Mesake Doge commence sa carrière avec l'équipe amateure de Naitasiri dans le championnat national fidjien.
En 2016, il est annoncé dans l'effectif de l'équipe australienne des Greater Sydney Rams en NRC mais ne dispute aucune rencontre.
L'année suivante, il fait partie du groupe élargi de l'équipe fidjienne des Fijian Drua, qui dispute également le NRC, mais n'est ensuite pas retenu dans le groupe définitif,.
Plus tard en 2017, il rejoint le club roumain des Timișoara Saracens en SuperLiga. Avec ce club, il remporte le championnat en 2018.
En 2019, il rejoint le CA Brive en Top 14 pour un contrat de trois saisons,. Il joue son premier match sous ses nouvelles couleurs le contre la Section paloise. Il quitte le CAB à la fin de la saison 2020-2021.
En , il est annoncé qu'il rejoint la province galloise des Dragons en United Rugby Championship. Au terme de sa première saison au club, malgré un temps de jeu conséquent et de bonnes performances, il n'est pas conservé par la province.
Il fait ensuite son retour aux Fidji, et s'engage avec la franchise des Fijian Drua pour la saison 2023 de Super Rugby,. Arrivé blessé au genou, il ne débute avec sa nouvelle équipe qu'au mois de mai, et ne joue que quatre matchs lors de cette première saison.
Il est sélectionné pour la première fois avec l'équipe des Fidji en . Il obtient sa première cape internationale le à l'occasion d'un test-match contre la Géorgie à Suva,.
En 2020, après quatre ans d'absence en sélection, et fait son retour à l'occasion de la Coupe d'automne des nations,.
En , il est sélectionné au sein du groupe élargi fidjien retenu pour préparer la Coupe du monde 2023. En , il fait partie du groupe définitif de 33 joueurs sélectionné pour participer à la Coupe du monde en France. Doublure de Luke Tagi lors de la compétition, il joue quatre matchs comme remplaçant, dont le quart de finale face à l'Angleterre.
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