Formule de Feynman-Kac

Interprétation intuitive

On suppose que la position ${\displaystyle X_{t}}$ d'une particule évolue selon le processus de diffusion

$${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)\,dt+\sigma (X_{t},t)\,dW_{t}^{Q}.}$$

On laisse la particule supporter un « coût » à un taux de ${\displaystyle f(X_{s},s)}$ à l'emplacement ${\displaystyle X_{s}}$ à l'époque ${\displaystyle s}$ et qu'elle supporte un coût final à ${\displaystyle \psi (X_{T})}$ .

On suppose également la particule se désintègre. Plus précisément, la particule existe à l'emplacement ${\displaystyle X_{s}}$ au temps ${\displaystyle s}$, puis sa probabilité d'existence décroît avec le taux ${\displaystyle V(X_{s},s)}$ Une fois la particule désintégrée, tout coût futur est nul.

Alors ${\displaystyle u(x,t)}$ est le coût attendu, si la particule commence à ${\displaystyle (t,X_{t}=x).}$

Dérivation de la formule de Feynman-Kac

On montre que la solution ${\displaystyle u(x,t)}$ de la formule de Feynman-Kac satisfait l'EDP :

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\mu {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-Vu+f=0.}$$

On note ${\displaystyle g(t,s)=\exp \left(-\int _{t}^{s}V(X_{r},r)\mathrm {d} r\right)}$ . Sa différentielle satisfait :

$${\displaystyle dg(t,s)=-V(X_{s},s)g(t,s)\,ds.}$$

On définit le processus :

$${\displaystyle Y_{s}=g(t,s)u(X_{s},s)+\int _{t}^{s}g(t,\tau )f(X_{\tau },\tau )\,d\tau .}$$

Aux temps limites, on a :

$${\displaystyle Y_{t}=u(X_{t},t),\quad Y_{T}=g(t,T)\psi (X_{T})+\int _{t}^{T}g(t,\tau )f(X_{\tau },\tau )\,d\tau .}$$

Si ${\displaystyle Y_{s}}$ est une martingale, alors on a

$${\displaystyle u(X_{t},t)=Y_{t}=\mathbb {E} [Y_{T}\mid X_{t}=x]}$$

Il reste ainsi simplement à prouver que ${\displaystyle Y_{s}}$ est une martingale. On suppose ${\displaystyle X_{s}}$ suit l'équation différentielle stochastique

$${\displaystyle dX_{s}=\mu (X_{s},s)\,ds+\sigma (X_{s},s)\,dW_{s}.}$$

Par le lemme d'Itô :

$${\displaystyle du(X_{s},s)=\left({\frac {\partial u}{\partial s}}+\mu {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)ds+\sigma {\frac {\partial u}{\partial x}}dW_{s}.}$$

On différencie ${\displaystyle Y_{s}}$ :

$${\displaystyle dY_{s}=d\left[g(t,s)u(X_{s},s)\right]+g(t,s)f(X_{s},s)\,ds.}$$

Or, en développant ${\displaystyle d[gu]}$ :

$${\displaystyle d[gu]=g\,du+u\,dg+\underbrace {d[g,u]} _{=0}.}$$

En substituant ${\displaystyle dg=-Vg\,ds}$ et ${\displaystyle du}$ :

$${\displaystyle d[gu]=g\left({\frac {\partial u}{\partial s}}+\mu {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)ds}$$$${\displaystyle \qquad \quad +\;g\sigma {\frac {\partial u}{\partial x}}\,dW_{s}\;-\;Vgu\,ds.}$$

On rajoute le terme intégral :

$${\displaystyle dY_{s}=\left[g\left({\frac {\partial u}{\partial s}}+\mu {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)-Vgu+gf\right]ds+g\sigma {\frac {\partial u}{\partial x}}dW_{s}.}$$

Pour que ${\displaystyle Y_{s}}$ soit une martingale, le terme de dérivée doit disparaître, soit :

$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial s}}+\mu {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-Vu+f=0.}$$

Remarques sur la dérivation

• La démonstration supra qu'une solution doit avoir la forme donnée vient de avec des modifications pour ${\displaystyle f(x,t)}$.
• La formule de l'espérance est aussi valide pour des processus d'Itô en dimension N. L'EDP pour ${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{N}\times [0,T]\to \mathbb {R} }$ devient alors: $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(x,t){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{ij}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}-r(x,t)\,u=f(x,t),}$$ où, $${\displaystyle \gamma _{ij}(x,t)=\sum _{k=1}^{N}\sigma _{ik}(x,t)\sigma _{jk}(x,t),}$$ i.e. ${\displaystyle \gamma =\sigma \sigma ^{\mathrm {T} }}$, où ${\displaystyle \sigma ^{\mathrm {T} }}$ désigne la transposée de ${\displaystyle \sigma }$.
• Plus succinctement, pour ${\displaystyle A}$ un générateur infinitésimal du processus de diffusion,$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+Au-r(x,t)\,u=f(x,t),}$$
• Cette espérance peut être approchée par des méthodes de Monte Carlo ou de quasi-Monte-Carlo.
• Quand elle a été originellement publiée par Kac en 1949, la formule de Feynman-Kac a été présentée comme une formule de détermination de distributions de certaines fonctionnes de Wiener. On suppose qu'on veut trouver l'espérance de la fonction $${\displaystyle \exp \left(-\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau \right)}$$dans le cas où x(τ) est une certaine réalisation d'un processus de diffusion avec condition initiale x(0) = 0. La formule de Feynman-Kac établit que cette espérance est équivalente à l'intégrale d'une solution d'une équation de diffusion. Plus précisément, en supposant ${\displaystyle uV(x)\geq 0}$, $${\displaystyle \operatorname {E} \left[\exp \left(-u\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau \right)\right]=\int _{-\infty }^{\infty }w(x,t)\,dx}$$ ave w(x, 0) = δ(x) et $${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w.}$$

La formule de Feynman-Kac peut également être interprétée comme une méthode d'évaluation des intégrales fonctionnelles d'une certaine forme. Si $${\displaystyle I=\int f(x(0))\exp \left(-u\int _{0}^{t}V(x(t))\,dt\right)g(x(t))\,Dx}$$ où l'intégrale est prise sur toutes les marches aléatoires, alors $${\displaystyle I=\int w(x,t)g(x)\,dx}$$ où w(x, t) est une solution de l' équation aux dérivées partielles parabolique $${\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w}$$ avec la condition initiale w(x, 0) = f(x) .

Finance

En finance quantitative, la formule de Feynman-Kac est utilisée pour calculer efficacement les solutions de l' équation de Black-Scholes pour évaluer les options sur actions et les prix des obligations zéro-coupon dans les modèles de structure par terme affine .

Par exemple, on considère un prix de stock ${\displaystyle S_{t}}$ suivant un mouvement brownien géométrique $${\displaystyle dS_{t}=\left(r_{t}dt+\sigma _{t}dW_{t}\right)S_{t}}$$

où ${\displaystyle r_{t}}$ est le taux d'intérêt sans risque et ${\displaystyle \sigma _{t}}$ est la volatilité. De façon équivalente, par le lemme d'Itô,$${\displaystyle d\ln S_{t}=\left(r_{t}-{\tfrac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}\right)dt+\sigma _{t}\,dW_{t}.}$$On considère maintenant un call d'option européen sur un ${\displaystyle S_{t}}$ expirant au temps ${\displaystyle T}$ et de force ${\displaystyle K}$. A l'expiration, sa valeur est ${\displaystyle (X_{T}-K)^{+}.}$ Alors, le prix à risque neutre de l'option, au temps ${\displaystyle t}$ et au prix de stock ${\displaystyle x}$, est

$${\displaystyle u(x,t)=\operatorname {E} \left[\exp \left(-\int _{t}^{T}r_{s}\mathrm {d} s\right)(S_{T}-K)^{+}{\Bigg |}\ln S_{t}=\ln x\right].}$$

En injectant la formule de Feynman-Kac, on retrouve l'équation de Black-Scholes :

$${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u+Au-r_{t}u=0\\u(x,T)=(x-K)^{+}\end{cases}}}$$où

${\textstyle A=(r_{t}-\sigma _{t}^{2}/2)\partial _{\ln x}+{\frac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}\partial _{\ln x}^{2}=r_{t}x\partial _{x}+{\frac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}x^{2}\partial _{x}^{2}.}$

Plus généralement, on considère une option expirant au temps ${\displaystyle T}$ avec une récompense ${\displaystyle g(S_{T})}$. Le même calcul montre que son prix ${\displaystyle u(x,t)}$ satisfait

$${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{t}u+Au-r_{t}u=0\\u(x,T)=g(x).\end{cases}}}$$

Certaines autres options comme l'option américaine n'ont pas de temps d'expiration fixe. Certaines options ont une valeur à expiration déterminée par les prix de stock passés. Par exemple, une option moyenne a une récompense qui n'est pas déterminée par le prix sous-jacent à expiration mais par le prix sous-jacent moyen sur une période prédéterminée. Pour celles-ci, la formule de Feynman-Kac ne s'applique pas directement.

Mécanique quantique

En chimie quantique, elle est utilisée pour résoudre l' équation de Schrödinger avec la méthode de diffusion pure de Monte Carlo.