Superfice de Enriques

En matemáticas, las superficies de Enriques son superficies algebraicas tales que la irregularidad q = 0 y el haz de rectas canónico K es no trivial pero tiene un cuadrado trivial. Todas las superficies de Enriques son proyectivas (y, por lo tanto, de Kähler sobre los números complejos) y son superficies elípticas de genus 0. Sobre cuerpos de característica distinta de 2, son cocientes de una superficie K3 por un grupo de orden 2 actuando sin puntos fijos; y su teoría es similar a la de las superficies algebraicas K3. Las superficies de Enriques fueron estudiadas en detalle por primera vez por Enriques (1896) como respuesta a una pregunta planteada por Castelnuovo (1895) sobre si una superficie con q = p_g = 0 es necesariamente racional, aunque algunas de las congruencias de Reye introducidas anteriormente por Reye (1882) también son ejemplos de superficies de Enriques.

Las superficies de Enriques también pueden definirse sobre otros cuerpos. Sobre cuerpos de característica distinta de 2, Artin (1960) demostró que la teoría es similar a la de los números complejos. Sobre cuerpos de característica 2, la definición se modifica y aparecen dos nuevas familias, denominadas superficies de Enriques singulares y supersingulares, descritas por Bombieri y Mumford (1976). Estas dos familias adicionales están relacionadas con los dos esquemas de grupos algebraicos no discretos de orden 2 en característica 2.

Deben su nombre al matemático italiano Federigo Enriques (1871-1946).

Invariantes de superficies de Enriques complejas

Los plurigéneros P_n son 1 si n es par y 0 si n es impar. El grupo fundamental tiene orden 2. El segundo grupo de cohomología H²(X, Z) es isomorfo a la suma del único retículo unimodular par II_1,9 de dimensión 10 y signatura -8 y un grupo de orden 2.

Las superficies de Enriques marcadas forman una familia conexa de 10 dimensiones, que Kondo (1994) demostró que es racional.

Característica 2

En la característica 2 aparecen nuevas familias de superficies de Enriques, a veces denominadas superficies cuasi de Enriques, superficies de Enriques no clásicas o superficies de Enriques (super)singulares. Aquí, el término "singular" no implica que la superficie tenga singularidades, sino que es "especial" de alguna manera.

En la característica 2, la definición de superficies de Enriques se modifica: se definen como superficies mínimas cuya clase canónica K es numéricamente equivalente a 0 y cuyo segundo número de Betti es 10 (en características distintas de la 2, esto equivale a la definición habitual). Así, se definebn 3 familias de superficies de Enriques:

• Clásica: dim(H¹(O)) = 0. Esto implica 2K = 0, pero K es distinto de cero, y Pic^τ es Z/2Z. La superficie es un cociente de una superficie de Gorenstein singular reducida mediante el esquema de grupo μ₂.

• Singular: dim(H¹(O)) = 1 y recibe una acción no trivial por el endomorfismo de Frobenius. Esto implica que K = 0, y Pic^τ es μ₂. La superficie es un cociente de una superficie K3 mediante el esquema de grupo Z/2Z.

• Supersingular: dim(H¹(O)) = 1 y recibe una acción trivial por el endomorfismo de Frobenius. Esto implica que K = 0, y Pic^τ es α₂. La superficie es un cociente de una superficie de Gorenstein singular reducida mediante el esquema de grupo α₂.

Todas las superficies de Enriques son elípticas o cuasi elípticas.

Ejemplos

• Una congruencia de Reye es la familia de rectas contenidas en al menos dos cuádricas de un sistema lineal tridimensional de cuádricas dado en P³. Si el sistema lineal es genérico, la congruencia de Reye es una superficie de Enriques. Estas fueron halladas por Reye (1882) y podrían ser los primeros ejemplos de superficies de Enriques.

• Considérese una superficie de grado 6 en el espacio proyectivo tridimensional con rectas dobles a lo largo de las aristas de un tetraedro, como por ejemplo:

${\displaystyle w^{2}x^{2}y^{2}+w^{2}x^{2}z^{2}+w^{2}y^{2}z^{2}+x^{2}y^{2}z^{2}+wxyzQ(w,x,y,z)=0}$

para algún polinomio homogéneo Q general de grado 2. Su normalización es una superficie de Enriques. Esta es la familia de ejemplos hallada por Enriques (1896).

• El cociente de una superficie K3 por una involución sin punto fijo es una superficie de Enriques, y todas las superficies de Enriques de característica distinta de 2 pueden construirse de esta manera. Por ejemplo, si S es la superficie K3 w⁴ + x⁴ + y⁴ + z⁴ = 0 y T es el automorfismo de orden 4 que transforma (w,x,y,z) en (w,ix,–y,–iz), entonces T² tiene ocho puntos fijos. Al multiplicar estos ocho puntos por Texplotada y tomar el cociente por T² se obtiene una superficie K3 con una involución T libre de puntos fijos, y el cociente de esta por T es una superficie de Enriques. Alternativamente, la superficie de Enriques se puede construir tomando el cociente de la superficie original por el automorfismo de orden 4 T y resolviendo los ocho puntos singulares del cociente. Otro ejemplo se obtiene al tomar la intersección de tres cuádricas de la forma P_i(u,v,w) + Q_i(x,y,z) = 0 y calcular el cociente mediante la involución que transforma (u:v:w:x:y:z) en (–x:–y:–z:u:v:w). Para cuádricas genéricas, esta involución es una involución sin puntos fijos de una superficie K3, por lo que el cociente es una superficie de Enriques.

Véase también

• Anexo:Superficies algebráicas
• Clasificación de Enriques-Kodaira
• Variedad supersingular

Referencias

Bibliografía

• Artin, Michael (1960), On Enriques surfaces, PhD thesis, Harvard .
• Compact Complex Surfaces de Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris A.M. Peters, Antonius Van de Ven ISBN 3-540-00832-2. Este es el libro de referencia estándar para superficies complejas compactas.
• Bombieri, Enrico; Mumford, David (1976), «Enriques' classification of surfaces in char. p. III.», Inventiones Mathematicae 35 (1): 197-232, Bibcode:1976InMat..35..197B, ISSN 0020-9910, MR 0491720, S2CID 122816845, doi:10.1007/BF01390138 .
• Castelnuovo, G. (1895), «Sulle superficie di genere zero», Mem. Delle Soc. Ital. Delle Scienze, Série III 10: 103-123 .
• Cossec, François R.; Dolgachev, Igor V. (1989), Enriques surfaces. I, Progress in Mathematics 76, Boston: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3417-9, MR 986969 .
• Dolgachev, Igor V. (2016), A brief introduction to Enriques surfaces .
• Enriques, Federigo (1896), «Introduzione alla geometria sopra le superficie algebriche.», Mem. Soc. Ital. Delle Scienze 10: 1-81 .
• Enriques, Federigo (1949), Le Superficie Algebriche, Nicola Zanichelli, Bologna, MR 0031770 .
• Kondo, Shigeyuki (1994), «The rationality of the moduli space of Enriques surfaces», Compositio Mathematica 91 (2): 159-173 .
• Reye, T. (1882), Die Geometrie der Lage, Leipzig: Baumgärtnerś Buchhandlung .