Fonction exponentielle double

Cet article concerne la fonction exponentielle double. L’expression « distribution exponentielle double » peut désigner la loi de Laplace, qui est une distribution exponentielle bilatérale ou la distribution de Gumbel qui est une distribution exponentielle itérée.

Une fonction exponentielle double est une fonction exponentielle dont l’exposant est lui-même une fonction exponentielle.

La forme générale est : ${\displaystyle f(x)=a^{b^{x}}}$

Cette fonction croît plus vite qu’une exponentielle simple. Par exemple, pour a = b = 10 :

• f(−1) ≈ 1,25892541 ;
• f(0) = 10 ;
• f(1) = 10¹⁰ ;
• f(2) = 10¹⁰⁰ = googol ;
• f(3) = 10¹⁰⁰⁰ ;
• f(100) = 10¹⁰¹⁰⁰ = googolplex.

Les factorielles croissent plus vite que les exponentielles, mais beaucoup plus lentement que les exponentielles doubles. La fonction hyper-exponentielle et la fonction d'Ackermann croissent encore plus vite.

L’inverse d’une fonction exponentielle double est un logarithme double.

Suites à croissance exponentielle double

Aho et Sloane remarquèrent que, pour certaines suites entières importantes, chaque terme successif est égal au carré du terme précédent plus une constante. Ils montrèrent que de telles suites peuvent être calculées en arrondissant à l’entier le plus proche les valeurs d’une exponentielle double de la forme : ${\displaystyle f(x)=a^{2^{x}}}$.

Les suites d'entiers qui suivent ce schéma sont, en particulier :

• Les nombres de Fermat :

${\displaystyle F(m)=2^{2^{m}}+1}$

• Les nombres doubles de Mersenne :

${\displaystyle MM(p)=2^{2^{p}-1}-1}$

• Les termes successifs de la série de Sylvester (suite A000058 de l'OEIS) :

${\displaystyle s_{n}=\left\lfloor E^{2^{n+1}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$

où E ≈ 1,264084735305 est la constante de Vardi (suite A076393 de l'OEIS).

• L’arité des opérateurs logiques :

${\displaystyle 2^{2^{n}}}$

Plus généralement, si la nième valeur d'une suite d’entiers est proportionnelle à une fonction exponentielle double de n, Ionescu et Stanica qualifient la série de « presque exponentielle double » et indiquent les conditions selon lesquelles elle peut être calculée comme l’arrondi inférieur (arrondi par troncation) d’une série exponentielle double, plus, éventuellement, un coefficient constant.

D’autres suites de ce type sont :

• Les nombres premiers 2, 11, 1 361, … (suite A051254 de l'OEIS)

${\displaystyle a(n)=\left\lfloor A^{3^{n}}\right\rfloor }$

où A ≈ 1,306377883863 est la constante de Mills.

Applications

Références

• Portail de l'analyse