Algebra astratta

L'algebra astratta è la branca della matematica che si occupa dello studio delle strutture algebriche come gruppi, anelli e campi. Mentre per secoli la matematica ha studiato singoli insiemi numerici in modo distinto (si pensi all'insieme dei numeri naturali , dei numeri interi o dei complessi ), l’algebra astratta nasce invece dall’intuizione che ciò che accomuna questi insiemi non sia tanto la natura degli elementi che li compongono, quanto le operazioni che è possibile definire su di essi e le proprietà che tali operazioni soddisfano. Se due insiemi sono dotati delle stesse operazioni e queste operazioni soddisfano le medesime proprietà, allora, dal punto di vista dell’algebra astratta, non è fondamentale la natura degli elementi che li compongono, ma la struttura che le operazioni definiscono. In questo senso, i due insiemi possono essere considerati esempi della stessa struttura algebrica.

Partendo dallo studio degli "insiemi privi di struttura" (o insiemistica vera e propria), la disciplina procede ad analizzare insiemi via via più strutturati, cioè dotati di una o più leggi di composizione.

Descrizione

L'espressione "algebra astratta" viene utilizzata per distinguere questo campo di studi dall'"algebra elementare" che invece si occupa delle regole per manipolare le formule e le espressioni algebriche che utilizzano numeri reali e complessi.

Storicamente, le strutture algebriche nacquero in altri campi della matematica, dove furono specificate assiomaticamente; successivamente, furono studiate come oggetti a sé stanti nell'algebra astratta. Per questo motivo, l'algebra astratta è fruttuosamente connessa con quasi tutti i rami della matematica.

Esempi di strutture algebriche con una singola operazione binaria sono:

• semigruppi;
• monoidi;
• quasigruppi;
• loop;
• gruppi.

Esempi più complessi includono:

• anelli e campi;
• moduli e spazi vettoriali;
• algebre associative e algebre di Lie;
• reticoli e algebre di Boole.

Nell'algebra universale, tutte queste definizioni e proprietà sono raccolte per essere applicate a tutte le strutture algebriche nello stesso modo. Tutte le classi di oggetti elencate sopra, insieme con la nozione di omomorfismo, formano delle categorie, e la teoria delle categorie fornisce spesso il formalismo necessario per tradurre tra differenti strutture algebriche e per confrontarle.

Bibliografia

• Lucio Lombardo-Radice, Istituzioni di algebra astratta. Feltrinelli, Milano 1965.

Voci correlate

Altri progetti

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• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'algebra astratta

Collegamenti esterni

• algebra astratta, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Mark Andrew Ronan, modern algebra, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Opere riguardanti Abstract Algebra, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Abstract Algebra, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Abstract algebra, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• John Beachy: Abstract Algebra On Line (archiviato dall'url originale il 28 dicembre 2020), Una lista esauriente di definizioni e teoremi.
• Joseph Mileti: Museo Matematico: ^{[collegamento interrotto]}, una buona introduzione all'argomento in termini di vita reale.

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