Module semi-simple

En mathématiques et plus précisément en algèbre non commutative, un module sur un anneau est dit semi-simple ou complètement réductible s'il est somme directe de sous-modules simples ou, ce qui est équivalent, si chacun de ses sous-modules possède un supplémentaire.

Les propriétés des modules semi-simples sont utilisées en algèbre linéaire pour l'analyse des endomorphismes, dans le cadre des anneaux semi-simples et pour la théorie des représentations des groupes.

Définitions

Soient A un anneau unitaire (non nécessairement commutatif) et M un A-module.

M est dit simple s'il est non nul et sans autres sous-modules que {0} et M.
Un sous-module de M est dit facteur direct s'il admet un sous-module supplémentaire.
M est dit semi-simple si tout sous-module de M est facteur direct.

Exemples

Espaces vectoriels

Tout espace vectoriel est un module semi-simple (y compris un espace vectoriel sur un corps gauche), puisque tout sous-espace vectoriel possède un sous-espace supplémentaire – c'est une conséquence du théorème de la base incomplète.

Anneaux semi-simples

Article détaillé : Anneau semi-simple.

Un anneau A est dit semi-simple s'il est semi-simple en tant que A-module. Dans ce cas, tous les A-modules seront semi-simples. Deux exemples historiques qui ont précédé la définition des modules semi-simples sont :

l'algèbre engendrée par un endomorphisme diagonalisable (alors que si le polynôme minimal de l'endomorphisme possède une racine multiple, le sous-espace caractéristique correspondant n'est pas semi-simple : voir l'article « Réduction de Jordan ») ;
la K-algèbre d'un groupe fini, si K est un corps dont la caractéristique est soit nulle, soit première avec l'ordre du groupe (voir l'article « Théorème de Maschke »).

Propriétés

Deux lemmes

Pour tout module semi-simple M, les sous-modules de M et ses modules quotients sont semi-simples.

En effet, soit S un sous-module de M. Soit P un sous-module de S, il admet un supplémentaire dans M ; l'intersection de ce supplémentaire et de S est un supplémentaire de P dans S, donc S est semi-simple. Soit maintenant M/N un quotient de M, il est isomorphe à un supplémentaire S de N, donc il est semi-simple d'après ce qui précède.

Tout module semi-simple non nul contient un sous-module simple.

En effet, soient S un module semi-simple non nul et (par le lemme de Zorn) T un sous-module propre maximal. Soit P un supplémentaire de T. Ce sous-module P est simple, par maximalité de T.

Caractérisations équivalentes

Le théorème suivant fournit une équivalence entre diverses caractérisations des modules semi-simples.

Théorème — Les propriétés suivantes sont équivalentes :

M est somme de sous-modules simples ;
M est somme directe de modules simples ;
M est semi-simple.

Démonstration

1⇒2 et même plus précisément : si M est somme d'une famille de modules simples alors il est somme directe d'une sous-famille. En effet, soient (M_i)_i∊I une telle famille et (par le lemme de Zorn) J une partie maximale de I telle que la somme des M_i pour i∊J, que nous noterons N, soit directe. Pour tout i∉J, M_i∩N est non nul (par maximalité de J), donc égal à M_i (par simplicité de ce dernier). Ainsi, tous les M_i sont inclus dans N, donc M aussi, ce qui conclut.
2⇒3 car si M est somme directe d'une famille (M_i)_i∊I de modules simples et si P est un sous-module non nul alors, en choisissant pour J une partie maximale de I telle que la somme de P et des M_i pour i∊J soit directe et en raisonnant comme ci-dessus, on montre que cette somme directe est égale à M.
3⇒1 car si M est semi-simple alors, en notant N la somme de tous ses sous-modules simples et S un supplémentaire de N, d'après les deux lemmes S est nul.

On peut remarquer que d'après ce théorème,

tout module possède un sous-module semi-simple maximum : la somme de tous ses sous-modules simples ;
toute somme directe de modules semi-simples est semi-simple.

Lemme de Schur

Article détaillé : Lemme de Schur pour les modules.

Le lemme de Schur pour les groupes est un lemme technique explicitant la nature des morphismes entre représentations d'un groupe dont l'algèbre est semi-simple, mais se généralise en termes de modules :

Tout morphisme non nul entre modules simples est un isomorphisme.

Plus précisément, un morphisme non nul de M dans N (deux modules quelconques) est injectif dès que M est simple, et surjectif dès que N est simple.

La structure d'un morphisme de modules semi-simples s'en déduit : c'est une somme directe d'isomorphismes de sous-modules simples et de morphismes nuls.

Décomposition canonique

La décomposition d'un module semi-simple M en sous-modules simples n'est pas unique : par exemple le groupe de Klein, qui possède trois sous-groupes d'ordre deux, est somme directe de deux quelconques de ces trois sous-groupes.

Mais en choisissant l'une des décompositions de M et en regroupant, parmi les facteurs simples de cette somme directe, tous ceux qui sont isomorphes entre eux, on obtient une décomposition de M en somme directe de facteurs semi-simples N_S (S désignant une classe d'isomorphisme de modules simples) dont on va montrer qu'ils sont, eux, canoniques.

Pour cela, on définit la notion d'isotypie : nous dirons qu'un module semi-simple N est S-isotypique s'il vérifie l'une des trois propriétés équivalentes suivantes :

N est somme de sous-modules de classe S ;
N est somme directe de modules de classe S ;
tout sous-module simple de N est de classe S.

Preuve de l'équivalence

3⇒1 et 1⇒2 se déduisent du théorème de caractérisation ci-dessus et de sa preuve. 2⇒1 se déduit du lemme de Schur, en remarquant que si un module simple P est sous-module d'une somme directe de modules simples, alors l'image de P dans au moins l'un des facteurs de cette somme est non nulle, donc P est isomorphe à ce facteur.

Cette définition permet de donner des sous-modules N_S deux caractérisations qui dépendent uniquement de M et justifient leur nom de composantes isotypiques de M : pour toute classe d'isomorphisme T d'un sous-module simple P de M,

N_T est la somme de tous les sous-modules de M isomorphes à P ;
N_T est le sous-module T-isotypique maximum de M.

Démonstration

Il s'agit de prouver que la classe T de P fait partie des indices S de la famille (N_S) – qui pour l'instant dépend, en apparence, de la décomposition de M dont on est partis – et que P est inclus dans N_T. Ceci résulte du fait que M est la somme directe des N_S et que d'après le lemme de Schur, pour tout S différent de T, l'image de P dans le facteur N_S est nulle.

Notes et références

↑ En revanche, pour qu'un module M soit semi-simple, il ne suffit pas qu'il possède un sous-module semi-simple N tel que M/N soit semi-simple : par exemple, le ℤ-module ℤ/4ℤ n'est pas semi-simple (2ℤ/4ℤ n'a pas de supplémentaire), bien qu'il soit extension du groupe abélien ℤ/2ℤ par lui-même et que ce dernier soit simple.
↑ Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]
↑ C'est une conséquence directe de la définition des modules simples et c'est le seul « énoncé du lemme de Schur » utilisé ici, mais les deux articles « Lemme de Schur pour les modules » et « Lemme de Schur pour les groupes » présentent des énoncés plus sophistiqués.

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. VIII

Articles connexes

Module sériel (en)

Portail de l’algèbre

[1] En revanche, pour qu'un module M soit semi-simple, il ne suffit pas qu'il possède un sous-module semi-simple N tel que M/N soit semi-simple : par exemple, le ℤ-module ℤ/4ℤ n'est pas semi-simple (2ℤ/4ℤ n'a pas de supplémentaire), bien qu'il soit extension du groupe abélien ℤ/2ℤ par lui-même et que ce dernier soit simple.

[2] Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]

[3] C'est une conséquence directe de la définition des modules simples et c'est le seul « énoncé du lemme de Schur » utilisé ici, mais les deux articles « Lemme de Schur pour les modules » et « Lemme de Schur pour les groupes » présentent des énoncés plus sophistiqués.

v · m Théorie des anneaux
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Modules	Catégorie des modules Module de type fini Module simple Module semi-simple Module monogène Module libre Module quotient Facteur direct Dual d'un module Annulateur Produit tensoriel Puissance extérieure Bimodule Module artinien Anneau de Cohen-Macaulay Anneau des entiers
Fonctorialité	Anneau d'Hermite Module projectif Module injectif Module plat Module fidèle Anneau régulier
Opérations	Morphisme d'anneaux Localisation Somme directe Produit tensoriel Représentation Quotient Extension d'anneau (en) Radical d'un idéal Nilradical Radical de Jacobson Going up et going down