Mag (algebra)

Csoporthomomorfizmusok esetén

Legyenek ${\displaystyle G}$ és ${\displaystyle H}$ csoportok, ${\displaystyle e_{G}}$ és ${\displaystyle e_{H}}$ neutrális elemekkel. Egy ${\displaystyle f:G\to H}$ leképezést akkor hívunk csoporthomomorfizmusnak, ha minden ${\displaystyle a,b\in G}$-re teljesül ${\displaystyle f(ab)=f(a)f(b)}$. Az ${\displaystyle f}$ leképezés magjának hívjuk az ${\displaystyle \{e_{H}\}}$ egyelemű halmaz ősképét, tehát minden olyan elemet ${\displaystyle G}$-ben, melyre ${\displaystyle f}$ hatva ${\displaystyle e_{H}}$-t kapunk. Az ${\displaystyle f}$ homomorfizmus magját általában ${\displaystyle \ker f}$ jelöli, a definícióját pedig a következőképp írhatjuk:

${\displaystyle \ker f=\{g\in G|f(g)=e_{H}\}.}$

Mivel a csoporthomomorfizmusok neutrális elemből neutrális elemet képeznek, ezért ${\displaystyle e_{G}\in \ker f}$. Az ${\displaystyle f}$ leképezés akkor és csak akkor injektív, ha ${\displaystyle \ker f=\{e_{G}\}}$.

Az ${\displaystyle f}$ csoporthomomorfizmus magja részcsoportja, pontosabban normálosztója ${\displaystyle G}$-nek. A hozzátartozó faktorcsoportot ${\displaystyle G/\ker f}$ jelöli, amely izomorf ${\displaystyle f(G)}$-vel (a csoport homomorfizmus szerinti képével) az első izomorfizmustétel következtében.

Gyűrűhomomorfizmusok esetén

Egy gyűrű az összeadásra nézve egy kommutatív csoport, így egy gyűrűhomomorfizmus magja a mögöttes csoportstruktúra szerinti magként van definiálva. Pontosabban megfogalmazva, ha ${\displaystyle R}$ és ${\displaystyle S}$ gyűrűk, ${\displaystyle f:R\to S}$ pedig egy gyűrűhomomorfizmus, akkor

${\displaystyle \ker f=\{r\in R|f(r)=0_{S}\},}$

ahol ${\displaystyle 0_{S}}$ az összeadásra tekintett egységeleme ${\displaystyle S}$-nek. Ha a gyűrűknek a szorzásra tekintve is van egységeleme (és a homomorfizmus erre a struktúrára is kiterjed), akkor ${\displaystyle \ker f}$ egy kétoldali ideál, ezáltal definiálható az ${\displaystyle R/\ker f}$ faktorgyűrű és az első izomorfizmustétel is teljesül, tehát ${\displaystyle R/\ker f}$ izomorf ${\displaystyle f}$ képével. Fontos kiemelni, hogy amíg ${\displaystyle f}$ képe részgyűrűje ${\displaystyle S}$-nek, addig ${\displaystyle \ker f}$ nem feltétlenül részgyűrűje ${\displaystyle R}$-nek.

Lineáris leképezések esetén

A lineáris leképezések a vektorterek homomorfizmusai. Legyenek ${\displaystyle V}$ és ${\displaystyle W}$ vektorterek, ${\displaystyle L:V\to W}$ pedig egy lineáris leképezés. Jelölje ${\displaystyle 0_{W}}$ a ${\displaystyle W}$ vektortér nullvektorát, akkor ${\displaystyle L}$ magja (más néven magtere vagy nulltere) a következő:

${\displaystyle \ker L=\{v\in V|L(v)=0_{W}\}.}$

A lineáris leképezések megtartják a nullvektorokat, így ${\displaystyle 0_{V}\in \ker L}$. A leképezés ${\displaystyle L}$ akkor és csak akkor injektív, ha a magja a nullvektortér.

Egy lineáris leképezés ${\displaystyle L:V\to W}$ magja mindig lineáris altere ${\displaystyle V}$-nek, és a csoporthomomorfizmusokhoz hasonlóan teljesül az első izomorfizmustétel, tehát a ${\displaystyle V/\ker L}$ hányadostér izomorf ${\displaystyle L}$ képterével. Ebből következik, hogy ha ${\displaystyle V}$ dimenziója véges, akkor teljesül a dimenziótétel is, miszerint ${\displaystyle V}$ dimenziója megegyezik bármely rajta definiált lineáris leképezés nullterének és képterének dimenziójának összegével.

Véges dimenziós vektorterek közötti lineáris leképezéseket reprezentálhatunk mátrixokként. Az ${\displaystyle L:V\to W}$ lineáris leképezés magja pontosan az ${\displaystyle Lv=0}$ mátrixegyenlet megoldáshalmaza. A mátrixegyenlet ekvivalens egy homogén lineáris egyenletrendszerrel, ahol ${\displaystyle V}$ dimenzióját ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle W}$ dimenzióját pedig ${\displaystyle m}$ jelöli:

${\displaystyle Lv=0\;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{7}L_{11}v_{1}&&\;+\;&&L_{12}v_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&L_{1n}v_{n}&&\;=\;&&&0\\L_{21}v_{1}&&\;+\;&&L_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&L_{2n}v_{n}&&\;=\;&&&0\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\L_{m1}v_{1}&&\;+\;&&L_{m2}v_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&L_{mn}v_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}}$

Az mátrixegyenletből következik, hogy ${\displaystyle v}$ akkor és csak akkor eleme ${\displaystyle \ker L}$-nek, ha ${\displaystyle v}$ merőleges ${\displaystyle L}$ mátrixának minden sorvektorjára. A mátrix sorvektorjai ezáltal pontosan ${\displaystyle \ker L}$ ortogonális komplementerének generátorrendszere.

Egy ${\displaystyle L}$ lineáris leképezés magja az ${\displaystyle Lv=b}$ inhomogén lineáris egyenletrendszerek megoldásainak leírásában is hatékony. Ha ${\displaystyle u}$ és ${\displaystyle v}$ megoldásai az egyenletrendszernek, akkor a különbségük a leképezés magjának eleme:

${\displaystyle L(u-v)=Lu-Lv=b-b=0.}$

Ennek következtében, az ${\displaystyle Lv=b}$ inhomogén lineáris egyenletrendszer megoldáshalmaza megadható egy megoldás és ${\displaystyle \ker L}$ ismeretében:

${\displaystyle \{v+x|Lv=b,\;x\in \ker L\}.}$

Geometriai értelemben, a ${\displaystyle Lv=b}$ egyenletrendszer megoldáshalmaza pontosan ${\displaystyle L}$ magjának ${\displaystyle v}$ általi eltolásával kapható meg.

Modulushomomorfizmusok esetén

Legyenek ${\displaystyle M}$ és ${\displaystyle N}$ modulusok és legyen ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ egy modulok közötti homomorfizmus. Definíció szerint ${\displaystyle \varphi }$ magja a következő:

${\displaystyle \ker \varphi =\{m\in M|\varphi (m)=0\}.}$

A ${\displaystyle \varphi }$ homomorfizmus magja ${\displaystyle M}$ részmodulusa.

Kommutatív csoportok homomorfizmusainak magjai értelmezhetőek modulushomomorfizmusként is, ha a modulus definíciója mögötti gyűrű az egész számok gyűrűje.

Csoporthomomorfizmusok magjai

• Ha ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ egy csoportizomorfizmus, akkor ${\displaystyle \ker \varphi =e_{G}}$.
• Ha ${\displaystyle \varphi :G\to H}$ egy csoporthomomorfizmus, ${\displaystyle H}$ pedig a triviális csoport, akkor ${\displaystyle \varphi (g)=e_{H}}$ bármely ${\displaystyle g\in G}$-re, tehát ${\displaystyle \ker \varphi =G}$.
• Legyen ${\displaystyle G=\{0,1,2,3,4,5\}}$ a hatelemű ciklikus csoport, a 6 szerinti maradékosztály összeadási műveletével, hasonlóképp legyen ${\displaystyle H=\{0,1\}}$ a kételemű ciklikus csoport a 2 szerinti maradékosztály összeadásával. Ha ${\displaystyle \varphi :G\to H,\ g\mapsto g\ {\text{mod}}\ 2}$, akkor ${\displaystyle \ker \varphi =\{0,2,4\}}$. A ${\displaystyle G/\ker \varphi }$ normálosztónak két eleme van: ${\displaystyle \{0,2,4\}}$ és ${\displaystyle \{1,3,5\}}$, továbbá izomorf ${\displaystyle H}$-val.
• Jelölje ${\displaystyle S^{1}}$ a körcsoportot, amely olyan komplex számok csoportja, amelyek abszolút értéke 1. Legyen ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to S^{1},x\mapsto e^{2\pi ix}=\cos(2\pi x)+i\sin(2\pi x)}$, melynek magja ${\displaystyle \ker f=\mathbb {Z} }$. Az első izomorfizmustétel következtében ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong S^{1}}$.
• Az általános lineáris csoportban (az ${\displaystyle n\times n}$ invertálható valós mátrixok csoportja) a determináns egy homomorfizmusként értelmezhető: ${\displaystyle \det$ :\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ^{\times },\ A\mapsto \det(A)} , ahol ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$ a nemnulla valós számok csoportja a szorzás műveletével. A leképezés magja a speciális lineáris csoport ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$, olyan valós mátrixok csoportja, melynek determinánsa 1.
• Jelölje ${\displaystyle Q_{8}}$ a kvaterniócsoportot, ${\displaystyle V_{4}}$ pedig a Klein-csoportot. A leképezés ${\displaystyle \varphi :Q_{8}\to V_{4},\ \varphi (\pm 1)=1,\varphi (\pm i)=a,\varphi (\pm j)=b,\varphi (\pm k)=c}$ egy homomorfizmus, melynek magja ${\displaystyle \{\pm 1\}}$.
• Az ${\displaystyle S_{n}}$ szimmetrikus csoportra definiálható egy szürjektív homomorfizmus ${\displaystyle \epsilon :S_{n}\to \mathbb {Z} _{2}}$, mely minden permutációhoz hozzárendeli a paritását. A leképezés magja az ${\displaystyle n}$ elemű alternáló csoport, tehát ${\displaystyle \ker \epsilon =A_{n}}$. Ha ${\displaystyle n\geq 5}$, akkor az alternáló csoport egy nemkommutatív egyszerű csoport.
• Legyen ${\displaystyle G}$ egy csoport és legyen ${\displaystyle g\in G}$. Ekkor bármely ${\displaystyle x\in G}$-re a leképezés ${\displaystyle x\mapsto gxg^{-1}}$ egy automorfizmus. Az automorfizmusok csoportot alkotnak, jelölés szerint ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)}$. A homomorfizmus ${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (G),\ g\mapsto (x\mapsto gxg^{-1})}$ magja a csoport centruma ${\displaystyle Z(G)}$, mely az összes olyan ${\displaystyle g\in G}$ elemet tartalmazza, melyre ${\displaystyle gx=xg}$ teljesül bármely ${\displaystyle x\in G}$-re.