Loop (algebra)

Un loop (o cappio o laccio) è una struttura algebrica non associativa usata in matematica.

Definizione

Un loop consiste di un insieme non vuoto $L$ dotato di un'operazione binaria

\begin{matrix} \cdot : L \times L & \to L, \\ (a, b) & \mapsto a \cdot b, \end{matrix}

tale che:

esiste un elemento neutro $1_{L}$ tale che $1_{L} \cdot a = a \cdot 1_{L} = a$ per ogni $a \in L$ ;
l'equazione $a \cdot x = b$ ha un'unica soluzione $x \in L$ ;
l'equazione $x \cdot a = b$ ha un'unica soluzione $x \in L$ .

Talvolta, per semplicità, si omette il simbolo di operazione scrivendo $a b$ invece di $a \cdot b .$

Proprietà

ogni quasigruppo dotato di elemento neutro è un loop ed ogni loop è un left loop;
ogni elemento del loop ha un unico inverso sinistro e un unico inverso destro;
un loop associativo è un gruppo.

La teoria dei loop è riconducibile a quella dei gruppi sebbene non possa essere completamente ricondotta ad essa in modo lineare ed esaustivo.

Loop, envelope e folder

Dato un loop $(L, \cdot)$ definiamo alcune funzioni caratteristiche:

Le traslazioni sinistre: $λ_{a} (x) := a \cdot x .$
Le traslazioni destre: $ρ_{a} (x) := x \cdot a .$
Le deviazioni centrali: $τ_{a} (x) := ρ_{a} λ_{a}^{- 1} (x) .$
Le deviazioni sinistre: $δ_{a, b}^{λ} (x) := λ_{a \cdot b}^{- 1} λ_{a} λ_{b} (x) .$
Le deviazioni destre: $δ_{a, b}^{ρ} (x) := ρ_{a \cdot b}^{- 1} ρ_{b} ρ_{a} (x) .$

Tali funzioni ci consentono di definire alcuni gruppi associati ad un loop. Tali gruppi sono:

il gruppo delle traslazioni, generato da tutte le traslazioni del loop;
il gruppo $G (L)$ delle traslazioni sinistre, generato da tutte le traslazioni sinistre del loop;
il gruppo delle traslazioni destre, generato da tutte le traslazioni destre del loop.

Tali gruppi agiscono in modo naturale su $L$ come elementi del gruppo simmetrico su $L$ . In particolare i relativi stabilizzatori dell'elemento neutro sono generati dalle rispettive deviazioni.

La tripla $ξ = (G (L), H (L), Λ)$ dove $H (L)$ è lo stabilizzatore in $G (L)$ dell'elemento neutro e $Λ$ l'insieme delle traslazioni sinistre, prende il nome di envelope fedele.

Viceversa, una tripla $ξ = (G, H, L)$ dove $G$ è un gruppo, $H$ è un sottogruppo di $G$ ed $L$ è un trasversale sinistro del quoziente $G / H^{g}$ per ogni $g \in G$ prende il nome di folder.

Left loop e condizione di Bruck

Famiglie di loop

Loop di Moufang

Si tratta di un loop $(L, \cdot)$ che prende il nome dalla matematica Ruth Moufang. Questo loop soddisfa l'identità $(a b) (c a) = (a (b c)) a$ per ogni $a, b, c$ in $L$ .

Proprietà

I Moufang loops non banali, cioè che non siano gruppi, soddisfano una forma debole di associatività.
La seguente identità

(a b) (c a) = (a (b c)) a

è equivalente a ciascuna delle seguenti:

a (b (a c)) = ((a b) a) c;

a (b (c b)) = ((a b) c) b .

Le tre precedenti equazioni sono denominate identità di Moufang. Con ognuna è possibile definire un loop di Moufang.

Ponendo nelle precedenti identità uno degli elementi uguale all'elemento neutro, si ha

a (a b) = (a a) b;

(a b) b = a (b b);

a (b a) = (a b) a .

Pertanto, tutti i loop di Moufang sono alternativi.

Moufang ha dimostrato inoltre che il sottoloop generato da uno dei due elementi del loop di Moufang è associativo (e dunque è un gruppo), quindi i loop di Moufang soddisfano l'associatività della potenza.
Quando si lavora con i loop di Moufang, è uso comune non usare le parentesi in espressioni con solo due elementi distinti.

Loop ottonionico

Quale esempio di loop si può ricordare il quasigruppo formato dagli elementi unità degli ottonioni.

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