Kategoriateoria

Kommutatiiviset kaaviot

Pääartikkeli: Vaihdannainen kaavio

Kategoriateorian tunnusomaisin merkintä ja samalla tärkeä todistustekniikka on kommutatiivinen kaavio. Tässä kontekstissa kaavioita (kommutatiivisia tai ei) käytetään yleensä epämuodollisesti, mutta mikä tahansa kaavio voitaisiin periaatteessa esittää muodollisesti kaavion määritelmän avulla.

Kaavio koostuu objekteista, joita merkitään pistein tai kirjaimin, esimerkiksi ${\displaystyle A,B,C}$ ja ${\displaystyle D}$, ja näiden välisistä morfismeista, joita merkitään nuolin, esimerkiksi ${\displaystyle f:A\rightarrow B,g:A\rightarrow C,h:B\rightarrow D}$ ja ${\displaystyle k:C\rightarrow D}$. Kaavio on kommutatiivinen, jos kaikki kaavion morfismit kaavion minkä tahansa kahden objektin välillä (mukaan lukien yhdisteet) ovat yhtä suuria. Toisin sanoen kommutatiivisessa kaaviossa ei ole väliä, mitä "reittiä" (eli morfismien yhdisteitä) yhdestä objektista päädytään toiseen. Yllä olevassa esimerkissä kommutatiivisuus tarkoittaisi, että ${\displaystyle hf=kg}$.

Universaaliominaisuudet ja yksikäsitteisyys isomorfismia vaille

Koska kategoriateoria keskittyy objektien (ja morfismien) keskinäisiin suhteisiin, tietty objekti tai morfismi määritellään yleensä suhteessa muihin kategorian objekteihin tai morfismeihin. Tällöin puhutaan objektin tai morfismin universaaliominaisuudesta. Universaaliominaisuuden kautta määriteltyä objektia tai morfismia kutsutaan vastaavasti universaaliobjektiksi tai universaalimorfismiksi.

Esimerkiksi alkuobjekti määritellään universaaliominaisuuden kautta: objekti ${\displaystyle A}$ on alkuobjekti mikäli mille tahansa objektille ${\displaystyle B}$ on olemassa täsmälleen yksi morfismi ${\displaystyle A\rightarrow B}$.

Objekteille (ja morfismeille), jotka on määritelty universaaliominaisuuden kautta, on tyypillistä yksikäsitteisyys, mikäli isomorfisten objektien katsotaan olevan "yhtä suuria" tai "samoja". Täsmällisesti, määritellään objektien yksikäsitteisyys isomorfismia vaille ominaisuuden ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ suhteen seuraavasti: mikäli sekä objektilla ${\displaystyle A}$ että objektilla ${\displaystyle B}$ on ominaisuus ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$, niin on olemassa isomorfismi ${\displaystyle A}$:sta ${\displaystyle B}$:hen (eli siis myös isomorfismi ${\displaystyle B}$:stä ${\displaystyle A}$:hen). Tätä tiukempi käsite on yksikäsitteisyys yksikäsitteistä isomorfismia vaille, joka määritellään muuten samalla tavalla kuin yksikäsitteisyys isomorfismia vaille, mutta objektien välinen isomorfismi on lisäksi yksikäsitteinen.

Esimerkiksi alkuobjekti, mikäli se on olemassa, on yksikäsitteistä isomorfismia vaille yksikäsitteinen.

Vastakkainen kategoria ja duaalisuus

Olkoon ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ kategoria. Tällöin sen vastakkainen kategoria ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$ määritellään siten että ${\displaystyle Obj({\mathcal {C}}^{op})=Obj({\mathcal {C}})}$, ja jokaiselle objektiparille ${\displaystyle A,B\in Obj({\mathcal {C}})}$ olkoon ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}(A,B)={\mathcal {C}}(B,A)}$. Selvästi ${\displaystyle ({\mathcal {C}}^{op})^{op}={\mathcal {C}}}$.

Tärkeä kategoriateoreettinen käsite on duaalisuus: mitä tahansa lausetta tai käsitettä, joka pätee tai on määritelty jossakin kategoriassa, vastaa lause tai käsite vastakkaisessa kategoriassa, jota kutsutaan duaalilauseeksi tai -käsitteeksi. Esimerkiksi yllä mainituista käsitteistä alku- ja loppuobjekti sekä mono- ja epimorfismi ovat toistensa duaalikäsitteitä. Täsmällisesti, erään kategorian objekti on alkuobjekti jos ja vain jos se on loppuobjekti vastakkaisessa kategoriassa, ja morfismi on monomorfismi jos ja vain jos se on epimorfismi vastakkaisessa kategoriassa.

Tietyn käsitteen duaalikäsitteen nimi muodostetaan usein, muttei kuitenkaan aina, lisäämällä kyseisen käsitteen nimen eteen ko-etuliite.

Erityisiä funktoreita

Olkoon ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$ funktori. Määritellään jokaiselle objektiparille ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}$ kuvaus ${\displaystyle F_{A,B}:{\mathcal {C}}(A,B)\rightarrow {\mathcal {D}}(FA,FB)}$ siten että ${\displaystyle f\mapsto F(f)}$. Funktori ${\displaystyle F}$ on

• täysi mikäli jokaiselle objektiparille ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}$, kuvaus ${\displaystyle F_{A,B}}$ on surjektio,
• uskollinen mikäli jokaiselle objektiparille ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}$, kuvaus ${\displaystyle F_{A,B}}$ on injektio,
• täysin uskollinen mikäli se on sekä täysi että uskollinen,
• oleellisesti surjektio objekteille mikäli jokaiselle objektille ${\displaystyle X\in {\mathcal {D}}}$ on olemassa objekti ${\displaystyle Y\in {\mathcal {C}}}$ siten että ${\displaystyle F(Y)}$ ja ${\displaystyle X}$ ovat isomorfisia.

Esimerkkejä

• Mille tahansa (ei tyhjille) kategorioille ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ja ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ sekä objektille ${\displaystyle B\in {\mathcal {D}}}$ voidaan määritellä vakiofunktori ${\displaystyle \Delta _{B}:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$, jonka arvo kaikilla ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$:n objekteilla on ${\displaystyle B}$ ja kaikilla ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$:n morfismeilla ${\displaystyle id_{B}}$.

Kaaviot ja kartiot

Olkoon ${\displaystyle \mathbf {I} }$ pieni kategoria. Tällöin funktoria ${\displaystyle F:\mathbf {I} \rightarrow {\mathcal {C}}}$ kutsutaan ${\displaystyle \mathbf {I} }$:n muotoiseksi kaavioksi kategoriassa ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Kategoriaa ${\displaystyle \mathbf {I} }$ kutsutaan kaavion indeksikategoriaksi.

Kaavion ${\displaystyle F:\mathbf {I} \rightarrow {\mathcal {N}}}$ kartio on luonnollinen muunnos ${\displaystyle \psi$ :\Delta _{N}\rightarrow F} . Objektia ${\displaystyle N}$ kutsutaan kartion kärjeksi ja luonnollisen muunnoksen komponentteja ${\displaystyle \psi _{X}:C\rightarrow F(X)}$ kartion särmiksi. Yksityiskohtaisesti kartio koostuu siis objektista ${\displaystyle N\in {\mathcal {C}}}$ ja kokoelmasta morfismeja ${\displaystyle \psi _{X}:N\rightarrow F(X)}$ jokaiseen objektin ${\displaystyle X\in \mathbf {I} }$ kuvaan, siten että jokaiselle ${\displaystyle \mathbf {I} }$:n morfismille ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ kaavio

on kommutatiivinen.

Merkitään ${\displaystyle (N,\psi )}$ kartiota, jonka kärki on ${\displaystyle N}$ ja luonnollinen muunnos ${\displaystyle \psi }$. Määritellään kartiomorfismi kartiosta ${\displaystyle (N,\psi )}$ kartioon ${\displaystyle (M,\mu )}$ morfismina ${\displaystyle h:N\rightarrow M}$ siten että ${\displaystyle \mu \circ \Delta _{h}=\psi }$, jossa ${\displaystyle \Delta _{h}:\Delta _{N}\rightarrow \Delta _{M}}$ on vakio luonnollinen muunnos, jonka jokainen komponentti on ${\displaystyle h}$. Yksityiskohtaisesti ehto, jonka ${\displaystyle h}$:n pitää toteuttaa ollakseen kartiomorfismi ${\displaystyle (N,\psi )\rightarrow (M,\mu )}$ on: jokaiselle objektille ${\displaystyle X\in \mathbf {I} }$ pätee ${\displaystyle \mu _{X}\circ h=\psi _{X}}$. Jokaisen kaavion ${\displaystyle F}$ kartiot ja kartiomorfismit muodostavat kategorian, jota merkitään ${\displaystyle Cone(F)}$ ja jota kutsutaan kaavion ${\displaystyle F}$ kartiokategoriaksi.

Rajat

Raja voidaan määritellä hyvin lyhyesti kartiokategorian avulla: kaavion ${\displaystyle F:\mathbf {I} \rightarrow {\mathcal {C}}}$ raja on kategorian ${\displaystyle Cone(F)}$ loppuobjekti. Huomataan, että kaikilla kaavioilla ei välttämättä ole rajaa, sillä kartiokategoriassa ei välttämättä ole loppuobjektia. Tästä määritelmästä seuraa, että raja on yksikäsitteistä isomorfismia vaille yksikäsitteinen.

Koska yllä annettu rajan määritelmä on hyvin tiivis, rajan käsitteen merkitys ei välttämättä avaudu siitä. Näin ollen annetaan seuraavaksi yksityiskohtaisempi, mutta yhtäpitävä määritelmä. Olkoon ${\displaystyle F:\mathbf {I} \rightarrow {\mathcal {C}}}$ kaavio. Tällöin ${\displaystyle F}$:n raja koostuu objektista ${\displaystyle L\in {\mathcal {C}}}$ sekä kokoelmasta morfismeja ${\displaystyle \phi _{X}:L\rightarrow F(X)}$ jokaiselle objektille ${\displaystyle X\in \mathbf {I} }$ siten että ${\displaystyle (L,\phi )}$ muodostavat kartion (eli jokaiselle ${\displaystyle \mathbf {I} }$:n morfismille ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ alla olevan kaavion sisempi kolmio on kommutatiivinen), ja kartio ${\displaystyle (L,\phi )}$ on lisäksi universaali tämän ominaisuuden suhteen: mikäli ${\displaystyle N}$ on ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$:n objekti ja ${\displaystyle \psi _{X}:N\rightarrow F(X)}$ on morfismi jokaiselle objektille ${\displaystyle X\in \mathbf {I} }$ siten että ${\displaystyle (N,\psi )}$ on kartio (eli jokaiselle ${\displaystyle \mathbf {I} }$:n morfismille ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ alla olevan kaavion ulompi kolmio on kommutatiivinen), niin tällöin on olemassa yksikäsitteinen morfismi ${\displaystyle u:N\rightarrow L}$ siten että jokaiselle objektille ${\displaystyle X\in \mathbf {I} }$ pätee ${\displaystyle \phi _{X}\circ u=\psi _{X}}$, eli toisin sanottuna kaavio

on kommutatiivinen.

Kokartiot ja korajat

Kaavion ${\displaystyle F:\mathbf {I} \rightarrow {\mathcal {N}}}$ kokartio on kaavion ${\displaystyle F^{op}:\mathbf {I} ^{op}\rightarrow {\mathcal {N}}^{op}}$ kartio, eli luonnollinen muunnos ${\displaystyle \psi :F\rightarrow \Delta _{N}}$. Samoin kuin kartiolle, objektia ${\displaystyle N\in {\mathcal {C}}}$ kutsutaan kokartion kärjeksi ja komponentteja ${\displaystyle \psi _{X}:F(X)\rightarrow N}$ särmiksi, ja kokartiota merkitään ${\displaystyle (N,\psi )}$. Kokartiomorfismi kokartiosta ${\displaystyle (N,\psi )}$ kokartioon ${\displaystyle (M,\mu )}$ on morfismi ${\displaystyle h:N\rightarrow M}$ siten että ${\displaystyle \mu =\Delta _{h}\circ \psi }$. Merkitään kaavion ${\displaystyle F}$ kokartioiden ja kokartiomorfismien kategoriaa ${\displaystyle Cocone(F)}$. Tällöin kaavion ${\displaystyle F}$ koraja on kategorian ${\displaystyle Cocone(F)}$ alkuobjekti, mikäli se on olemassa.

Yksityiskohtaisesti, kaavion ${\displaystyle F:\mathbf {I} \rightarrow {\mathcal {N}}}$ koraja on kokartio ${\displaystyle (L,\phi )}$ siten että mille tahansa kokartiolle ${\displaystyle (N,\psi )}$ on olemassa yksikäsitteinen morfismi ${\displaystyle u:L\rightarrow N}$, joka jokaiselle ${\displaystyle \mathbf {I} }$:n morfismille ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ tekee kaaviosta

kommutatiivisen.

Esimerkkejä

Esimerkkejä rajoista:

• loppuobjekti on tyhjän kaavion raja,
  • joukkojen ja funktioiden kategoriassa loppuobjekti (eli tyhjän kaavion raja) on täsmälleen yhden alkion sisältävä joukko,
  • osittain järjestetyssä joukossa loppuobjekti on suurin alkio;
• binäärinen tulo on sellaisen diskreetin kaavion raja, jossa on täsmälleen kaksi objektia,
  • joukkojen ja funktioiden kategoriassa binäärinen tulo on (vailla yksikäsitteistä isomorfismia) kahden joukon karteesinen tulo,
  • osittain järjestetyssä joukossa binäärinen tulo on kahden alkion infimum.

Esimerkkejä korajoista:

• alkuobjekti on tyhjän kaavion koraja,
  • joukkojen ja funktioiden kategoriassa alkuobjekti (eli tyhjän kaavion koraja) on tyhjä joukko,
  • osittain järjestetyssä joukossa alkuobjekti on pienin alkio;
• binäärinen kotulo on sellaisen diskreetin kaavion koraja, jossa on täsmälleen kaksi objektia,
  • joukkojen ja funktioiden kategoriassa binäärinen kotulo on (vailla yksikäsitteistä isomorfismia) kahden joukon erillinen yhdiste,
  • osittain järjestetyssä joukossa binäärinen kotulo on kahden alkion supremum.

Täydellisyys ja kotäydellisyys

Kategorian ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ sanotaan omaavan ${\displaystyle \mathbf {I} }$:n muotoiset (ko)rajat mikäli millä tahansa ${\displaystyle \mathbf {I} }$:n muotoisella kaaviolla on (ko)raja ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$:ssä. Kategoria on (ko)täydellinen mikäli se omaa ${\displaystyle \mathbf {I} }$:n muotoiset (ko)rajat jokaiselle indeksikategorialle ${\displaystyle \mathbf {I} }$. Kategoria on äärellisesti (ko)täydellinen mikäli se omaa ${\displaystyle \mathbf {I} }$:n muotoiset (ko)rajat jokaiselle äärelliselle indeksikategorialle ${\displaystyle \mathbf {I} }$.

Esilyhteet

Kategorian ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ esilyhde on funktori ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}\rightarrow \mathbf {Set} }$. Esilyhteet ja niiden väliset luonnolliset muunnokset muodostavat kategorian, jota merkitään ${\displaystyle \left[{\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} \right]}$. Mikäli ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ on jonkin topologisen avaruuden avointen joukkojen osittaisjärjestys, niin tämä esilyhteen määritelmä vastaa algebrallisen topologian joukkojen esilyhteen määritelmää.

Hom-funktorit

Olkoon ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ lokaalisti pieni kategoria ja olkoon ${\displaystyle A\in Obj({\mathcal {C}})}$. Määritellään esilyhde ${\displaystyle \mathbf {y} _{A}:{\mathcal {C}}^{op}\rightarrow \mathbf {Set} }$ seuraavasti: jos ${\displaystyle X}$ ja ${\displaystyle Y}$ ovat ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$:n objekteja ja ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ morfismi, niin

${\displaystyle \mathbf {y} _{A}(X):={\mathcal {C}}(X,A)}$ ja ${\displaystyle \mathbf {y} _{A}(f):=-\circ f}$,

jossa ${\displaystyle -\circ f:C(Y,A)\rightarrow C(X,A)}$ on funktio ${\displaystyle g\mapsto gf}$.

Esilyhdettä ${\displaystyle \mathbf {y} _{A}}$ kutsutaan ${\displaystyle A}$:n (kontravariantiksi) hom-funktoriksi.

Yonedan upotus

Sillä hom-funktori ${\displaystyle \mathbf {y} _{A}}$ on määritelty mille tahansa lokaalisti pienen kategorian ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ objektille ${\displaystyle A}$, tämä määrittää kuvauksen

${\displaystyle Obj({\mathcal {C}})\rightarrow Obj\left(\left[{\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} \right]\right)}$.

Laajennetaan kyseinen kuvaus funktoriksi

${\displaystyle \mathbf {y}$ :{\mathcal {C}}\rightarrow \left[{\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} \right]}

määrittelemällä jokaiselle morfismille ${\displaystyle h:A\rightarrow B}$ luonnollinen muunnos ${\displaystyle \mathbf {y} (h):=h\circ -:\mathbf {y} _{A}\rightarrow \mathbf {y} _{B}}$, jonka ${\displaystyle X}$-komponentti on funktio ${\displaystyle h\circ -:{\mathcal {C}}(X,A)\rightarrow {\mathcal {C}}(X,B)}$, joka kuvaa ${\displaystyle g\mapsto hg}$.

Funktoria ${\displaystyle \mathbf {y} }$ kutsutaan ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$:n Yonedan upotukseksi. Termin upotus käyttö on perusteltua, sillä yksi Yonedan lemman (ks. alla) seurauksista on Yonedan upotuksen täysi uskollisuus. Näin ollen mikä tahansa lokaalisti pieni kategoria voidaan upottaa sen esilyhteiden kategoriaan; toisin sanottuna on olemassa esilyhteiden kategorian alakategoria, joka on isomorfinen sen kanssa.

Yonedan lemma

Hom-funktoreiden erityistä asemaa esilyhteiden kategoriassa kuvastaa Yonedan lemma.

Lause. Olkoon ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ lokaalisti pieni kategoria. Tällöin on olemassa isomorfismi

${\displaystyle \left[{\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} \right]\left(\mathbf {y} _{A},F\right)\simeq F(A)}$,

joka on luonnollinen sekä objektin ${\displaystyle A\in Obj({\mathcal {C}})}$ että esilyhteen ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}^{op}\rightarrow \mathbf {Set} }$ suhteen.

Korollaari. Yonedan upotus on täysi ja uskollinen.

Korollaari. Olkoon ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ lokaalisti pieni kategoria. Tällöin kaikille objekteille ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}$ pätee:

${\displaystyle A\simeq B}$ jos ja vain jos ${\displaystyle \mathbf {y} _{A}\simeq \mathbf {y} _{B}}$.

Määritelmä morfismijoukkojen isomorfismin kautta

Olkoot ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ja ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ lokaalisti pieniä kategorioita, ja ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}:G}$ vastakkaisiin suuntiin osoittavien funktoreiden pari. Tällöin sanotaan, että ${\displaystyle F}$ on funktorin ${\displaystyle G}$ vasen liittofunktori (ja vastaavasti ${\displaystyle G}$ on ${\displaystyle F}$:n oikea liittofunktori) mikäli on olemassa luonnollinen isomorfismi ${\displaystyle {\mathcal {D}}(F(C),D)\simeq {\mathcal {C}}(C,G(D))}$. Isomorfismin luonnollisuus voidaan ilmaista eksplisiittisemmin seuraavasti. Merkitään sekä isomorfismia että sen käänteismorfismia viivalla, eli:

${\displaystyle \left(F(C)\xrightarrow {f} D\right)\mapsto \left(C\xrightarrow {\overline {f}} G(D)\right)}$ ja ${\displaystyle \left(C\xrightarrow {h} G(D)\right)\mapsto \left(F(C)\xrightarrow {\overline {h}} D\right)}$ siten että ${\displaystyle {\overline {\overline {f}}}=f}$ ja ${\displaystyle {\overline {\overline {h}}}=h}$.

Tällöin luonnollisuusehto on yhtäpitävä seuraavan ehdon kanssa: kaikille ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$:n morfismeille ${\displaystyle C'\xrightarrow {g} C\xrightarrow {h} G(D)}$ sekä ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$:n morfismeille ${\displaystyle F(C)\xrightarrow {f} D\xrightarrow {k} D'}$ pätee

${\displaystyle {\overline {h\circ g}}={\overline {h}}\circ Fg}$ ja ${\displaystyle {\overline {k\circ f}}=Gk\circ {\overline {f}}}$.

Yllä määriteltyä tilannetta merkitään ${\displaystyle F\dashv G}$.

Määritelmä yksikön ja koyksikön kautta

Oletetaan, että on olemassa luonnollinen muunnos ${\displaystyle \eta :id_{\mathcal {C}}\rightarrow GF}$ sekä luonnollinen muunnos ${\displaystyle \varepsilon :FG\rightarrow id_{\mathcal {D}}}$. Tällöin ${\displaystyle (F,G,\eta ,\varepsilon )}$ on liitto mikäli molemmat kaaviot

kommutoivat.

Lause. ${\displaystyle (F,G,\eta ,\varepsilon )}$ on liitto jos ja vain jos ${\displaystyle F}$ on ${\displaystyle G}$:n vasen liittofunktori. Tällöin liitto määrää morfismijoukkojen isomorfismin yksikäsitteisesti, ja käänteisesti, morfismijoukkojen isomorfismi määrää yksikön ja koyksikön yksikäsitteisesti.

Esimerkkejä

• Unohdusfunktorilla ${\displaystyle U:\mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {Set} }$ on sekä vasen että oikea liittofunktorit: ${\displaystyle D\dashv U\dashv I}$, jossa vasen liittofunktori määrittelee jokaiselle joukolle diskreetin topologian, ja oikea liittofunktori indiskreetin topologian.
• Unohdusfunktorilla ${\displaystyle U:\mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {Set} }$ on vasen liittofunktori, joka määrittelee jokaiselle joukolle sen virittämän vapaan ryhmän.
• Jos ${\displaystyle P}$ ja ${\displaystyle Q}$ ovat osittain järjestettyjä joukkoja ja ${\displaystyle F:P\leftrightarrows Q:G}$ funktoreita (eli järjestyksen säilyttäviä funktioita), niin ${\displaystyle F\dashv G}$ jos ja vain jos kaikille alkioille ${\displaystyle p\in P}$ ja ${\displaystyle q\in Q}$ pätee:

${\displaystyle F(p)\leq q}$ jos ja vain jos ${\displaystyle p\leq G(q)}$.

Osittaisjärjestyksen morfismien liitto tunnetaan nimellä Galois'n vastaavuus (tai yhteys).

• Funktorit, jotka muodostavat kategorioiden ekvivalenssin, ovat aina liittofunktoreita.

Viitteet