Loi de Tukey-lambda

	Loi de Tukey-lambda
Paramètres	λ∈ℝ paramètre de forme
Support	{x∈[−1λ,1λ] pour λ>0x∈ℝ pour λ<0
Densité de probabilité	donnée par les quantiles : ; (Q(p;λ),Q′(p;λ)−1),0≤p≤1
Fonction de répartition	(e−x+1)−1, pour λ=0
Espérance	0 pour λ>−1
Médiane	0
Mode	0
Variance	{2λ2(11+2λ−Γ(λ+1)2Γ(2λ+2)) si λ>−1/2π23 si λ=0
Asymétrie	0 pour λ>−1/3
Kurtosis normalisé	(2λ+1)22(4λ+1)g22(3g22−4g1g3+g4)g4(g12−g2)2−3, ; où gk=Γ(kλ+1) et λ>−1/4.
Entropie	∫01log⁡(Q′(p;λ))dp
Fonction caractéristique	∫01exp⁡(itQ(p;λ))dp
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Cet article est une ébauche concernant les probabilités et la statistique.

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En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Tukey-lambda est une loi de probabilité à support compact ou infini, en fonction de la valeur de son paramètre. Cette loi est à densité, cependant sa densité ne possède pas d'expression analytique. La loi est alors définie par ses quantiles.

Différents paramétrages

La loi de Tukey-lambda est connue de façon implicite par la distribution de ses quantiles:

G (p) \equiv F^{- 1} (p) = {\begin{matrix} [p^{λ} - (1 - p)^{λ}] / λ, & si λ \neq 0 \\ logit (p), & si λ = 0 \end{matrix}

avec la fonction logit.

Le paramètre $λ$ est un paramètre de forme, comme le résume le tableau suivant.

λ = −1	approximativement une loi de Cauchy
λ = 0	exactement une loi logistique
λ = 0,14	approximativement une loi normale
λ = 0,5	strictement concave
λ = 1	exactement une loi uniforme continue sur]–1 ; 1[

La densité et la fonction de répartition de cette loi doivent être approchées numériquement. Cette loi a par la suite été généralisée.

$G (p) = λ_{1} + \frac{p^{λ_{3}} - (1 - p)^{λ_{4}}}{λ_{2}}$

$G (p) = λ_{1} + \frac{\frac{p^{λ_{3}}}{λ_{3}} - \frac{(1 - p)^{λ_{4}}}{λ_{4}}}{λ_{2}}$

Loi de Tukey-lambda



Paramètres	$λ \in ℝ$ paramètre de forme
Support	${\begin{matrix} x \in [\frac{- 1}{λ}, \frac{1}{λ}] & pour λ > 0 \\ x \in ℝ & pour λ < 0 \end{matrix}$
Densité de probabilité	donnée par les quantiles : $(Q (p; λ), Q^{'} (p; λ)^{- 1}), 0 \leq p \leq 1$
Fonction de répartition	$(e^{- x} + 1)^{- 1}, pour λ = 0$
Espérance	$0 pour λ > - 1$
Médiane	0
Mode	0
Variance	${\begin{matrix} \frac{2}{λ^{2}} (\frac{1}{1 + 2 λ} - \frac{Γ (λ + 1)^{2}}{Γ (2 λ + 2)}) & si λ > - 1 / 2 \\ \frac{π^{2}}{3} & si λ = 0 \end{matrix}$
Asymétrie	$0 pour λ > - 1 / 3$
Kurtosis normalisé	$\frac{(2 λ + 1)^{2}}{2 (4 λ + 1)} \frac{g_{2}^{2} (3 g_{2}^{2} - 4 g_{1} g_{3} + g_{4})}{g_{4} {(g_{1}^{2} - g_{2})}^{2}} - 3,$ où $g_{k} = Γ (k λ + 1)$ et $λ > - 1 / 4$ .
Entropie	$\int_{0}^{1} \log (Q^{'} (p; λ)) d p$
Fonction caractéristique	$\int_{0}^{1} \exp (i t Q (p; λ)) d p$
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