Algebra di divisione

In matematica, in particolare nell'ambito dell'algebra astratta, un'algebra di divisione è un'algebra in cui l'operazione di divisione è, in un certo senso, possibile.

Definizione

Sia $D$ un'algebra su un campo tale da non consistere del solo elemento nullo. Se per ogni elemento $a$ ed ogni altro elemento non-nullo b di $D$ esiste esattamente un elemento $x$ di $D$ tale che $a = b x$ , ed esattamente un elemento $y$ di $D$ tale che $a = y b$ , allora $D$ è un'algebra di divisione.

Per algebre associative, la definizione può essere semplificata: un'algebra associativa su un campo è un'algebra di divisione se e solo se possiede un'identità moltiplicativa diversa dall'elemento nullo ed ogni elemento non nullo ammette un inverso moltiplicativo (ossia per ogni $a$ dell'algebra esiste un $x$ tale che $a x = x a = 1$ , ove $1$ è l'identità moltiplicativa dell'algebra).

Esempi

Uno degli esempi più semplici di algebra di divisione associativa è costituito dall'algebra dei numeri reali $ℝ$ .

Salendo di dimensione si trova l'algebra reale dei numeri complessi $ℂ$ . Per il teorema di Gelfand-Mazur, ogni algebra di Banach che sia anche un'algebra di divisione è isomorfa a $ℂ$ .

I quaternioni $ℍ$ sono un esempio di algebra di divisione non commutativa sui reali.

Voci correlate

Collegamenti esterni

algebra di divisione, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

(EN) Eric W. Weisstein, Division Algebra, su MathWorld, Wolfram Research.

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