Superficie K3

En matemáticas, una superficie K3 analítica compleja es una variedad compleja compacta y conexa de dimensión 2 con un haz canónico trivial y cero irregularidades. Una superficie K3 (algebraica) sobre cualquier cuerpo se refiere a una superficie algebraica suave, propia y geométricamente conexa, que satisface las mismas condiciones. En la clasificación de superficies de Enriques-Kodaira, las superficies K3 constituyen una de las cuatro clases de superficies minimales de dimensión de Kodaira cero. Un ejemplo sencillo es la superficie cuártica de Fermat ${\textstyle x^{4}+y^{4}+z^{4}+w^{4}=0}$ en el espacio proyectivo complejo tridimensional.

Junto con los toros complejos compactos bidimensionales, las superficies K3 son variedades de Calabi-Yau (y también son variedades hiperkähler) de dimensión dos. Como tales, ocupan un lugar central en la clasificación de superficies algebraicas, situándose entre las superficies de del Pezzo de curvatura positiva (que son fáciles de clasificar) y las superficies de curvatura negativa de tipo general (que son esencialmente inclasificables). Las superficies K3 pueden considerarse las variedades algebraicas más simples cuya estructura no se reduce a curvas o variedades abelianas, y en las que, sin embargo, es posible alcanzar una comprensión sustancial. Una superficie K3 compleja tiene dimensión real 4 y desempeña un papel importante en el estudio de las 4-variedades suaves. Las superficies K3 se han aplicado al álgebra de Kac-Moody, a la simetría especular y a la teoría de cuerdas.

Puede resultar útil considerar las superficies K3 algebraicas complejas como parte de la familia más amplia de superficies K3 analíticas complejas. Muchos otros tipos de variedades algebraicas no presentan tales deformaciones no algebraicas.

Definición

Existen varias formas equivalentes de definir las superficies K3. Las únicas superficies complejas compactas con haz canónico trivial son las superficies K3 y los toros complejos compactos. Por lo tanto, se puede añadir cualquier condición que excluya a estos últimos para definir las superficies K3. Por ejemplo, es equivalente definir una superficie K3 analítica compleja como una variedad compleja compacta simplemente conexa de dimensión 2 que posee una 2-forma holomorfa que no se anula en ningún punto (esta última condición indica precisamente que el haz canónico es trivial).

También existen algunas variantes de la definición. En el cuerpo de los números complejos, algunos autores consideran únicamente las superficies K3 algebraicas (una superficie K3 algebraica es automáticamente proyectiva compacta y conexa). O bien, se puede permitir que las superficies K3 tengan singularidades de du Val (singularidades canónicas de dimensión 2), en lugar de ser lisas.

Cálculo de los números de Betti

Los números de Betti de una superficie K3 analítica compleja se calculan de la siguiente manera. (un argumento similar da el mismo resultado para los números de Betti de una superficie K3 algebraica sobre cualquier cuerpo, definida usando cohomoñogía l-ádica). Por definición, el haz canónico ${\displaystyle K_{X}=\Omega _{X}^{2}}$ es trivial, y la irregularidad q(X) (la dimensión ${\displaystyle h^{1}(X,O_{X})}$ del grupo de cohomología de haces coherentes ${\displaystyle H^{1}(X,O_{X})}$) es cero. Por la dualidad de Serre,

${\displaystyle h^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=h^{0}(X,K_{X})=1.}$

Como resultado, el género aritmético (o característica de Euler holomorfa) de X es:

${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}}_{X}):=\sum _{i}(-1)^{i}h^{i}(X,{\mathcal {O}}_{X})=1-0+1=2.}$

Por otro lado, el teorema de Riemann-Roch (fórmula de Noether) establece:

${\displaystyle \chi (X,{\mathcal {O}}_{X})={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right),}$

donde ${\displaystyle c_{i}(X)}$ es la i-ésimo clase de Chern del fibrado tangente. Dado que ${\displaystyle K_{X}}$ es trivial, su primera clase de Chern ${\displaystyle c_{1}(K_{X})=-c_{1}(X)}$ es cero, y por lo tanto ${\displaystyle c_{2}(X)=24}$.

A continuación, la sucesión exponencial ${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{X}\to O_{X}\to O_{X}^{*}\to 0}$ proporciona un sucesión exacta de grupos de cohomología ${\displaystyle 0\to H^{1}(X,\mathbb {Z} )\to H^{1}(X,O_{X})}$, y por tanto ${\displaystyle H^{1}(X,\mathbb {Z} )=0}$. Así, el número de Betti ${\displaystyle b_{1}(X)}$ es cero y, por la dualidad de Poincaré, ${\displaystyle b_{3}(X)}$ también es cero. Finalmente, ${\displaystyle c_{2}(X)=24}$ es igual a la característica de Euler topológica

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{i}(-1)^{i}b_{i}(X).}$

Dado que ${\displaystyle b_{0}(X)=b_{4}(X)=1}$ y ${\displaystyle b_{1}(X)=b_{3}(X)=0}$, se deduce que ${\displaystyle b_{2}(X)=22}$.

Propiedades

• Cualquier par de superficies analíticas complejas K3 son difeomorfas como 4-variedades suaves, según Kunihiko Kodaira.
• Cada superficie analítica compleja K3 tiene una métrica de Kähler, según Yum-Tong Siu. De manera análoga, pero mucho más simple: cada superficie algebraica K3 sobre un cuerpo es proyectiva. Por la solución de Shing-Tung Yau a la cojetura de Calabi, se deduce que cada superficie analítica compleja K3 tiene una métrica de Kähler Ricci plana.
• Los números de Hodge de cualquier superficie K3 se enumeran en el diamante de Hodge:

  		1
  	0		0
  1		20		1
  	0		0
  		1

  Una forma de demostrar esto es calcular el ideal jacobiano de una superficie K3 específica y, posteriormente, utilizar una variante de la estructura de Hodge sobre los módulos de las superficies K3 algebraicas para mostrar que todas estas superficies poseen los mismos números de Hodge. Es posible realizar un cálculo más elemental utilizando los números de Betti junto con las partes de la estructura de Hodge calculadas en ${\displaystyle H^{2}(X;\mathbb {Z} )}$ para una superficie K3 arbitraria. En este caso, la simetría de Hodge impone que ${\displaystyle H^{0}(X;\Omega _{X}^{2})\cong \mathbb {C} }$ y, por consiguiente, ${\displaystyle H^{1}(X,\Omega _{X})\cong \mathbb {C} ^{20}}$. Para superficies K3 en característica con p > 0, este resultado fue demostrado inicialmente por Alexey Rudakov e Ígor Shafarévich.
• Para una superficie K3 analítica compleja X, la forma de intersección (o producto de copa) sobre ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{22}}$ es una forma bilineal simétrica con valores enteros, conocida como la red K3. Esta es isomorfa al retículo unimodular par ${\displaystyle \operatorname {II} _{3,19}}$, o equivalentemente ${\displaystyle E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}}$, donde U es la red hiperbólica de rango 2 y ${\displaystyle E_{8}}$ es el retículo E8.
• La conjetura 11/8 de Yukio Matsumoto predice que toda variedad de dimensión 4, suave y orientada X, con forma de intersección par, tiene un segundo número de Betti al menos 11/8 veces el valor absoluto de la signatura. Esto sería óptimo de ser cierto, ya que la igualdad se cumple para una superficie K3 compleja, que tiene signatura 3−19 = −16. La conjetura implicaría que toda variedad de dimensión 4, suave y simplemente conexa, con forma de intersección par, es homeomorfa a una suma conexa de copias de la superficie K3 y de ${\displaystyle S^{2}\times S^{2}}$.
• Toda superficie compleja difeomorfa a una superficie K3 es una superficie K3, según Robert Friedman y John Morgan. Por otro lado, existen superficies complejas suaves (algunas de ellas proyectivas) que son homeomorfas, pero no difeomorfas, a una superficie K3, según Kodaira y Michael Hartley Freedman. Todas estas "superficies K3 de homotopía" tienen dimensión de Kodaira 1.

Ejemplos

• El recubrimiento doble X del plano proyectivo ramificado a lo largo de una curva séxtica (grado 6) suave es una superficie K3 de género 2 (es decir, grado 2g−2 = 2). Esta terminología significa que la imagen inversa en X de un hiperplano general en ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}}$ es una curva suave de genus 2.
• Una superficie cuártica (grado 4) suave en ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ es una superficie K3 de género 3 (es decir, grado 4).
• Una superficie de Kummer es el cociente de una variedad abeliana A bidimensional por la acción ${\displaystyle a\mapsto -a}$. Esto da lugar a 16 singularidades, en los puntos de 2-torsión de A. La resolución mínima de esta superficie singular también puede denominarse superficie de Kummer. Dicha resolución es una superficie K3. Cuando A es el jacobiano de una curva de género 2, Kummer demostró que el cociente ${\displaystyle A/(\pm 1)}$ puede embeberse en ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ como una superficie cuártica con 16 nodos.
• Más generalmente: para cualquier superficie cuártica Y con singularidades de tipo du Val, la resolución mínima de Y es una superficie K3 algebraica.
• La intersección de una cuádrica y una cúbica en ${\displaystyle \mathbf {P} ^{4}}$ es una superficie K3 de género 4 (es decir, grado 6).
• La intersección de tres cuádricas en ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}}$ es una superficie K3 de género 5 (es decir, grado 8).
• La intersección completa de dos formas bihomogéneas de grados dobles ${\displaystyle (1,2)}$ y ${\displaystyle (2,1)}$ en ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}\times \mathbf {P} ^{2}}$ es una superficie K3, típicamente de rango de Picard 2.
• Existen varias bases de datos de superficies K3 con singularidades de du Val en espacios proyectivos ponderados.

Retículo de Picard

El grupo de Picard Pic(X) de una superficie K3 analítica compleja X es el grupo abeliano de fibrados de rectas analíticas complejas sobre X. Para una superficie K3 algebraica, Pic(X) es el grupo de fibrados de rectas algebraicos sobre X. Ambas definiciones coinciden para una superficie K3 algebraica compleja, según el teorema GAGA de Jean-Pierre Serre.

El grupo de Picard de una superficie K3 X es siempre un grupo abeliano libre finitamente generado; su rango se denomina número de Picard ${\displaystyle \rho }$. En el caso complejo, Pic(X) es un subgrupo de ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{22}}$. Una característica importante de las superficies K3 es que pueden presentar muchos números de Picard diferentes. Si X es una superficie K3 algebraica compleja, ${\displaystyle \rho }$ puede ser cualquier entero entre 1 y 20. En el caso analítico complejo, ${\displaystyle \rho }$ también puede ser cero. (En ese caso, X no contiene ninguna curva compleja cerrada. Por el contrario, una superficie algebraica siempre contiene muchas familias continuas de curvas). Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica p > 0, existe una clase especial de superficies K3, las superficies K3 supersingulares, con número de Picard 22.

El retículo de Picard de una superficie K3 es el grupo abeliano Pic(X) junto con su forma de intersección, una forma bilineal simétrica con valores en los números enteros. Sobre ${\displaystyle \mathbb {C} }$, la forma de intersección es la restricción de la forma de intersección en ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$. Sobre un cuerpo general, la forma de intersección puede definirse utilizando la teoría de la intersección de curvas en una superficie, identificando el grupo de Picard con el grupo de clases de divisores. El retículo de Picard de una superficie K3 es siempre par, lo que significa que el entero ${\displaystyle u^{2}}$ es par para cada ${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$.

El teorema del índice de Hodge implica que el retículo de Picard de una superficie K3 algebraica tiene signatura ${\displaystyle (1,\rho -1)}$. Muchas propiedades de una superficie K3 están determinadas por su retículo de Picard, considerado como una forma bilineal simétrica sobre los enteros. Esto conduce a una fuerte conexión entre la teoría de las superficies K3 y la aritmética de las formas bilineales simétricas. Como primer ejemplo de esta conexión: una superficie K3 analítica compleja es algebraica si y solo si existe un elemento ${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$ con ${\displaystyle u^{2}>0}$.

En términos generales, el espacio de todas las superficies K3 analíticas complejas tiene dimensión compleja 20, mientras que el espacio de las superficies K3 con número de Picard ${\displaystyle \rho }$ tiene dimensión ${\displaystyle 20-\rho }$ (excluyendo el caso supersingular). En particular, las superficies K3 algebraicas aparecen en familias de dimensión 19. A continuación se ofrecen más detalles sobre los espacios de módulos de las superficies K3.

La descripción precisa de qué retículos pueden aparecer como retículos de Picard de superficies K3 es compleja. Una afirmación clara, debida a Viacheslav Nikulin y David Morrison, es que todo retículo par de signatura ${\displaystyle (1,\rho -1)}$ con ${\displaystyle \rho \leq 11}$ es el retículo de Picard de alguna superficie K3 proyectiva compleja. El espacio de tales superficies tiene dimensión ${\displaystyle 20-\rho }$.

Superficies K3 elípticas

Una subclase importante de superficies K3, más fácil de analizar que el caso general, está constituida por las superficies K3 con una superficie elíptica ${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$. Elíptica significa que todas las fibras de este morfismo, salvo un número finito, son curvas suaves de género 1. Las fibras singulares son uniones de curvas racionales, y los tipos posibles de fibras singulares están clasificados por Kodaira. Siempre existen fibras singulares, ya que la suma de las características de Euler topológicas de dichas fibras ${\displaystyle \chi (X)=24}$ es 24. Una superficie K3 elíptica genérica tiene exactamente 24 fibras singulares, cada una de tipo ${\displaystyle I_{1}}$ (una curva cúbica nodal).

Si una superficie K3 es elíptica o no, puede determinarse a partir de su retículo de Picard. Concretamente, en característica distinta de 2 o 3, una superficie K3 X posee una fibración elíptica si y solo si existe un elemento no nulo ${\displaystyle u\in \operatorname {Pic} (X)}$ tal que ${\displaystyle u^{2}=0}$. En característica 2 o 3, esta última condición también puede corresponder a una fibración cuasielíptica. De ello se deduce que poseer una fibración elíptica es una condición de codimensión 1 para una superficie K3. Por tanto, existen familias de dimensión 19 de superficies K3 analíticas complejas con fibración elíptica, y espacios de módulos de dimensión 18 de superficies K3 proyectivas con fibración elíptica.

Ejemplo: Toda superficie cuártica suave X en ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ que contenga una recta L posee una fibración elíptica ${\displaystyle X\to \mathbf {P} ^{1}}$, definida mediante la proyección desde L. El espacio de módulos de todas las superficies cuárticas suaves (salvo isomorfismo) tiene dimensión 19, mientras que el subespacio de superficies cuárticas que contienen una recta tiene dimensión 18.

Curvas racionales en superficies K3

A diferencia de las variedades de curvatura positiva, como las superficies de del Pezzo, una superficie K3 algebraica compleja X no es unirreglada; es decir, no está recubierta por una familia continua de curvas racionales. Por otro lado, a diferencia de las variedades de curvatura negativa, como las superficies de tipo general, X contiene un gran conjunto discreto de curvas racionales (posiblemente singulares). En particular, Fedor Bogomolov y David Mumford demostraron que toda curva en X es linealmente equivalente a una combinación lineal positiva de curvas racionales.

Otro contraste con las variedades de curvatura negativa es que la métrica de Kobayashi en una superficie K3 analítica compleja X es idénticamente cero. La demostración utiliza el hecho de que una superficie K3 algebraica X siempre está recubierta por una familia continua de imágenes de curvas elípticas. Estas curvas son singulares en X, a menos que X resulte ser una superficie K3 elíptica. Una cuestión más fuerte que permanece abierta es si toda superficie K3 compleja admite una aplicación holomorfa no degenerada desde ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ (donde "no degenerada" significa que la derivada de la aplicación es un isomorfismo en algún punto).

Aplicación de periodos

Se define un marcado de una superficie K3 analítica compleja X como un isomorfismo de retículos desde ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ hacia el retículo K3 ${\displaystyle \Lambda =E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}}$. El espacio N de superficies K3 complejas marcadas es una variedad compleja no de Hausdorff de dimensión 20. El conjunto de clases de isomorfismo de superficies K3 analíticas complejas es el cociente de N por el grupo ortogonal ${\displaystyle O(\Lambda )}$, pero este cociente no es un espacio de módulos geométricamente significativo, ya que la acción de ${\displaystyle O(\Lambda )}$ dista mucho de ser propiamente discontinua. Por ejemplo, el espacio de superficies cuárticas suaves es irreducible y de dimensión 19; sin embargo, toda superficie K3 analítica compleja de la familia N —de dimensión 20— admite deformaciones arbitrariamente pequeñas que son isomorfas a cuárticas suaves. Por la misma razón, no existe un espacio de módulos significativo para los toros complejos compactos de dimensión 2 o superior.

La aplicación de periodos asocia a cada superficie K3 su estructura de Hodge. Si se formula con precisión, se cumple lo siguiente (según el teorema de Torelli): una superficie K3 queda determinada por su estructura de Hodge. El dominio de periodos se define como la variedad compleja de dimensión 20

${\displaystyle D=\{u\in P(\Lambda \otimes \mathbb {C} ):u^{2}=0,\,u\cdot {\overline {u}}>0\}.}$

La aplicación de periodos ${\displaystyle N\to D}$ lleva una superficie K3 marcada X a la recta compleja ${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C} )\cong \Lambda \otimes \mathbb {C} }$. Esta aplicación es sobreyectiva y constituye un isomorfismo local, pero no un isomorfismo global (en particular, porque D es un espacio de Hausdorff y N no lo es). No obstante, el teorema de Torelli global para superficies K3 establece que la aplicación cociente entre conjuntos

${\displaystyle N/O(\Lambda )\to D/O(\Lambda )}$

es biyectiva. De ello se deduce que dos superficies K3 analíticas complejas, X e Y, son isomorfas si y solo si existe una isometría de Hodge entre ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$ y ${\displaystyle H^{2}(Y,\mathbb {Z} )}$; es decir, un isomorfismo de grupos abelianos que preserva la forma de intersección y lleva ${\displaystyle H^{0}(X,\Omega ^{2})\subset H^{2}(X,\mathbb {C} )}$ a ${\displaystyle H^{0}(Y,\Omega ^{2})}$.

Espacios de módulos de superficies K3 proyectivas

Una superficie K3 X polarizada de género g se define como una superficie K3 proyectiva junto con un haz de rectas amplio L tal que L es primitivo (es decir, no es 2 o más veces otro haz de rectas) y ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=2g-2}$. Esto también se denomina superficie K3 polarizada de grado 2g−2.

Bajo estas suposiciones, L es sin punto base. En característica cero, el teorema de Bertini implica que existe una curva suave C en el sistema lineal |L|. Todas estas curvas tienen género g, lo que explica por qué se dice que (X,L) tiene género g.

El espacio vectorial de secciones de L tiene dimensión g + 1, por lo que L define un morfismo de X al espacio proyectivo ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$. En la mayoría de los casos, este morfismo es un embebido, de modo que X es isomorfo a una superficie de grado 2g−2 en ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$.

Existe un espacio de módulos grueso ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ irreducible de superficies K3 complejas polarizadas de género g para cada ${\displaystyle g\geq 2}$, que puede verse como un subconjunto abierto de Zariski de una variedad de Shimura para el grupo SO(2,19). Para cada g, ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ es una variedad compleja cuasiproyectiva de dimensión 19. Shigeru Mukai demostró que este espacio de módulos es una variedad racional si ${\displaystyle g\leq 13}$ o ${\displaystyle g=18,20}$. Por el contrario, Valery Gritsenko, Klaus Hulek y Gregory Sankaran demostraron que ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ es de tipo general si ${\displaystyle g\geq 63}$ o ${\displaystyle g=47,51,55,58,59,61}$. Voisin (2008) presentó una revisión de este campo.

Los diferentes espacios de módulos de dimensión 19 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ se solapan de manera compleja. De hecho, existe un conjunto infinito numerable de subvariedades de codimensión 1 en cada ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$ que corresponden a superficies K3 con número de Picard de al menos 2. Dichas superficies K3 poseen polarizaciones de infinitos grados distintos, no solo 2g–2. Por tanto, cabe afirmar que infinitos de los otros espacios de módulos ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{h}}$ intersecan a ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$. Esta afirmación es imprecisa, dado que no existe un espacio con buenas propiedades que contenga a todos los espacios de módulos ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{g}}$. No obstante, una versión concreta de esta idea es el hecho de que dos superficies K3 algebraicas complejas cualesquiera son equivalentes por deformación a través de superficies K3 algebraicas.

En términos más generales, una superficie K3 cuasipolarizada de género g es una superficie K3 proyectiva dotada de un fibrado en rectas L primitivo numéricamente efectivo (nef) y grande tal que ${\displaystyle c_{1}(L)^{2}=2g-2}$. Este fibrado en rectas sigue definiendo un morfismo hacia ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$, pero ahora puede contraer un número finito de curvas (−2), de modo que la imagen Y de X resulta singular. (Una curva (−2) en una superficie es una curva isomorfa a ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}}$ con autointersección −2). El espacio de módulos de superficies K3 cuasipolarizadas de género g sigue siendo irreducible y de dimensión 19 (y contiene al espacio de módulos anterior como subconjunto abierto). Formalmente, resulta más adecuado considerarlo como un espacio de módulos de superficies K3 Y con singularidades de tipo du Val.

El cono de divisores amplios y el cono de curvas

Una característica notable de las superficies K3 algebraicas es que el retículo de Picard determina muchas propiedades geométricas de la superficie, incluido el cono convexo de divisores amplios (salvo automorfismos de el retículo de Picard). El cono de divisores amplios queda determinado por el retículo de Picard de la siguiente manera. Según el teorema del índice de Hodge, la forma de intersección en el espacio vectorial real ${\displaystyle N^{1}(X):=\operatorname {Pic} (X)\otimes \mathbb {R} }$ tiene signatura ${\displaystyle (1,\rho -1)}$. De ello se deduce que el conjunto de elementos de ${\displaystyle N^{1}(X)}$ con autointersección positiva tiene dos componentes conectados. Se denomina cono positivo a la componente que contiene cualquier divisor amplio en X.

Caso 1: No existe ningún elemento u de Pic(X) tal que ${\displaystyle u^{2}=-2}$. Entonces, el cono amplio coincide con el cono positivo. Por tanto, se trata del cono circular estándar.

Caso 2: En caso contrario, sea ${\displaystyle \Delta =\{u\in \operatorname {Pic} (X):u^{2}=-2\}}$ el conjunto de raíces de el retículo de Picard. Los complementos ortogonales de las raíces forman un conjunto de hiperplanos que atraviesan el cono positivo. Entonces, el cono amplio es una componente conexa del complemento de dichos hiperplanos dentro del cono positivo. Dos cualesquiera de estas componentes son isomorfas mediante el grupo ortogonal del retículo Pic(X), dado que este contiene las reflexiones respecto a cada hiperplano raíz. En este sentido, el retículo de Picard determina el cono amplio salvo isomorfismos.

Un enunciado relacionado, debido a Sándor Kovács, establece que conocer un divisor amplio A en Pic(X) determina todo el cono de curvas de X. Concretamente, supóngase que X tiene número de Picard ${\displaystyle \rho \geq 3}$. Si el conjunto de raíces ${\displaystyle \Delta }$ está vacío, entonces el cono cerrado de curvas es la clausura del cono positivo. En caso contrario, el cono cerrado de curvas es el cono convexo cerrado generado por todos los elementos ${\displaystyle u\in \Delta }$ con ${\displaystyle A\cdot u>0}$. En el primer caso, X no contiene (-2)-curvas; en el segundo caso, el cono cerrado de curvas es el cono convexo cerrado generado por todas las (-2)-curvas. Si ${\displaystyle \rho =2}$, existe otra posibilidad: el cono de curvas puede estar generado por una (-2)-curva y una curva con autointersección 0. Por tanto, el cono de curvas es o bien el cono redondo estándar, o bien presenta esquinas afiladas (ya que cada (-2)-curva genera un rayo extremal aislado del cono de curvas.

Grupo de automorfismos

Las superficies K3 son algo inusuales entre las variedades algebraicas, ya que sus grupos de automorfismos pueden ser infinitos, discretos y altamente no abelianos. Según una versión del teorema de Torelli, el retículo de Picard de una superficie K3 algebraica compleja X determina el grupo de automorfismos de X salvo commensurability. Concretamente, sea el **grupo de Weyl** W el subgrupo del grupo ortogonal O(Pic}(X)) generado por las reflexiones en el conjunto de raíces ${\displaystyle \Delta }$. Entonces W es un subgrupo normal de O(Pic(X)), y el grupo de automorfismos de X es conmensurable con el grupo cociente O(Pic(X))/W. Un enunciado relacionado, debido a Hans Sterk, establece que {Aut}(X) actúa sobre el cono nef de X con un dominio fundamental poliédrico racional.

Relación con la dualidad de cuerdas

Las superficies K3 aparecen casi de forma ubicua en dualidad de cuerdas y proporcionan una herramienta importante para su comprensión. Las compactaciones de cuerdas en estas superficies no son triviales, pero son lo suficientemente simples como para analizar la mayoría de sus propiedades en detalle. La cuerda de tipo IIA, la cuerda de tipo IIB, la cuerda heterótica E₈×E₈, la cuerda heterótica Spin(32)/Z2 y la teoría M están relacionadas mediante la compactación en una superficie K3. Por ejemplo, la cuerda de tipo IIA compactada en una superficie K3 es equivalente a la cuerda heterótica compactada en un toro de dimensión 4 (Aspinwall (1996)).

Historia

Las superficies cuárticas en ${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$ fueron estudiadas por Ernst Kummer, Arthur Cayley, Friedrich Schur y otros geómetras del siglo XIX. De manera más general, Federigo Enriques observó en 1893 que, para varios valores de g, existen superficies de grado 2g−2 en ${\displaystyle \mathbf {P} ^{g}}$ con haz canónico trivial e irregularidad cero. En 1909, Enriques demostró que tales superficies existen para todo ${\displaystyle g\geq 3}$, y Francesco Severi demostró que el espacio de módulos de dichas superficies tiene dimensión 19 para cada g.

André Weil (1958) dio nombre a las superficies K3 (véase la cita anterior) y formuló varias conjeturas influyentes sobre su clasificación. Kunihiko Kodaira completó la teoría básica alrededor de 1960, y en particular realizó el primer estudio sistemático de las superficies K3 analíticas complejas que no son algebraicas. Demostró que cualesquiera dos superficies K3 analíticas complejas son equivalentes por deformación y, por tanto, difeomorfas, lo cual constituía una novedad incluso para las superficies K3 algebraicas. Un avance posterior importante fue la demostración del teorema de Torelli para superficies K3 algebraicas complejas, realizada por Iliá Piatetski-Shapiro e Igor Shafarevich (1971), que fue extendida a las superficies K3 analíticas complejas por Daniel Burns y Michael Rapoport (1975).

Véase también

• Superfice de Enriques
• Conjetura de Tate
• Moonshine de Mathieu, una relación misteriosa entre las superficies K3 y el grupo de Mathieu M24.

Referencias

Bibliografía

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• Weil, André (1958), «Final report on contract AF 18(603)-57», Scientific works. Collected papers II, Berlin, New York: Springer Science+Business Media, pp. 390-395, 545-547, ISBN 978-0-387-90330-9, MR 537935 .

Enlaces externos

• Página de inicio de la Graded Ring Database para un catálogo de superficies K3
• Base de datos de K3 para la Magma (CAS)
• La geometría de las superficies K3, conferencias de David Morrison (1988).