Algebra graduata

In matematica, in particolare nell'algebra astratta, un'algebra graduata è un'algebra su campo (o anello commutativo), con un ulteriore pezzo della struttura, conosciuta come una gradazione (o classificazione).

Anello graduato

Un anello graduato ${\displaystyle A}$ è un anello tale che esista una famiglia ${\displaystyle \{A_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ di sottogruppi abeliani additivi di ${\displaystyle (A,+)}$ che decompongano ${\displaystyle A}$ in una somma diretta:

${\displaystyle A=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=A_{0}\oplus A_{1}\oplus A_{2}\oplus \cdots }$

in modo tale che l'anello moltiplicativo soddisfi la seguente proprietà:

${\displaystyle x\in A_{s},y\in A_{r}\implies xy\in A_{s+r},}$

ossia

${\displaystyle A_{s}A_{r}\subseteq A_{s+r},}$

per tutti gli indici ${\displaystyle r,s\in \mathbb {N} }$.

Gli elementi ${\displaystyle A_{n}}$ sono noti come elementi omogenei di grado ${\displaystyle n}$. Dalla definizione segue immediatamente che ogni elemento ${\displaystyle a\in A}$ ammette una decomposizione unica come somma:

${\displaystyle a=\sum _{n}a_{n},}$

dove ${\displaystyle a_{n}\in A_{n}}$ per tutti gli ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$; gli elementi ${\displaystyle a_{n}}$ sono talvolta chiamati parti omogenee di ${\displaystyle a}$.

Un sottoinsieme ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset A}$ è omogeneo se per ogni elemento ${\displaystyle a\in {\mathfrak {a}}}$, le parti omogenee di ${\displaystyle a}$ sono anche contenute in ${\displaystyle {\mathfrak {a}}.}$

Se ${\displaystyle I}$ è un ideale omogeneo di ${\displaystyle A,}$ allora ${\displaystyle A/I}$ è un anello graduato e possiede la seguente decomposizione:

${\displaystyle A/I=\bigoplus _{n\in \mathbb {N} }(A_{n}+I)/I.}$

Algebra graduata

Un'algebra ${\displaystyle A}$ su un anello ${\displaystyle R}$ è un'algebra graduata se è graduata come anello. Nel caso in cui l'anello ${\displaystyle R}$ sia anche un anello graduato, allora si richiede che:

1. ${\displaystyle A_{i}R_{j}\subset A_{i+j},}$
2. ${\displaystyle R_{i}A_{j}\subset A_{i+j}.}$

Si noti che la definizione di anello graduato su un anello non graduato è il caso particolare della definizione di quest'ultimo dove ${\displaystyle R}$ è graduato in modo banale (ogni elemento di ${\displaystyle R}$ è di grado zero).

Esempi

• Fissato un campo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, lo spazio vettoriale ${\displaystyle \mathbb {K} [x]}$ dei polinomi a coefficienti nel campo è banalmente un anello graduato: la famiglia dei suoi elementi omogenei è data da ${\displaystyle \{\langle x^{n}\rangle \}_{n\in \mathbb {N} }}$, infatti dato che un elemento di ${\displaystyle \langle x^{n}\rangle }$ è della forma ${\displaystyle ax^{n}}$, vale evidentemente che ${\displaystyle (ax^{n})(bx^{m})=abx^{n+m}\in \langle x^{n+m}\rangle }$.

Bibliografia

• Bourbaki, N. (1974) Algebra I (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3.
• (EN) D.V. Volkov, V.P. Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Phys. Lett. B46 (1973) 109.
• (EN) V.P. Akulov, D.V. Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.

Voci correlate

• Algebra di Lie graduata
• Algebra astratta
• Algebra supersimmetrica
• Algebra supercommutativa
• Anello commutativo
• Ideale (matematica)
• Superalgebra
• Superalgebra di Poincaré

Collegamenti esterni

• (EN) A Supersymmetry Primer, S. Martin, 1999.
• (EN) Introduction to Supersymmetry, Joseph D. Lykken, 1996.
• (EN) An Introduction to Supersymmetry, Manuel Drees, 1996.
• (EN) Introduction to Supersymmetry, Adel Bilal, 2001.
• (EN) An Introduction to Global Supersymmetry (PDF). URL consultato il 17 maggio 2019 (archiviato dall'url originale il 15 gennaio 2013), Philip Arygres, 2001.
• (EN) Weak Scale Supersymmetry (archiviato dall'url originale il 4 dicembre 2012), Howard Baer and Xerxes Tata, 2006.
• (EN) Brookhaven National Laboratory (8 gennaio 2004). New g−2 measurement deviates further from Standard Model (archiviato dall'url originale il 26 gennaio 2017).
• (EN) Fermi National Accelerator Laboratory (25 settembre 2006). Fermilab's CDF scientists have discovered the quick-change behavior of the B-sub-s meson..

Portale Fisica

Portale Matematica