Lukujono

Lukujono tai yksinkertaisesti jono on järjestetty luettelo tietyn lukujoukon alkioista.

• Sama luku voi toistua lukujonossa määräämättömän monta kertaa.
• Lukujonot ovat samoja, kun niissä on samat jäsenet samassa järjestyksessä.
• Lukujono merkitään yleensä sulkuihin, ja sen jäsenet eli termit tai alkiot erotetaan toisistaan pilkuilla.

Lukujono on äärellinen eli päättyvä, jos sen pituus on rajattu, ja se on puolestaan ääretön eli päättymätön, jos siinä ei ole viimeistä jäsentä. Esimerkiksi (1, 2, 3, 4) ja (9, 66, 102, 9, 102) ovat päättyviä, (e, e, e, e...) ja (2, 4, 6,...) päättymättömiä lukujonoja.

Määritelmä

Tarkemmin lukujonolla (a_n) tarkoitetaan kuvausta

${\displaystyle a:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {K} }$

missä ${\displaystyle \mathbb {N} }$ on luonnollisten lukujen joukko ja ${\displaystyle \mathbb {K} }$ mikä tahansa lukujoukko. Usein K=N, Q, R tai C.

Lukujonoa merkitään a(n) = a_n. Indeksoinnin ei välttämättä tarvitse alkaa nollasta, Katso esimerkiksi osajono. Lukuja a₀, a₁, a₂,... nimitetään lukujonon jäseniksi. Jos lukujonon jäsenet ovat reaalilukuja, sanotaan, että (a_n) on reaalilukujono, jos taas jäsenet ovat rationaalilukuja, sanotaan, että (a_n) on rationaalilukujono, jne.

Jono on kasvava, jos kaikilla n pätee x_n ≤ x_n+1 ja aidosti kasvava, jos kaikilla n pätee x_n < x_n+1. Vastaavasti määritellään vähenevä ja aidosti vähenevä lukujono. Lukujono on monotoninen, jos se on joko kasvava tai vähenevä.

Erikoistapauksia

Esimerkkejä

1. ${\displaystyle (a_{n})=n}$ tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, joka on määritelty analyyttisesti ja jossa ${\displaystyle a_{0}=0,a_{1}=1}$ ...

• Toisin sanoen ${\displaystyle (a_{n})=0,1,2,3,4,5,6,...}$

2. ${\displaystyle (a_{n})=n^{2}}$ tarkoittaa luonnollisten lukujen jonoa, jossa ${\displaystyle a_{0}=0,a_{1}=1,a_{2}=4,...}$

3. Fibonaccin luvut määritellään rekursiivisesti:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}f_{1}&=&1&\\f_{2}&=&1&\\f_{n+1}&=&f_{n}+f_{n-1},&n=2,3,4...\end{matrix}}\right.}$

• Täten esimerkiksi ${\displaystyle f_{3}=f_{2}+f_{1}=1+1=2,\quad f_{4}=f_{3}+f_{2}=2+1=3}$.
• Näin saadaan lukujono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657...

4. Kun määritellään

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a_{0}=2\\a_{n+1}=(a_{n})^{2}\end{matrix}}\right.}$

saadaan lukujono 2, 2² = 4, 4² = 16, 16² = 256, 256² = 65536,..., ts. a₀=2, a₁=4, a₂=16, a₃=256,...

5. Lukujono 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42,... kuvaa sitä, kuinka monella tavalla postitiiviset kokonaisluvut 1, 2, 3,... voidaan jakaa kokonaislukupartitioihin eli kokonaislukuihin, joiden summaksi tulee luku itse. Esim. luvulle viisi saadaan seitsemän erilaista ryhmää: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1 ja 1+1+1+1+1.

6. Lukujono 1, 2, 6, 19, 63, 216, 760, 2725, ... kuvaa ns. kiinnitettyjen (ts. esim. peilikuvat katsotaan erillisiksi tapauksiksi) polyominojen lukumäärää alkioiden lukumäärän n (1, 2, 3, ...) funktiona. Polyominoja voi tutkia myös piirtämällä ruutupaperille pisteitä viivojen risteyskohtiin siten, että mikään piste ei ole muusta kuviosta erillään. Esimerkiksi kolmen pisteen tapauksessa saadaan kuusi hahmoa:

          .       .     .
. . .     .     . .     . .     . .     . .
          .                       .     .

Lukujonon maksimi ja minimi

Riippumatta äärellisen lukujonon jäsenten määrästä äärellisellä lukujonolla on aina olemassa maksimi ja minimi eli suurin ja pienin alkio. Väite todistetaan induktiolla.

Osajono

Kun lukujonosta vähennetään nolla tai enemmän alkioita ja järjestys säilytetään, nimitetään tällaista lukujonoa osajonoksi.

Esimerkiksi

Olkoon (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, ... ) (termejä äärettömän monta) jono a.

Tällöin jono (a₂, a₄, a₅, ...) (termejä silti äärettömän monta) on eräs jonon a osajono.

Huomioitavaa on, että lukujono on myös itse itsensä eräs osajono.

Osajonon indeksitkin muodostavat oman jononsa (osajono voidaan tällöin esittää muodossa: a_y1, a_y2, a_y3, a_y4, ...) jota merkitään joskus esimerkiksi y = (y₁, y₂, y₃, ...). Tällöin pätee aina: y_n ≥ n.

Todistus induktiolla:

Alkuaskel: n = 1, jolloin y₁ on minimissään (maksimista ei luonnollisesti tarvitse välittää) 1. Tällöin pätee 1 ≤ y₁.

Induktio-oletus: n ≤ y_n.

Induktio-askel: n+1 ≤ y_n+1. Koska indeksit ovat luonnollisia lukuja, niin pätee y_n+1 ≤ y_n+1, mistä seuraa: n+1 ≤ y_n+1, MOT.

Katso myös

• Sarja
• Cauchyn jono
• Lukujonon raja-arvo

Lähteet

Kirjallisuutta

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) 2015. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.