Module fidèle

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Un module M sur un anneau A est dit fidèle si son annulateur est réduit à {0}, en d'autres termes, si l'action de chaque $α \in A ∖ {0}$ est non triviale ( $α \cdot x \neq 0$ pour un certain $x \in M$ ). Autrement dit, un module est fidèle si la représentation associée $ψ : A \to End (M)$ est injective.

À chaque module, on peut associer un module fidèle en procédant de cette manière. Le morphisme d'anneaux $ψ : A \to End (M)$ se factorise en un morphisme injectif $\tilde{ψ} : A / \ker ψ \to End (M)$ . Comme $\ker ψ$ n'est autre que Ann(M), $\tilde{ψ}$ donne à M une structure de $A / Ann (M)$ -module, et cette fois M est fidèle puisque $\tilde{ψ}$ est injective.

v · m Théorie des anneaux
Structures	Anneau unitaire Pseudo-anneau Demi-anneau Anneau commutatif Anneau de polynômes Ordre Algèbre de Weyl Idéal Corps des fractions Module sur un anneau Algèbre sur un anneau Catégorie des anneaux Spectre
Propriétés arithmétiques	Anneau adélique Anneau local Anneau de Dedekind (non commutatif) Anneau sans diviseur de zéro Anneau principal (non commutatif) Anneau euclidien (non commutatif) Anneau factoriel Anneau à PGCD Anneau de Bézout Anneau de Schreier Anneau de Goldman Anneau intègre Anneau de valuation discrète Anneau d'Ore Anneau réduit Idéal premier Idéal maximal Idéal primaire Idéal primitif (en)
Chaînes d'idéaux	Anneau noethérien Anneau artinien Anneau de Jaffard Anneau cohérent Anneau de Goldie Anneau de Jacobson Anneau de Gorenstein Anneau caténaire
Mesures	Dimension de Krull Dimension homologique Longueur d'un module Profondeur d'un module
Modules	Catégorie des modules Module de type fini Module simple Module semi-simple Module monogène Module libre Module quotient Facteur direct Dual d'un module Annulateur Produit tensoriel Puissance extérieure Bimodule Module artinien Anneau de Cohen-Macaulay Anneau des entiers
Fonctorialité	Anneau d'Hermite Module projectif Module injectif Module plat Module fidèle Anneau régulier
Opérations	Morphisme d'anneaux Localisation Somme directe Produit tensoriel Représentation Quotient Extension d'anneau (en) Radical d'un idéal Nilradical Radical de Jacobson Going up et going down

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