada vértice (ideal) es común a tres caras y tres aristas. Según su caracterización, un poliedro simple es ideal o inscribible si y solo si se cumple una de dos condiciones: o bien el grafo del poliedro es un grafo bipartito y su grafo dual es 4-conexo, o bien es un grafo 1-supertenaz. En esta condición, ser 1-supertenaz es una variante de la tenacidad de un grafo: significa que, para todo conjunto ${\displaystyle S}$ de más de un vértice del grafo, al eliminar ${\displaystyle S}$ del grafo queda un número de componentes conexas estrictamente menor que ${\displaystyle |S|}$. A partir de esta caracterización, encontraron un algoritmo combinatorio de tiempo lineal para comprobar si un poliedro simple puede realizarse como poliedro ideal.

Panales

Panales de poliedros regulares ideales

tetraédrico de orden 6

cúbico de orden 6

octaédrico de orden 4

dodecaédrico de orden 6

Como el tetraedro, el cubo, el octaedro y el dodecaedro regulares ideales tienen ángulos diedros que son fracciones enteras de ${\displaystyle 2\pi }$, todos ellos pueden teselar el espacio hiperbólico y formar un panal regular. En esto se diferencian de los sólidos regulares euclídeos, entre los que solo el cubo puede teselar el espacio. El tetraedro, el cubo, el octaedro y el dodecaedro ideales forman, respectivamente, el panal tetraédrico de orden 6, el panal cúbico de orden 6, el panal octaédrico de orden 4 y el panal dodecaédrico de orden 6; aquí, el orden indica el número de celdas que concurren en cada arista. Sin embargo, el icosaedro ideal no tesela el espacio de la misma manera.

La descomposición de Epstein-Penner, una construcción de D. B. A. Epstein y R. C. Penner (Epstein y Penner, 1988), permite descomponer cualquier variedad hiperbólica tridimensional con cúspides en poliedros ideales y representar la variedad como el resultado de pegar entre sí estos poliedros ideales. Cada variedad que puede representarse de esta forma tiene un número finito de representaciones. El recubrimiento universal de la variedad hereda la misma descomposición, que forma un panal de poliedros ideales. Ejemplos de variedades con cúspides que dan lugar a panales de esta manera surgen de forma natural como los complementos de enlaces hiperbólicos, que tienen una cúspide por cada componente del enlace. Por ejemplo, el complemento del nudo de ocho está asociado de esta manera al panal tetraédrico de orden 6, y el complemento de los anillos de Borromeo está asociado del mismo modo al panal octaédrico de orden 4. Estos dos panales, y otros tres que usan el cuboctaedro, el prisma triangular y el tetraedro truncado ideales, aparecen en el estudio de los grupos de Bianchi, y provienen de variedades con cúspides formadas como cocientes del espacio hiperbólico por subgrupos de grupos de Bianchi. Estas mismas variedades también pueden interpretarse como complementos de enlaces.

Superficie como variedad

La superficie de un poliedro ideal (sin incluir sus vértices) forma una variedad, topológicamente equivalente a una esfera perforada, con una geometría hiperbólica bidimensional uniforme; los pliegues de la superficie en su inmersión en el espacio hiperbólico no se detectan como pliegues en la geometría intrínseca de la superficie. Como esta superficie puede dividirse en triángulos ideales, su área total es finita. Recíprocamente, y de forma análoga al teorema de unicidad de Aleksándrov, toda variedad bidimensional con geometría hiperbólica uniforme y área finita, combinatoriamente equivalente a una esfera con un número finito de perforaciones, puede realizarse como la superficie de un poliedro ideal (al igual que en el teorema de Aleksándrov, debe permitirse que estas superficies incluyan diedros ideales). Desde este punto de vista, la teoría de los poliedros ideales tiene una estrecha relación con las aproximaciones discretas de las transformaciones conformes.

Las superficies de los poliedros ideales también pueden considerarse de manera más abstracta como espacios topológicos formados pegando triángulos ideales mediante isometrías a lo largo de sus aristas. Para cada una de estas superficies, y para cada curva cerrada que no se limite a rodear un único vértice del poliedro (una o más veces) sin separar ningún otro, existe una única geodésica en la superficie que es homótopa a la curva dada. En este aspecto, los poliedros ideales difieren de los poliedros euclídeos (y de sus modelos de Klein euclídeos): por ejemplo, en un cubo euclídeo, cualquier geodésica puede cruzar como mucho dos aristas consecutivas incidentes en un mismo vértice antes de cruzar una arista no incidente, pero las geodésicas del cubo ideal no tienen esta limitación.

Véase también

• Poliedro canónico, un poliedro en el que cada arista es tangente a una esfera común

Referencias