Racine carrée de 2

Format de papier

Les formats de papier A, B et C de la norme ISO 216, d’emploi courant hors de l’Amérique du Nord, ont été conçus pour vérifier une propriété remarquable : une feuille coupée en deux parties égales par la largeur, produit deux feuilles semblables à l’original ; c’est-à-dire avec le même rapport longueur/largeur. L’aire étant diminuée d’un facteur 2, ceci n’est possible que si ce rapport vaut ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ; dans la pratique, les dimensions sont arrondies.

Ci-dessous sont données les valeurs approximatives des formats A0 à A5 en fonction de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

Valeurs approximatives des dimensions des formats A0 à A5 exprimées en fonction de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Dans la pratique, les dimensions sont arrondies.

format	longueur (m)	largeur (m)	aire (m2)
A0	${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {\sqrt {2}}}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle 1}$
A1	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {\sqrt {2}}}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {\sqrt {2}}}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}}$
A2	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {\sqrt {2}}}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {\sqrt {2}}}{2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{4}}}$
A3	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {\sqrt {2}}}{2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{8}}}$
A4	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {\sqrt {2}}}{4}}}$	${\displaystyle {\dfrac {\sqrt {\sqrt {2}}}{4{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\dfrac {1}{16}}}$

Les séries B et C diffèrent de la série A respectivement d’un facteur ${\textstyle {\sqrt {\sqrt {2}}}}$ (${\displaystyle \sim 1,19}$) et ${\textstyle {\sqrt {\sqrt {\sqrt {2}}}}}$ (${\displaystyle \sim 1,09}$).

Les facteurs d’agrandissement de ${\displaystyle 200\%,141\%,71\%,50\%}$ proposés par les photocopieuses sont des approximations de ${\displaystyle ({\sqrt {2}})^{n}}$ qui permettent le passage à des formats de papier supérieurs ou inférieurs — que ce soit physiquement ou par impression de ${\displaystyle 2^{n}}$ pages par feuille.

En mathématiques, on note plus volontiers ${\textstyle {\sqrt {\sqrt {2}}}={\sqrt[{4}]{2}}=2^{1/4}}$ et ${\textstyle {\sqrt {\sqrt {\sqrt {2}}}}={\sqrt[{8}]{2}}=2^{1/8}}$.

Musique

La gamme du tempérament égal se construit ainsi : le rapport de fréquences entre les notes extrêmes de l’octave est 2 ; et la gamme est divisée en douze demi-tons de rapports de fréquence égaux ${\displaystyle f}$. Le rapport de fréquences entre la note la plus haute et la plus basse est donc ${\displaystyle f^{12}}$, qui vaut, comme indiqué précédemment, 2. Le demi-ton a ainsi un rapport ${\displaystyle f=2^{1/12}}$.

Rapports de fréquences des notes de la gamme tempérée par rapport à la note la plus basse.

do

do♯

ré

ré♯

mi

fa

fa♯

sol

sol♯

la

la♯

si

do

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 2^{1/12}}$

${\displaystyle 2^{1/6}}$

${\displaystyle 2^{1/4}}$

${\displaystyle 2^{1/3}}$

${\displaystyle 2^{5/12}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle 2^{7/12}}$

${\displaystyle 2^{2/3}}$

${\displaystyle 2^{3/4}}$

${\displaystyle 2^{5/6}}$

${\displaystyle 2^{11/12}}$

${\displaystyle 2}$

Dans ce système, la quarte augmentée (do–fa♯) et la quinte diminuée (do-sol♭) sont égales et valent six demi-tons ; elles ont un rapport de fréquences de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Le chant grégorien utilise cet intervalle, le triton, mais à la fin du Moyen Âge celui-ci est systématiquement évité car jugé trop dissonant. Il reçoit alors le surnom de « Diabolus in Musica».

Électricité

En électricité, la tension efficace U_eff d’un courant alternatif sinusoïdal monophasé — par exemple les 110 V ou 220 V du courant domestique — est reliée à l’amplitude de la tension ${\displaystyle \mathrm {U_{\text{max}}} }$ par

${\displaystyle \mathrm {U} _{\max }=\mathrm {U} _{\mathrm {eff} }{\sqrt {2}}}$, noté aussi ${\displaystyle {\widehat {\mathrm {U} }}=\mathrm {U} {\sqrt {2}}}$,

soit, dans la plupart des applications courantes :

${\displaystyle \mathrm {U} _{\mathrm {eff} }=0,7\,\mathrm {U} _{\max }{\sqrt {2}}.}$

Cela est valable plus généralement pour la valeur efficace des grandeurs linéaires d’une onde sinusoïdale. On remarquera aussi que

${\displaystyle 20\log(\mathrm {U} /{\sqrt {2}})=20\log \mathrm {U} -20\log {\sqrt {2}}=20\log \mathrm {U} -\log({\sqrt {2}}^{20})=20\log \mathrm {U} -\log(2^{10})=20\log \mathrm {U} -\log(1024)\simeq 20\log \mathrm {U} -3.}$

On parle de bande passante à −3 décibels.

Photographie

Les ouvertures des appareils photographiques suivent la séquence normalisée ${\displaystyle {\dfrac {f}{1{,}4}}\,;{\dfrac {f}{2}}\,;{\dfrac {f}{2{,}8}}\,;{\dfrac {f}{4}}\,;{\dfrac {f}{5{,}6}}\,;{\dfrac {f}{8}}\,;{\dfrac {f}{11}}\,;{\dfrac {f}{16}}\,;{\dfrac {f}{22}}\,;{\dfrac {f}{32}}\,;{\text{etc}}}$. Le rapport entre deux ouvertures consécutives est une valeur proche de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, qui a été choisie de sorte que le rapport de flux lumineux soit dans un rapport 2 (flux = diamètre²). En diminuant d’un « cran » l’ouverture on double le temps de pose nécessaire ou diminue d’un facteur 2 la sensibilité de la pellicule requise.

Dans la pratique, l’ouverture indiquée est un arrondi ; l’ouverture réelle peut coller au plus proche de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Il existe des subdivisions sur les appareils modernes, souvent dans des rapports ${\displaystyle {\sqrt {\sqrt {2}}}}$ ou ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{1/3}}$.

Lien entre ouverture, diamètre du diaphragme et flux lumineux reçu à pose et sensibilités fixés.

Ouverture	${\displaystyle {\dfrac {f}{1{,}4}}}$	${\displaystyle {\dfrac {f}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {f}{2{,}8}}}$	${\displaystyle {\dfrac {f}{4}}}$	${\displaystyle {\dfrac {f}{5{,}6}}}$	${\displaystyle {\dfrac {f}{8}}}$	${\displaystyle {\dfrac {f}{11}}}$	${\displaystyle {\dfrac {f}{16}}}$	${\displaystyle {\dfrac {f}{22}}}$	${\displaystyle {\dfrac {f}{32}}}$
Diamètre	${\displaystyle d}$	${\displaystyle {\dfrac {d}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle {\dfrac {d}{2}}}$	${\displaystyle {\dfrac {d}{2{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\dfrac {d}{4}}}$	${\displaystyle {\dfrac {d}{4{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\dfrac {d}{8}}}$	${\displaystyle {\dfrac {d}{8{\sqrt {2}}}}}$	${\displaystyle {\dfrac {d}{16}}}$	${\displaystyle {\dfrac {d}{16{\sqrt {2}}}}}$
Flux	${\displaystyle I}$	${\displaystyle {\frac {I}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {I}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {I}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {I}{16}}}$	${\displaystyle {\frac {I}{32}}}$	${\displaystyle {\frac {I}{64}}}$	${\displaystyle {\frac {I}{128}}}$	${\displaystyle {\frac {I}{256}}}$	${\displaystyle {\frac {I}{512}}}$

Par parité

Soit ${\displaystyle p}$ le plus petit entier strictement positif tel que ${\displaystyle p^{2}}$ soit le double d'un carré, et soit ${\displaystyle q}$ l'entier positif tel que ${\displaystyle p^{2}=2q^{2}}$. Alors, ${\displaystyle p>q}$ (puisque ${\displaystyle p^{2}>q^{2}}$) et ${\displaystyle p}$ est pair (puisque son carré l'est). En notant ${\displaystyle p=2r}$ (ce qui donne ${\displaystyle 4r^{2}=2q^{2}}$) et en simplifiant par 2 (soit ${\displaystyle 2r^{2}=q^{2}}$), l'équation se réécrit alors ${\displaystyle q^{2}=2r^{2}}$, avec ${\displaystyle 0<q<p}$, ce qui contredit la minimalité dans le choix de ${\displaystyle p}$.

Une variante consiste à pratiquer une descente infinie à partir d'une (hypothétique) solution ${\displaystyle p^{2}=2q^{2}}$ : on construit ${\displaystyle r}$ comme ci-dessus, puis ${\displaystyle s,t}$, etc. tels que ${\displaystyle p^{2}=2q^{2}}$, ${\displaystyle q^{2}=2r^{2}}$, ${\displaystyle r^{2}=2s^{2}}$, … et ${\displaystyle p>q>r>s>\ldots }$, ce qui est absurde puisqu'il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante d'entiers positifs.

Par soustractions réciproques

Soient à nouveau ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ entiers strictement supérieurs à ${\displaystyle 0}$ tels que ${\displaystyle {\dfrac {p}{q}}={\sqrt {2}}}$ avec ${\displaystyle pq}$ le plus petit possible ou, ce qui revient au même, ${\displaystyle q}$ le plus petit possible. On déduit de ${\displaystyle p^{2}=2q^{2}}$ que ${\displaystyle p(p-q)=p^{2}-pq=2q^{2}-pq=(2q-p)q}$, d'où en posant

${\displaystyle r=p-q}$ et ${\displaystyle s=2q-p}$ :

${\displaystyle {\dfrac {p}{q}}={\dfrac {s}{r}}}$, ce qui contredit la minimalité de ${\displaystyle q}$, puisque ${\displaystyle 0<r<q}$.

En résumé : soit ${\displaystyle q}$ le plus petit entier strictement supérieur à ${\displaystyle 0}$ tel que ${\displaystyle q{\sqrt {2}}}$ est entier, alors ${\displaystyle q{\sqrt {2}}-q}$ est encore un tel entier qui est strictement inférieur à ${\displaystyle q}$, d'où une contradiction.

(On peut, comme précédemment, transformer ce raisonnement en une descente infinie.)

Par un argument géométrique

Démontrer l'irrationalité de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ revient à démontrer que, pour une unité donnée, il n'existe pas de triangle isocèle rectangle dont les côtés sont chacun de longueur un nombre entier d'unité.

Si un tel triangle existe, alors il en existe nécessairement un plus petit dont les côtés sont aussi de longueur entière (sa construction est donnée sur le dessin ci-contre et détaillée ci-dessous). Or si un tel triangle existe, il en existe nécessairement un minimal ayant cette propriété (celui dont le côté de l'angle droit, par exemple, est minimal) d'où une contradiction.

Soit ${\displaystyle ABC}$ un triangle isocèle rectangle en ${\displaystyle B}$ et de côtés entiers. Alors, le cercle centré en ${\displaystyle A}$ de rayon la longueur du petit côté ${\displaystyle AB}$ coupe l'hypoténuse ${\displaystyle [AC]}$ en un point ${\displaystyle B'}$ tel que ${\displaystyle B'C}$ soit encore de longueur entière, puisque ${\displaystyle AC}$ et ${\displaystyle AB'}$ le sont. La perpendiculaire menée en ${\displaystyle B'}$ à l'hypoténuse ${\displaystyle [AC]}$ coupe le côté ${\displaystyle [BC]}$ en ${\displaystyle A'}$. Le triangle ${\displaystyle A'B'C}$ est isocèle rectangle en ${\displaystyle B'}$, puisque l'angle en ${\displaystyle B}$ est droit et l'angle en ${\displaystyle C}$ est celui du triangle d'origine. Les droites ${\displaystyle (A'B)}$ et ${\displaystyle (A'B')}$ sont les tangentes issues de ${\displaystyle A'}$ au cercle de centre ${\displaystyle A}$ et de rayon ${\displaystyle AB=AB'}$, et donc ${\displaystyle A'B=A'B'}$, donc ${\displaystyle A'B=A'B'=B'C}$, et ${\displaystyle A'C}$ est de longueur entière. On peut aussi interpréter la construction comme le pliage du triangle ${\displaystyle ABC}$ dans lequel on ramène le côté ${\displaystyle [AB]}$ sur l'hypoténuse.

On peut, en explicitant les calculs des côtés du triangle, donner une version purement arithmétique de cette preuve qui est alors celle du paragraphe précédent (prendre ${\displaystyle p=AC}$ et ${\displaystyle q=AB=BC}$).

Par le lemme de Gauss

Soit ${\displaystyle q}$ le plus petit entier strictement supérieur à ${\displaystyle 0}$ tel que le nombre ${\displaystyle p:=q{\sqrt {2}}}$ soit entier, alors ${\displaystyle q}$ est premier avec ${\displaystyle p}$, or il divise ${\displaystyle p^{2}}$. Il est donc égal à 1, et ${\displaystyle p^{2}=2}$, ce qui est impossible. C'est, particularisé à 2, un argument général qui montre que la racine carrée d'un entier qui n'est pas un carré parfait est irrationnelle.

Par le théorème fondamental de l'arithmétique

Le couple ${\displaystyle (p,q)}$ tel que ${\displaystyle p^{2}=2q^{2}}$ étant cette fois arbitraire (i.e. ${\displaystyle q}$ non nécessairement minimum), la contradiction vient de ce que dans la décomposition en produit de facteurs premiers, ${\displaystyle p^{2}}$ a un nombre pair de facteurs et ${\displaystyle 2q^{2}}$ un nombre impair. Une variante est de compter seulement les facteurs égaux à 2. Cet argument, là encore, s'adapte immédiatement à la racine carrée d'un entier qui n'est pas un carré parfait.

Par les congruences

Avec ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ premiers entre eux comme plus haut, donc non tous deux divisibles par ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle p^{2}-2q^{2}}$ ne peut pas être nul puisque modulo ${\displaystyle 3}$, il est congru à ${\displaystyle 0^{2}-2\times (\pm 1)^{2}}$ ou ${\displaystyle (\pm 1)^{2}-2\times 0^{2}}$ ou ${\displaystyle (\pm 1)^{2}-2\times (\pm 1)^{2}}$, c'est-à-dire à ${\displaystyle \pm 1}$. (En utilisant la notion d'inverse modulaire, on peut, dans cette méthode, remplacer ${\displaystyle 3}$ par n'importe quel nombre premier ${\displaystyle P}$ tel que 2 n'est pas un carré modulo ${\displaystyle P}$, c.-à-d. P congru à 3 ou 5 modulo 8).

Construction de √2 à la règle et au compas

Comme toute racine carrée de nombre entier, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ est constructible à la règle et au compas ; a contrario, ce n’est pas le cas de la racine cubique de 2 (c'est le problème de la duplication du cube.

Étant donné un segment ${\displaystyle AB}$ de longueur unité, voici les différentes étapes pour construire un segment de longueur ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ avec une règle non graduée et un compas :

1. Tracer le symétrique ${\displaystyle B'}$ de ${\displaystyle B}$ par rapport à ${\displaystyle A}$
   • Tracer le cercle ${\displaystyle C_{1}}$ de centre ${\displaystyle A}$ et de rayon ${\displaystyle AB}$, il coupe la demi-droite ${\displaystyle [BA)}$ en ${\displaystyle B'}$
2. Tracer la médiatrice ${\displaystyle (AH)}$ de ${\displaystyle [BB']}$
   • Tracer le cercle ${\displaystyle C_{2}}$ de centre ${\displaystyle B}$ et de rayon ${\displaystyle r>AB}$
   • Tracer le cercle ${\displaystyle C_{3}}$ de centre ${\displaystyle B'}$ et de rayon ${\displaystyle r}$, il coupe ${\displaystyle C_{2}}$ en deux points, ${\displaystyle H}$ et ${\displaystyle H'}$
   • Tracer le segment ${\displaystyle [AH]}$ il intersecte ${\displaystyle C_{1}}$ en un point ${\displaystyle C}$.

À cette étape le segment ${\displaystyle [BC]}$ de longueur ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ est construit.

Construction de √2 au compas seul

Comme tout nombre constructible à la règle et au compas, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ est constructible au compas seul. Les étapes d’une construction possible sont :

1. Tracer quatre sommets consécutifs ${\displaystyle B,G,H,I}$ de l’hexagone régulier de centre ${\displaystyle A}$ et de sommet ${\displaystyle B}$ ; ceci permet de construire ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$, l’unité étant la longueur ${\displaystyle AB}$.
   • Tracer le cercle ${\displaystyle C_{1}}$ de centre ${\displaystyle A}$ et de rayon ${\displaystyle AB}$ ;
   • Tracer le cercle ${\displaystyle C_{2}}$ de centre ${\displaystyle B}$ et de rayon ${\displaystyle AB}$, il coupe ${\displaystyle C_{1}}$ en deux points, soit ${\displaystyle G}$ l’un d’entre eux ;
   • Tracer le cercle ${\displaystyle C_{3}}$ de centre ${\displaystyle G}$ et de rayon ${\displaystyle AB}$, il coupe ${\displaystyle C_{1}}$ en ${\displaystyle B}$ et ${\displaystyle H}$;
   • Tracer le cercle ${\displaystyle C_{4}}$ de centre ${\displaystyle H}$ et de rayon ${\displaystyle AB}$, il coupe ${\displaystyle C_{1}}$ en ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle I}$ ;
2. Construire un triangle rectangle ${\displaystyle ABC}$ d’hypoténuse ${\displaystyle BC={\sqrt {3}}}$ (${\displaystyle AB=1}$) ; ${\displaystyle C}$ est l’un des deux points tel qu'${\displaystyle IC=IG}$ et ${\displaystyle BC=BH}$ (sachant que ${\displaystyle IG=BH={\sqrt {3}}>{\dfrac {IB}{2}}=1}$).
   • Tracer le cercle ${\displaystyle C_{5}}$ de centre ${\displaystyle I}$ et de rayon ${\displaystyle IG}$ ;
   • Tracer le cercle ${\displaystyle C_{6}}$ de centre ${\displaystyle B}$ et de rayon ${\displaystyle BH}$ (${\displaystyle =IG}$), il coupe ${\displaystyle C_{5}}$ en ${\displaystyle C}$.

À cette étape le segment ${\displaystyle [AC]}$ de longueur ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ est construit.

La période paléo-babylonienne

La culture mathématique de la période paléo-babylonienne est avant tout algorithmique. Elle dispose d'un système de numération en notation positionnelle. Certaines tablettes, comme celle notée BM 13901, montrent une bonne connaissance des questions du second degré, probablement traitées à partir de méthodes géométriques simples, par copié-collé d'aires rectangulaires. En plus de disposer de méthodes de résolution, les Babyloniens savent calculer des approximations de racines carrées. La tablette YBC 7289, rédigée dans le premier tiers du second millénaire avant notre ère, donne une approximation de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, interprétée comme le rapport de la diagonale du carré au côté, sous la forme suivante :

Cette écriture correspond à la meilleure approximation possible de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ avec quatre chiffres significatifs en numération babylonienne (base ${\displaystyle 60}$). L'approximation est précise au millionième. Elle dénote la connaissance d'un algorithme d'approximation de racine carrée, mais on ignore lequel. Il pourrait être de type méthode de Héron, encore aujourd'hui l'une des plus efficaces.

L'Inde védique

Les Śulba-Sūtras, des textes rituels indiens de l'époque védique énoncent des règles géométriques pour la construction d'autels sacrificiels. La date de leur composition est difficile à déterminer, les plus anciens pourraient avoir été composés entre 800 et 500 av. J.-C.. Ils donnent un énoncé de ce que nous appelons maintenant le théorème de Pythagore, y compris le cas particulier de la diagonale du carré, qui permet de doubler son aire. Ils fournissent également une règle pour le calcul de la longueur de cette diagonale en fonction du côté, qui équivaut à une approximation rationnelle de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ remarquablement précise :

${\displaystyle {\sqrt {2}}\simeq 1+{\dfrac {1}{3}}+{\dfrac {1}{3\times 4}}-{\dfrac {1}{3\times 4\times 34}}}$,

soit environ ${\displaystyle 1{,}4142157}$, une valeur précise à un peu plus de 2 millionièmes près. L'un des Śulba-Sūtras, celui de Kātyāyana, précise qu'il ne s'agit que d'une valeur approchée. Les traités ne donnent aucune indication sur la façon dont a été dérivée cette formule, même si plusieurs méthodes ont été proposées par les historiens.

Grèce antique

Les mathématiciens de la Grèce antique ont découvert et démontré l'irrationalité de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ à une époque qu'il est difficile de déterminer, au plus tard dans les premières décennies du IV^e siècle av. J.-C., et vraisemblablement pas avant le V^e siècle av. J.-C.. Ils ne l'exprimaient pas de cette façon : pour eux il n'est pas question d'un nombre ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, mais de rapport (au sens d'une relation) entre la diagonale et le côté du carré, et ils montrent que ceux-ci sont incommensurables, c'est-à-dire que l'on ne peut trouver de segment unité, aussi petit soit-il avec lequel mesurer de façon exacte ces deux longueurs.

La découverte de l'irrationalité, sa date, les circonstances qui ont amené à celle-ci, ses conséquences, la nature des premières démonstrations… tout ceci a suscité beaucoup de travaux chez les historiens, sans pour autant que ceux-ci arrivent à un consensus.

On ne possède pas de témoignages archéologiques analogues aux tablettes d'argile des Babyloniens, pour les mathématiques de la Grèce antique, mais de textes transmis par la tradition, par copie et recopie. Les premiers à nous être parvenus datent du IV^e siècle av. J.-C., dans des œuvres dont les mathématiques ne sont pas l'objectif premier, les écrits de Platon, puis ceux d'Aristote.

Vers le nombre √2

L'histoire de la racine de 2 se confond alors avec celle de la racine carrée et plus généralement des irrationnels, en quelques lignes :

• les Grecs, avec le livre V des Éléments, conçoivent ce que nous appelons les rationnels ou les réels comme des proportions, et non pas des nombres, théorie « subtile mais non directement opératoire » ;
• alors que la tradition arithmético-algébrique, de Diophante à Al-Khawarizmi, au début du IX^e siècle, est restreinte aux nombres rationnels positifs, les mathématiciens du monde arabo-musulman comme Abu Kamil dès le X^e siècle, puis Al-Karaji et Al-Samaw'al, développent une algèbre et un calcul qui comprend les nombres irrationnels, ce dernier et Al-Kashi utilisent des approximations décimales dans le cas des irrationnels ;
• Omar Khayyam développe au XI^e siècle une théorie des proportions où celles-ci sont des nombres, même si les incommensurables sont encore appelées impropres, travail que prolonge Nasir al-Din al-Tusi au XIII^e siècle ;
• L'Europe n'assimile ces notions que tardivement, les travaux des mathématiciens du monde arabo-musulman, en particulier ceux d'Al-Tusi, sont connus en Europe au XVI^e siècle, qui est une période de polémique pour savoir si les irrationnels méritent le statut de nombre, c'est à cette époque que l'usage du symbole ${\displaystyle {\sqrt {\quad }}}$ se répand ;
• même si le débat se poursuit au XVII^e siècle, il finit par se régler avec le développement du calcul algébrique et du calcul infinitésimal, le cadre théorique ne sera cependant défini que dans la seconde moitié du XIX^e siècle, concurremment par plusieurs mathématiciens, Dedekind, Weierstrass, Cantor et Méray (voir construction des nombres réels).

Dedekind pourra ainsi affirmer en 1872 quand il publiera son traité sur la construction des réels, que jusqu'alors, jamais l'égalité ${\displaystyle {\sqrt {2}}\times {\sqrt {3}}={\sqrt {6}}}$ n'avait été démontrée rigoureusement.

Normalité

La normalité est un concept se basant sur la distribution des chiffres du développement décimal d’un nombre irrationnel, à savoir si tous les chiffres de 0 à 9 apparaissent dans ce développement et avec la même fréquence. En ce qui concerne ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, on ignore s’il est normal dans le système décimal ou dans toute autre base de numération.

Degré algébrique et degré d'irrationalité

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ est un nombre algébrique de degré 2, dit entier quadratique, car solution de l’équation polynomiale du second degré à coefficients entiers ${\displaystyle x^{2}-2=0}$ et de monôme dominant de coefficient égal à 1, mais d’aucune de degré 1 de par son irrationalité. On sait ainsi qu’il est difficilement approchable par une suite rationnelle ${\displaystyle {\dfrac {p_{n}}{q_{n}}}}$ ; l’erreur est au mieux en

${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|\sim {\frac {1}{{q_{n}}^{2}}}}$

Comme pour tout nombre algébrique irrationnel, sa mesure d'irrationalité est 2.

Développement en fraction continue

La partie entière de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ est ${\displaystyle 1}$ et sa partie décimale est donc ${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$, soit encore ${\displaystyle {\dfrac {1}{1+{\sqrt {2}}}}}$. On peut écrire ce résultat sous la forme :

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}}$

En remplaçant ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ dans le membre de droite par ${\displaystyle 1+{\dfrac {1}{1+{\sqrt {2}}}}}$, on obtient successivement

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\frac {1}{{\color {red}2}+{\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}}}=1+{\frac {1}{{\color {red}2}+{\frac {1}{{\color {red}2}+{\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}}}}}=1+{\frac {1}{{\color {red}2}+{\frac {1}{{\color {red}2}+{\frac {1}{{\color {red}2}+{\frac {1}{1+{\sqrt {2}}}}}}}}}}=\cdots }$

Ceci fournit le développement en fraction continue périodique de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2\ldots ],}$

ainsi que quelques valeurs approchées de ce nombre : ${\displaystyle {\dfrac {3}{2}},{\dfrac {7}{5}},{\dfrac {17}{12}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ est relié à un certain nombre de développements en fractions continues périodiques, par propriété des entiers quadratiques.

Pour ${\displaystyle a,b}$ entiers strictement positifs tels que ${\displaystyle a^{2}-2b^{2}=-1}$, on a le développement suivant

${\displaystyle b{\sqrt {2}}-a={\cfrac {1}{2a+{\cfrac {1}{2a+{\cfrac {1}{2a+\cdots }}}}}}\,}$

Ce développement se note couramment de manière plus concise :

${\displaystyle b{\sqrt {2}}=[a;2a,2a,2a,\ldots ]}$.

On en tire les valeurs suivantes de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ :

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\dfrac {1}{5}}\times [7;14,14,14,\ldots ]}$,

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\dfrac {1}{29}}\times [41;82,82,82,\ldots ]}$.

Plus généralement, pour ${\displaystyle a,b}$ entiers strictement positifs tels que ${\displaystyle a^{2}-2b^{2}=k}$, on a la fraction continue généralisée suivante :

${\displaystyle b{\sqrt {2}}-a={\cfrac {-k}{2a+{\cfrac {-k}{2a+{\cfrac {-k}{2a+\cdots }}}}}}\,}$

que l'on note sous forme plus concise

${\displaystyle b{\sqrt {2}}=[a;-k,2a;-k,2a;-k,2a;\ldots ]}$

On en déduit les quelques développements de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ suivants :

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\dfrac {1}{2}}\times [3;-1,6;-1,6;-1,6;\ldots ]}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\dfrac {1}{12}}\times [17;-1,34;-1,34;-1,34;\ldots ]}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\dfrac {1}{70}}\times [90;-1,180;-1,180;-1,180;\ldots ]}$

Éléments de démonstration : soit la suite ${\displaystyle (u_{n})}$ définie par la relation de récurrence ${\displaystyle u_{n+1}={\dfrac {-k}{2a+u_{n}}}}$ et soit ${\displaystyle \varepsilon _{n}=|u_{n}-(b{\sqrt {2}}-a)|}$. Alors on peut montrer que ${\displaystyle \varepsilon _{n+1}<K\varepsilon _{n}}$, avec ${\displaystyle {\dfrac {1}{\left|1+{\dfrac {2a}{b{\sqrt {2}}-a}}\right|}}<K<1}$ si ${\displaystyle u_{n}}$ est suffisamment proche de ${\displaystyle b{\sqrt {2}}-a}$.

Développements en série et produit infini

Méthodes à convergence linéaire

Algorithme de la potence

Article détaillé : Algorithme de la potence.

Cette méthode ancienne (on la trouve en Chine dans Les Neuf Chapitres sur l'art mathématique au III^e siècle et en Inde dans l'Āryabhaṭīya au V^e siècle) permet de déterminer à la main les décimales successives d'une racine carrée, mais les divisions à effectuer augmentent rapidement de taille. Ci-dessous, l'algorithme de la potence pour le calcul des cinq premières décimales de ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.

${\displaystyle 2}$

1,41421

${\displaystyle -}$

${\displaystyle 1}$

1×1=1

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle -}$

${\displaystyle 9}$

${\displaystyle 6}$

24×4=96

${\displaystyle 4}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle -}$

${\displaystyle 2}$

${\displaystyle 8}$

${\displaystyle 1}$

281×1=281

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 9}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle -}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 2}$

${\displaystyle 9}$

${\displaystyle 6}$

2824×4=11296

${\displaystyle 6}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 4}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle -}$

${\displaystyle 5}$

${\displaystyle 6}$

${\displaystyle 5}$

${\displaystyle 6}$

${\displaystyle 4}$

28282×2=56564

${\displaystyle 3}$

${\displaystyle 8}$

${\displaystyle 3}$

${\displaystyle 6}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle -}$

${\displaystyle 2}$

${\displaystyle 8}$

${\displaystyle 2}$

${\displaystyle 8}$

${\displaystyle 4}$

${\displaystyle 1}$

282841×1=282841

${\displaystyle 1}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 7}$

${\displaystyle 5}$

${\displaystyle 9}$