Produit vide

Nombres réels

Considérons l'exemple d'un produit ${\displaystyle P_{1}}$ de nombres réels ${\displaystyle (x_{i})_{i\in [\![m,\,M]\!]}}$ quelconques.

${\displaystyle P_{1}=\prod _{i=m}^{M}x_{i}={\begin{cases}x_{m}\times x_{m+1}\times \dots \times x_{M-1}\times x_{M},&{\text{si }}m\leq M,\\1,&{\text{si }}m>M.\end{cases}}}$

Dans le cas où ${\displaystyle m\leq M}$, l'ensemble des indices pris en compte dans le produit est non vide. Les éléments correspondant à ces indices sont donc pris en compte. Cependant si ${\displaystyle m>M}$, l'ensemble des indices considérés pour le produit est vide. Aucun élément n'est incorporé dans le calcul, et la convention fixe le résultat à ${\displaystyle 1}$.

Dans un cas similaire, l'opération factorielle d'aucun nombre vaut ${\displaystyle 0!\,=\,1}$. De même, l'opération de puissance sur aucun nombre donne ${\displaystyle a^{0}\,=\,1}$, puisque cela revient à ne multiplier aucun nombre entre eux.

Produit cartésien d'ensemble

Le produit cartésien d'une famille d'ensembles indexée par l'ensemble vide est le singleton dont l'unique élément est la fonction vide de ${\displaystyle \varnothing }$ dans ${\displaystyle \varnothing }$.

Produit direct

Par exemple, le produit direct vide (à un isomorphisme près) de groupes est (à un isomorphisme près) le groupe trivial, puisque chaque groupe est isomorphe à son produit direct avec le groupe trivial.