Nombre premier permutable

En arithmétique, un nombre premier permutable est un nombre premier qui, dans une base donnée, reste premier après n'importe quelle permutation de ses chiffres. Cette définition a été proposée par Bill Gosper en 2003.

Exemples et contre-exemples

Trivialement:

• un nombre à un seul chiffre est un nombre premier permutable dès qu'il est premier ;
• un nombre répunit R_n^(b) — constitué de n fois le chiffre 1 — est un nombre premier permutable dès qu'il est premier ;
• si n est un nombre composé, R_n^(b) n'est pas premier — donc pas premier permutable ;
• un nombre uniforme non répunit à au moins deux chiffres — constitué de n (≥ 2) fois un chiffre > 1 — n'est jamais premier (il est divisible par R_n^(b)) donc n'est jamais un nombre premier permutable ;
• un nombre à au moins deux chiffres et dont au moins l'un des chiffres a un facteur premier p commun avec la base n'est jamais premier permutable (les permutés dans lesquels ce chiffre est le chiffre des unités sont divisibles par p). Par exemple en base deux, les nombres de Mersenne premiers sont les seuls premiers permutables et plus généralement en base paire — comme la base dix ou seize — un nombre > 2 ayant au moins un chiffre pair n'est pas premier permutable.

Premiers permutables selon les bases

En base dix, les 26 plus petits nombres premiers permutables sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97, 113, 131, 199, 311, 337, 373, 733, 919, 991, R₁₉, R₂₃, R₃₁₇ et R_{1 031} (suite A003459 de l'OEIS), c'est-à-dire les 16 nombres suivants et leurs permutés : 2, 3, 5, 7, R₂, 13, 17, 37, 79, 113, 199, 337, R₁₉, R₂₃, R₃₁₇ et R_{1 031}.

Il est conjecturé que tout autre nombre premier permutable est uniforme, donc répunit premier, et qu'il en existe une infinité. Une conjecture analogue a été proposée dans les autres bases ; en base 2 cela revient à se demander s'il existe une infinité de nombres de Mersenne premiers.

Sources

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
Prime Pages Liste de nombres premiers Liste de suites de nombres premiers

• Arithmétique et théorie des nombres