Algebra graduata

In matematica, in particolare nell'algebra astratta, un'algebra graduata è un'algebra su campo (o anello commutativo), con un ulteriore pezzo della struttura, conosciuta come una gradazione (o classificazione).

Anello graduato

Un anello graduato $A$ è un anello tale che esista una famiglia ${A_{n}}_{n \in ℕ}$ di sottogruppi abeliani additivi di $(A, +)$ che decompongano $A$ in una somma diretta:

A = ⨁_{n \in ℕ} A_{n} = A_{0} \oplus A_{1} \oplus A_{2} \oplus \dots

in modo tale che l'anello moltiplicativo soddisfi la seguente proprietà:

x \in A_{s}, y \in A_{r} ⟹ x y \in A_{s + r},

ossia

A_{s} A_{r} \subseteq A_{s + r},

per tutti gli indici $r, s \in ℕ$ .

Gli elementi $A_{n}$ sono noti come elementi omogenei di grado $n$ . Dalla definizione segue immediatamente che ogni elemento $a \in A$ ammette una decomposizione unica come somma:

a = \sum_{n} a_{n},

dove $a_{n} \in A_{n}$ per tutti gli $n \in ℕ$ ; gli elementi $a_{n}$ sono talvolta chiamati parti omogenee di $a$ .

Un sottoinsieme $𝔞 \subset A$ è omogeneo se per ogni elemento $a \in 𝔞$ , le parti omogenee di $a$ sono anche contenute in $𝔞 .$

Se $I$ è un ideale omogeneo di $A,$ allora $A / I$ è un anello graduato e possiede la seguente decomposizione:

A / I = ⨁_{n \in ℕ} (A_{n} + I) / I .

Algebra graduata

Un'algebra $A$ su un anello $R$ è un'algebra graduata se è graduata come anello. Nel caso in cui l'anello $R$ sia anche un anello graduato, allora si richiede che:

$A_{i} R_{j} \subset A_{i + j},$
$R_{i} A_{j} \subset A_{i + j} .$

Si noti che la definizione di anello graduato su un anello non graduato è il caso particolare della definizione di quest'ultimo dove $R$ è graduato in modo banale (ogni elemento di $R$ è di grado zero).

Esempi

Fissato un campo $𝕂$ , lo spazio vettoriale $𝕂 [x]$ dei polinomi a coefficienti nel campo è banalmente un anello graduato: la famiglia dei suoi elementi omogenei è data da ${⟨ x^{n} ⟩}_{n \in ℕ}$ , infatti dato che un elemento di $⟨ x^{n} ⟩$ è della forma $a x^{n}$ , vale evidentemente che $(a x^{n}) (b x^{m}) = a b x^{n + m} \in ⟨ x^{n + m} ⟩$ .

Bibliografia

Bourbaki, N. (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3.
(EN) D.V. Volkov, V.P. Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Phys. Lett. B46 (1973) 109.
(EN) V.P. Akulov, D.V. Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) A Supersymmetry Primer, S. Martin, 1999.
(EN) Introduction to Supersymmetry, Joseph D. Lykken, 1996.
(EN) An Introduction to Supersymmetry, Manuel Drees, 1996.
(EN) Introduction to Supersymmetry, Adel Bilal, 2001.
(EN) An Introduction to Global Supersymmetry (PDF). URL consultato il 17 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 15 gennaio 2013), Philip Arygres, 2001.
(EN) Weak Scale Supersymmetry (archiviato dall'url originale il 4 dicembre 2012), Howard Baer and Xerxes Tata, 2006.
(EN) Brookhaven National Laboratory (8 gennaio 2004). New g−2 measurement deviates further from Standard Model (archiviato dall'url originale il 26 gennaio 2017).
(EN) Fermi National Accelerator Laboratory (25 settembre 2006). Fermilab's CDF scientists have discovered the quick-change behavior of the B-sub-s meson..

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